1、2.3 圆及其方程2.3.1 圆的标准方程课标解读课标要求素养要求回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.1.直观想象、逻辑推理能探究圆的标准方程及点与圆的位置关系.2.数学运算能根据已知条件求圆的标准方程.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一圆的标准方程一般地，如果平面直角坐标系中C的圆心为C(a，b)，半径为r(r0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在C上的充要条件是 |CM|=r，即(x-a)2+(y-b)2=r，两边平方，得(x一a)2+(y-b)2=r2 .（*）上述充要条件表明，C上任意一点M的坐标(x,y)满足方程（*）；如果平面上一
2、点M的坐标(x,y)满足方程（*），可得|CM|=r，则点M在C上 .因此方程（*）能表示以点 C(a,b)为圆心，r为半径的圆，（*）式通常称为圆的标准方程.要点二点与圆的位置关系如果C的圆心为C(a,b)，半径为r(r0)，则点M1(x1,y1)在C外的充要条件是(x1-a)2+(y1-b)2r2；点M2(x2,y2)在C内的充要条件是(x2-a)2+(y2-b)2r2 .自主思考1.圆C的方程为（x+2)2+(y+3)2=3，那么其圆心坐标和半径分别是什么？答案：提示圆心坐标为(-2,-3)，半径为3 .2.若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=c2，则此圆的半径一定等于c吗？答案：提
3、示不一定.圆的半径应为|c| .3.确定点与圆的位置关系的关键是什么？答案：提示关键是点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系. 名师点睛对圆的标准方程的理解（1）所谓圆的标准方程，是指方程的形式.圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径，所以当题目中涉及圆的圆心、半径时，设圆的标准方程解决问题较为方便（2）圆的标准方程的右端r20，当方程的右端小于或等于0时，对应的方程不是圆的方程.（3）圆的标准方程中有三个参变量a、b、r，要求圆的标准方程，一般需要三个独立的条件，列方程组求解a、b、r，然后写出圆的方程；还可根据圆的特点直接写出圆心坐标和半径，然后求出圆的方程（4
4、）若圆心在坐标原点，此时a=0,b=0，则圆的方程就是x2+y2=r2 .互动探究关键能力探究点一求圆的标准方程精讲精练类型1 直接法求圆的标准方程例1 （1）已知点A(-4,-5),B(6,-1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A.(x+1)2+(y-3)2=29B.(x-1)2+(y+3)2=29C.(x+1)2+(y-3)2=116D.(x-1)2+(y+3)2=116（2）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心到直线2x-y=0的距离为455，则圆C的标准方程为 .答案：（1）B（2）(x-2)2+y2=9解析：（1）易知线段AB的中点坐标为(1,-3)，
5、所以圆心的坐标为(1,-3)，半径r=(-4-1)2+(-5+3)2=29，故所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29 .（2）设圆心C的坐标为(a,0)(a0)，由题意知，|2a|5=455，解得a=2，C(2,0)，则圆C的半径r=|CM|=22+(-5)2=3 .圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9 .变式若本例（2）中把条件改为“圆C经过点A(-4,-5),B(6,-1)，且圆心在直线x-y+1=0上”，求圆C的标准方程.答案：因为圆心在直线x-y+1=0上，所以设圆心的坐标为(a,a+1)，由题意知，(a+4)2+(a+6)2=(a-6)2+(a+2)2，解得a=-37，所以
6、圆心坐标为(-37,47)，半径r=21467，故圆C的标准方程为(x+37)2+(y-47)2=214649 .类型2 待定系数法求圆的标准方程例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.答案：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，则a2+b2=r2,(1-a)2+(1-b)2=r2,2a+3b+1=0,解得a=4,b=-3,r=5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225 .解题感悟（1）确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；当圆心和半径不易直接确
7、定时，可用待定系数法求解，即先设出圆的标准方程，然后利用题目条件求解方程中的系数.（2）确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间的距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等迁移应用1.与y轴相切，且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为 .答案：(x+5)2+(y+3)2=25解析：圆心坐标为(-5,-3)，且圆与y轴相切，该圆的半径为5，该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25 .2.求过M(2,0),N(10,0),P(11,3)三点的圆的标准方程.答案：设由M,N,P三点确定的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
