1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十三)垂 直 关 系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在空间中,l,m,n,a,b表示直线,表示平面,则下列命题正确的是()A.若l,ml,则mB.若lm,mn,则mnC.若a,ab,则bD.若l,la,则a【解析】选D.对于A,m与位置关系不确定,故A错,对于B,当l与m,m与n为异面垂直时,m与n可能异面或相交,故B错,对于C,也可能b,故C错,对于D,由线面垂直的定义可知正确.2.(2015南昌模拟)若m,n是两条不同的直线,是
2、三个不同的平面,则下列命题中的真命题是()A.若m,则mB.若=m,=n,mn,则C.若m,m,则D.若,则【解析】选C.两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直,故A为假命题;以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题;若,则与相交,或,故D为假命题;若m,则中必存在直线l与m平行,又m,所以l,故,故选C.3.设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件是()A.ac,bcB.,a,bC.a,bD.a,b【解析】选C.对于选项C,在平面内存在mb,因为a,所以am,故ab;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出
3、ab.4.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面PAED.平面PDE平面ABC【解析】选D.因BCDF,DF平面PDF,BC平面PDF,所以BC平面PDF,A成立;易证BC平面PAE,BCDF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.5.如图所示,AB是O的直径,VA垂直于O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是()A.MNABB.MN与BC所成的角为45C.OC平面VA
4、CD.平面VAC平面VBC【解题提示】根据题设条件逐个结论验证,作出判断.【解析】选D.对于A,MN与AB异面,故A错,对于B,可证BC平面VAC,故BCMN,所以所成的角为90,因此B错;对于C,OC与AC不垂直,所以OC不可能垂直平面VAC,故C错;对于D,由于BCAC,因为VA平面ABC,BC平面ABC,所以VABC,因为ACVA=A,所以BC平面VAC,BC平面VBC,所以平面VAC平面VBC,故D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015厦门模拟)如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(填序号).平面ABC平面ABD
5、;平面ABC平面BCD;平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDE;平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE.【解析】由AB=CB,AD=CD,E为AC中点,知ACDE,ACBE,又DEBE=E,从而AC平面BDE,故正确.答案:【误区警示】本题易由于只凭主观观察而不进行严格推理论证而误选.7.(2015合肥模拟)设l,m,n为三条不同的直线,为一个平面,给出下列命题若l,则l与相交;若m,n,lm,ln,则l;若lm,mn,l,则n;若lm,m,n,则ln.其中正确命题的序号为.【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况,故正确;由于不能判断m,n一定相交,故不正确;根据平行线的传递性
6、,故ln,又l,故n,从而正确;由m,n知mn,故ln,故正确.答案:8.设P是60的二面角-l-内一点,PA,PB,A,B分别为垂足,PA=2,PB=4,则AB的长是.【解析】如图所示,PA与PB确定平面,设平面与l交于点E,则BEl,AEl,所以BEA即为二面角的平面角,所以BEA=60,从而BPA=120,在BAP中,由余弦定理,得AB2=PA2+PB2-2PAPBcosBPA=4+16+8=28.所以AB=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2013北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是
7、CD和PC的中点,求证:(1)PA底面ABCD.(2)BE平面PAD.(3)平面BEF平面PCD.【证明】(1)因为平面PAD平面ABCD,交线为AD,PAAD,所以PA平面ABCD.(2)因为ABCD,E为CD中点,CD=2AB,所以ABDE且AB=DE,所以四边形ABED为平行四边形,所以BEAD.又因为AD平面PAD,BE平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因为ABAD,而平面PAD平面ABCD,交线AD,所以BA平面PAD,因为ABCD,所以CD平面PAD,所以CDPD且CDAD,又因为在平面PCD中,EFPD(三角形的中位线),于是CDFE因为在平面ABCD中,由(2),BEAD,
8、于是CDBE.因为FEBE=E,FE平面BEF,BE平面BEF,所以CD平面BEF,又因为CD平面PCD,所以平面BEF平面PCD.10.(2015厦门模拟)如图1,已知ABCD为平行四边形,A=60,AF=2FB,AB=6,点E在CD上,EFBC,BDAD,BD与EF相交于N.现将四边形ADEF沿EF折起,折后如图2,满足平面ABCD平面BCEF.(1)求证:BDEF.(2)求三棱锥D-NBF的体积.【解析】(1)由BDAD,EFBC,ABCD为平行四边形,得BNEF,DNEF,由BN交DN于N,所以EF平面DNB,所以EFBD.(2)由EFBD,EFBC,则BDBC,因为平面ABCD平面B
