1、1.2.5 空间中的距离第1课时两点间的距离、点到直线的距离、异面直线间的距离课标解读课标要求素养要求1.理解点到直线的距离的概念.2.能灵活运用向量方法求两点间的距离和点到直线的距离.1.数学抽象能理解点到直线的距离的含义.2.直观想象能利用空间向量求两点间的距离和点到直线的距离.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一两点间的距离空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长,因为向量的长度表示的是向量的始点与 终点之间的距离,所以可通过向量来求空间中两点之间的距离.要点二点到直线的距离给定空间中一条直线l及l外一点A ,因为l与A能确定一个平面,所以过A点可以作直线l的一条垂线段,这条垂
2、线段的长称为点A到直线l的 距离 .点到直线的距离也是这个点与直线上点的 最短连线的长度.自主思考1.在空间中怎样求两点之间的距离?答案：提示利用向量法转化为求向量的模.2.如何求垂线段的长?答案：提示（1）设M为直线AB外一点,建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,在已知直线AB上取一点E ,点E满足两个条件:AE=AB ,MEAB .（2）利用（1）中的两个等量关系求出的值,进而求出点E的坐标,求出向量ME的模,即为M点到直线AB的距离.名师点睛1.点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间中点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离
3、问题2.异面直线间的距离可以转化为两点间的距离（公垂线段的长）或点到直线的距离.3.用空间向量求点到直线的距离的方法：设出点在直线上的射影,利用垂直关系求出射影的坐标,转化为求向量的模,若设P到直线AB的距离为d ,向量AP在向量AB上的投影的数量为APAB|AB|则d=|AP|2-(APAB|AB|)2 .互动探究关键能力探究点一空间中两点间的距离自测自评1.已知点A(x,0,2)和点B(2,3,4) ,且|AB|=22 ,则实数x的值是( )A.5或-1B.5或1C.2或-6D.-2或6答案：A解析：|AB|=(x-2)2+(0-3)2+(2-4)2=(x-2)2+13=22 ,解得x=5
4、或x=-1 .2.从M(0,2,1)出发的光线,经xOy平面反射后到达点N(2,0,2) ,则光线所走过的路程为( )A.3B.4C.17 D.32答案：C解析：由对称性知M(0,2,1)关于xOy平面的对称点为P(0,2,-1) ,则光线所走过的路程为|PN|=(0-2)2+(2-0)2+(-1-2)2=17 ,故选C.3.在三棱锥S-ABC中,平面SAC平面ABC ,SAAC ,BCAC ,SA=6 ,AC=21 ,BC=8 ,则SB的长为( )A.8B.9C.11D.12答案：C解析：建立以A为原点的空间直角坐标系,如图.则A(0,0,0) ,B(8,21,0) ,S(0,0,6) ,S
5、B=|SB|=(8-0)2+(21-0)2+(0-6)2=11 ,故选C.4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC1与B1C相交于点O ,A1AB=A1AC=60,BAC=90,A1A=3,AB=AC=2 ,则线段AO的长度为( )A.292 B.29 C.232 D.23答案：A解析：易知四边形BCC1B1是平行四边形,BO=12BC1=12(BC+AA1)AO=AB+BO=AB+12BC+12AA1=12AC+12AB+12AA1 .由题意可知AB2=AC2=4,AA12=9,ABAC=0,ABAA1=ACAA1=32cos60=3 ,AO2=14(AB+AC+AA1)2=14(AB
6、2+AC2+AA12+2ABAC+2ABAA1+2ACAA1)=294 ,|AO|=292 ,即AO=292 .解题感悟计算两点间的距离的两种方法：（1）利用|a|2=aa ,通过向量运算求|a| ,如求A,B两点间的距离,一般用AB=|AB|2=ABAB求解.（2）用坐标法求向量的模（或两点间的距离）,求解的图形适宜建立空间直角坐标系时常用此方法.探究点二点到直线的距离精讲精练例（1）已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0) ,则点A到直线BC的距离为( )A.223 B.1C.2 D.22（2）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,ABC=90
7、 ,求点B到直线A1C1的距离.答案：（1）A解析：（1）A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0) ,AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2) ,点A到直线BC的距离d=|AB|1-(cosAB,BC)2=|AB|1-(ABBC|AB|BC|)2=11-(-113)2=223 .答案：（2）以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以A1C1=(-4,3,0) .设E满足A1E=A1C1且BEA1C1则BE=BA1+A1E=(4,0,1)+(-4,3,0)=(4-4,3,1) ,又BEA1C1 ,(4-4,3,1)(-4,3,0)=