8、(2-a)2+b2=r2,(10-a)2+b2=r2,(11-a)2+(3-b)2=r2,解得a=6,b=3,r2=25,过点M,N,P的圆的标准方程为(x-6)2+(y-3)2=25 .探究点二点与圆的位置关系精讲精练例（1）（2021山东聊城二中高二月考）点A(1,2)与圆C：(x+1)2+(y-2)2=1的位置关系是( )A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.不能确定（2）已知点A(1,2)不在圆C：(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部，求实数a的取值范围.答案：（1）B解析：（1）圆C的圆心为C(-1,2)，半径r=1，则|AC|=|-1-1|=2r，所以点A在圆C外.答案：（2
9、）由题意知，点A在圆C上或在圆C的外部，(1-a)2+(2+a)22a2，2a+50，a-52，又a0，a的取值范围是-52,0)(0,+) .解题感悟（1）判断点与圆的位置关系的方法：计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较把点的坐标代入圆的标准方程中，判断式子两边的大小.（2）若已知点与圆的位置关系，则可利用以上两种方法列出不等式或方程求解参数的取值范围.迁移应用1.点M(0,2)与圆C：(x-a)2+y2=1(aR)的位置关系是( )A.点M在圆C内B.点M在圆C上C.点M在圆C外D.不确定答案：C解析：根据题意，圆C：(x-a)2+y2=1的圆心为C(a,0)，半径为1，则|MC|=a2
10、+41，则点M在圆C外，故选C.2.已知点M(5a+1,a)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围是 .答案：0,1)解析：由题意知，a0,(5a+1-1)2+(a)226,解得0a1 .探究点三与圆有关的最值问题精讲精练例已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3 .试求：（1）yx的最值；（2）y-x的最值；（3）x2+y2的最值.答案：（1）方程表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆，设yx=k，即y=kx .当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时|2k-0|k2+1=3，解得k=3 .故yx的最大值为3，最小值为-3.（2）设y-x=b，即y=x+b .
11、当直线y=x+b与圆相切时，截距b取得最大值和最小值，此时|2-0+b|2=3，即b=-26 .故y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6 .（3）x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方.由平面几何知识知，在x轴与圆的两个交点处x2+y2取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2+y2)max=(2+3)2=7+43,(x2+y2)min=(2-3)2=7-43 .解题感悟与圆有关的最值问题，常见的类型有以下几种：（1）形如u=y-bx-a形式的最值问题，可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线的斜率的最值问题.（2）形如l=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线y=-abx+
12、lb的截距的最值问题.（3）形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.迁移应用1. （2020福建宁德高二期中）已知圆(x-1)2+(y+2)2=1上一点P到直线3x-4y-3=0的距离为d，则d的最小值为( )A.35 B.45 C.1D.2答案：A解析：易知圆(x-1)2+(y+2)2=1的圆心为(1,-2)，半径为1，则圆心到直线的距离为|31-4(-2)-3|32+(-4)2=85，则dmin=85-1=35 .评价检测素养提升课堂检测1.（2021成都石室佳兴外国语学校高二期末）圆(x-1)2+y2=4的圆心和半径分别
13、是( )A.(-1,0)，2B.(1,0)，2C.(-1,0)，4D.(1,0)，4答案：B2.若点(4a-1,3a+2)不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则a满足( )A.|a|55 B.|a|1C.|a|55 D.|a|1答案：D3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1答案：A素养演练数学建模圆的标准方程的实际应用1.苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测量，某圆拱索桥（如图）的跨度AB=100米，拱高OP=10米，在建造圆拱桥时，每
14、隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是（注意：10取3.162）( )A.6.48米B.4.48米C.2.48米D.以上都不对答案：A解析：审：本题为圆的方程的实际应用问题，应用坐标法求解，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和数学建模思想方法的应用.联：以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，求得点A的坐标，设所求圆的半径为r，由勾股定理可列等式求出r的值，进而可求得圆的方程，然后将x=-30代入圆的方程，求出点N的纵坐标，进而可计算出MN的长.解：以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知，点A的坐标为(-50,-10)，设圆拱桥弧所在圆的半径为r，由勾股定理可得 (r-OP)2+OA2=r2即(r-10)2+502=r2，解得r=130，圆心坐标为(0,-130)，则圆的方程为 x2+(y+130)2=1302，将x=-30代入圆的方程得(y+130)2=1302-(-30)2=16000，解得y=4010-130，y-10,y=4010-130，MN=(4010-130)-(-10)=4010-1206.48（米）.思：解答本题的关键是根据已知条件建立平面直角坐标系，求出圆的方程，然后利用圆的方程解决实际应用问题.