9、CEF,所以BD平面BCEF,所以D到平面BNF的距离等于BD,所以VD-BNF=SBNFBD=,即所求三棱锥的体积为.【加固训练】(2015太原模拟)在边长为5的菱形ABCD中,AC=8.现沿对角线BD把ABD折起,折起后使ADC的余弦值为.(1)求证:平面ABD平面CBD.(2)若M是AB的中点,求三棱锥A-MCD的体积.【解析】(1)在菱形ABCD中,记AC,BD的交点为O,AD=5,OA=4,所以OD=3,翻折后变成三棱锥A-BCD,在ACD中,AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=25+25-255=32,在AOC中,OA2+OC2=32=AC2,所以AOC=90,即AOO
10、C,又AOBD,OCBD=O,所以AO平面BCD,又AO平面ABD,所以平面ABD平面CBD.(2)因为M是AB的中点,所以A,B到平面MCD的距离相等,所以VA-MCD=VB-MCD=VA-BCD=SBCDAO=8.(20分钟40分)1.(5分)(2015蚌埠模拟)在空间内,设l,m,n是三条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中为假命题的是()A.,=l,则lB.l,l,=m,则lmC.=l,=m,=n,lm,则lnD.,则或【解析】选D.对于A,因为如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,所以该命题是真命题;对于B,因为如果要一条直线平行于两个相交平面,那
11、么该直线平行于它们的交线,所以该命题是真命题;对于C,因为如果三个平面两两相交,有三条交线,那么这三条交线交于一点或相互平行,所以该命题是真命题;对于D,当两个平面同时垂直于第三个平面时,这两个平面可能不垂直也不平行,所以D是假命题.综上所述,选D.【加固训练】(2015太原模拟)已知,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题中不正确的是()A.若mn,m,则nB.若m,m,则C.若m,m,则D.若m,=n,则mn【解析】选D.选项A是线面垂直的性质定理;选项B是两个平面垂直的判定定理;选项C是两个平面平行的判定方法之一;选项D中,若m,=n,则只能得到m,n没有公共点,于是mn或
12、m,n异面.2.(5分)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:三棱锥A-D1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是.【解题提示】根据题设条件逐个验证命题的真伪,从而作出判断.【解析】连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1BC1,所以BC1平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.又=,所以正确.因为平面A1C1B平面AD1C,A1P平面A1C1B,所以A1P平面ACD1,正确.由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故
13、不正确;由于DB1D1C,DB1AD1,D1CAD1=D1,所以DB1平面AD1C.DB1平面PDB1,所以平面PDB1平面ACD1,正确.答案:3.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF平面B1DF.【解析】由题意易知B1D平面ACC1A1,所以B1DCF.要使CF平面B1DF,只需CFDF即可.令CFDF,设AF=x,则A1F=3a-x.由RtCAFRtFA1D,得=,即=,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.答案:a或2a
14、4.(12分)(2015商洛模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为BB1,AC的中点.(1)求证:BF平面A1EC.(2)求证:平面A1EC平面ACC1A1.【证明】(1)连接AC1交A1C于点O,连接OE,OF,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC1.又因为F为AC中点,所以OFCC1且OF=CC1.因为E为BB1中点,所以BECC1且BE=CC1.所以BEOF且BE=OF,所以四边形BEOF是平行四边形,所以BFOE.又BF平面A1EC,OE平面A1EC,所以BF平面A1EC.(2)由(1)知BFOE,因为AB=CB,F为AC
15、中点,所以BFAC,所以OEAC.又因为AA1底面ABC,而BF底面ABC,所以AA1BF.由BFOE,得OEAA1,而AA1,AC平面ACC1A1,且AA1AC=A,所以OE平面ACC1A1,因为OE平面A1EC,所以平面A1EC平面ACC1A1.5.(13分)(能力挑战题)如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,PAD为等腰三角形,且PAPD,平面PAD平面ABCD,且AB=1,AD=2,E,F分别为PC和BD的中点.(1)证明:EF平面PAD.(2)证明:平面PDC平面PAD.(3)求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)如图,连接AC,因为四边形ABCD为矩形且F是BD的中
16、点,所以F也是AC的中点.又E是PC的中点,EFAP.因为EF平面PAD,PA平面PAD,所以EF平面PAD.(2)因为平面PAD平面ABCD,CDAD,平面PAD平面ABCD=AD,所以直线CD平面PAD,又PA平面PAD,所以PACD,又PAPD,PD,CD是相交直线,所以PA平面PCD,又PA平面PAD,平面PDC平面PAD.(3)取AD中点为O,连接PO,PAD为等腰直角三角形,所以POAD,因为平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD,所以,PO平面ABCD,即PO为四棱锥P-ABCD的高.由AD=2得PO=1,又AB=1,所以四棱锥P-ABCD的体积V=POABAD=.关闭Word文档返回原板块