8、0 ,=1625 .BE=(4-41625,31625,1)=(3625,4825,1),|BE|=(3625)2+(4825)2+12=135 ,点B到直线A1C1的距离为135 .变式若将本例（2）中的条件改为“正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2”,求点B到直线A1C1的距离.答案：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A1(2,0,2),C1(1,3,2),则BA1=(2,0,2),A1C1=(-1,3,0),BC1=(1,3,2),设E满足A1E=A1C1且BEA1C1 ,则BE=BA1+A1E=(2,0,2)+(-1,3,0)=(2-,3,2),又BE
9、A1C1,(2-,3,2)(-1,3,0)=0 ,-2+3=0,=12 ,BE=(32,32,2) .|BE|=(32)2+(32)2+22=7,点B到直线A1C1的距离为7 .解题感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤：方法一：利用空间向量找垂线段,再求模即可.方法二：（1）建立空间直角坐标系;（2）求直线的方向向量;（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影的数量;（4）利用勾股定理求点到直线的距离.迁移应用1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1 ,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为 .答案：423解析：以D为
10、原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),G(0,2,1),F(1,1,0) ,则FD1=(-1,-1,2),FG=(-1,1,1),设点H满足FH=FG=(-,),且D1HFG,所以H(1-,1+,),则D1H=(1-,1+,-2) ,由D1HFG=0解得=23,所以D1H=(13,53,-43) ,所以|D1H|=423,即点D1到直线GF的距离为423 .2.设P为矩形ABCD所在平面外的一点,直线PA平面ABCD ,AB=3,BC=4,PA=1 ,求点P到直线BD的距离.答案：因为PA平面ABCD ,所以PAAB ,所以BP=PA2+AB2=10,因为四边形ABCD为矩
11、形,所以BAD=90,AD=BC=4 ,所以BD=AB2+AD2=32+42=5,因为BPBD=(BA+AP)(BC+BA)=|BA|2=9,|BD|=5,所以BP在BD上的投影的数量为95 ,又|BP|=10 ,所以点P到直线BD的距离d=(10)2-(95)2=135 .探究点三异面直线间的距离精讲精练例已知四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形,SD平面ABCD ,且SD=AD=1 ,求异面直线SB与AC间的距离.答案：以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ,则A(1,0,0),C(0,1,0),S(0,0,1),B(1,1,0) ,从而AC=(-1,1,0),S
12、B=(1,1,-1) ,设向量n(x,y,z)满足nAC=0,nSB=0,即xy0,xyz0,所以可取n(1,1,2) .在AC上取点A ,在SB上取点B ,AB=(0,1,0) ,所以异面直线SB与AC间的距离d=|ABn|n|=66 .解题感悟、求异面直线间的距离的方法：（1）利用几何法,找两条异面直线的公垂线,通过解三角形求公垂线段的长.（2）在两异面直线l1与l2上各取一点P,Q,n为与直线l1 ,l2都垂直的直线的方向向量,得到异面直线l1与l2间的距离d=|PQn|n| .迁移应用1.在菱形ABCD中,AB=2,DAB=60 ,将菱形沿对角线AC折成直二面角D-AC-B ,折起后,
13、直线AB与CD间的距离为 .答案：2217解析：设ACBD=O ,在菱形ABCD中,ACBD ,折起后,ODAC,OBAC ,二面角D-AC-B为直二面角,平面ACD平面ABC ,平面ACD平面ABC=AC,ODAC,OD平面ACD,OD平面ABC ,ODOB .以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .在原菱形ABCD中,AB=2,DAB=60 ,OA=OC=3,OB=OD=1 ,A(-3,0,0),B(0,-1,0),C(3,0,0),D(0,0,1),则AB=(3,-1,0),CD=(-3,0,1),设n=(x,y,z) ,令nAB=0,nCD=0,则3x-y=0,-3x+z=0.令x=1 ,则y=3,z=3,n=(1,3,3) .又AD=(3,0,1),直线AB与CD间的距离d=|nAD|n|=237=2217 .评价检测素养提升1.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0) ,则线段AB的中点P到点C的距离为( )A.1652 B.214 C.53 D.532答案：D2.已知直线l经过点A(2,3,1) ,且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点P(4,3,2)到l的距离为 .答案：223.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若BB1=2AB=22 ,则点C到直线AB1的距离为 .答案：333
