1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十七)平面向量的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015南昌模拟)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上一点P使有最小值,则点P的坐标为()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设点P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),故=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,因此当x=3时取最小值,此时P(3,0).2.(2015宿州模拟)已知直线x+y=a与
2、圆x2+y2=4相交于A,B两点且满足|+|=|-|,O为原点.则正实数a的值为()A.1B.2C.3D.4【解题提示】利用向量加减法的几何意义找到与的关系,然后转化求解.【解析】选B.由|+|=|-|可得,又|=|=2,故|=2,所以点O到AB的距离d=,所以=,得|a|=2,又a0,故a=2.3.(2015赣州模拟)已知向量a=(cos,-2),b=(sin,1),且ab,则2sincos等于()A.3B.-3C.D.-【解析】选D.由ab得cos=-2sin,所以tan=-.所以2sincos=-.4.圆C:x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若|+|-|(其中
3、O为坐标原点),则k的取值范围是()A.(0,)B.(-,)C.(,+)D.(-,-)(,+)【解题提示】利用|+|-|(+)2(-)2进行转化.【解析】选D.由|+|-|两边平方化简得45,令OM=d,在RtAMO中,AOM45,所以AMd,又AM2+d2=1,所以12d2,即d2,d.所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于,所以,所以k,故选D.5.若|=1,|=4,=2,+=,则ABC的面积是()A.1B.2C.D.2【解析】选C.因为+=,所以=-=,=-=,又|=1,|=4,所以|=1,|=4,=2即=2,设与的夹角为,易知与BCA为对顶角,所以=BCA.=|cos=14cos
4、=2,得cos=,所以cosBCA=,sinBCA=,所以SABC=|sinBCA=.6.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若4a+2b+3c=0,则cosB=()A.-B.C.D.-【解题提示】将其中一个向量转化为用另外两个向量来表示,利用两向量不共线得边a,b,c的关系,再利用余弦定理求解.【解析】选A.由4a+2b+3c=0得4a+2b+3c(+)=(4a-3c)+(2b-3c)=0,又与不共线,故所以b=2a,c=a,所以cosB=-.7.(2015宝鸡模拟)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若=+(,R),则lo()的值为()A.-2
5、B.-1C.1D.2【解析】选A.如图,令=a,=b,则=a+b,=+=a+b,=+=a+b,所以=+=a+b,因为a,b不共线,由,得解得=,故lo()=lo=2lo=-2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为.【解析】如图所示,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知|=,|=25.因为=+,所以=+,因为,所以=0,所以25cos(BOD+90)+=0,所以cos(BOD+90)=-,所以sinBOD=,所以BOD=30,所以航向为北偏西30.答案:北偏西309
6、.(2015九江模拟)在锐角ABC中,AC=BC=2,=x+y(其中x+y=1),函数f()=|-|的最小值为,则|的最小值为.【解析】如图所示:设=,所以|-|=|-|=|,由于=,所以点D在直线BC上,所以f()=|,结合图形知:当ADBC时,f()取最小值,即f()min=|sinACB=2sinACB=,所以sinACB=,由于ACB为锐角,所以ACB=,因为CA=CB,所以ABC为等边三角形,因为=x+y,且x+y=1,所以点O,A,B三点共线,所以当COAB时,|取最小值,所以|min=|sinBAC=2sin=.答案:10.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=
7、x3+|a|x2+abx在R上有极值,设向量a,b的夹角为,则的取值范围是.【解题提示】把问题转化为导函数的零点问题,利用一元二次方程判别式求解.【解析】因为f(x)=x2+|a|x+ab,由题意,得关于x的一元二次方程x2+|a|x+ab=0有两个不同实数根,所以=|a|2-4ab0,因为|a|=2|b|0,所以4|b|2-42|b|b|cos0,即cos,因为0,y=cosx在0,上是减函数,所以.答案:【误区警示】解答本题易误填,出错的原因是由题意误得关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实数根,即0.事实上,当=0时,方程的实数根并不是函数f(x)的极值点.(20分钟40分)1.(5分
8、)已知ABC的外接圆圆心为O,若+=2,则ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定【解题提示】利用已知判断O点的位置,再依据O为外心可解.【解析】选C.由+=2可得O为BC边的中点.又O为ABC的外心,故BC为ABC外接圆的直径,故BAC=90,故ABC为直角三角形.2.(5分)在平面直角坐标系中,O为原点,=(1,0),若|-|=|,=(-5,0),则|的最小值为()A.3.5B.4.5C.5.5D.6.5【解析】选C.设P(x,y),则=(x,y).又因为|-|=|,所以(x-1)2+y2=x2,得y2=2x-1,又=(-5,0),所以|=|-|=.因为2x-10
9、,所以x,所以当x=时,|min=5.5.3.(5分)(2015西安模拟)已知向量a=,=a-b,=a+b,若OAB是等边三角形,则OAB的面积为.【解析】因为a=,=a-b,=a+b,所以+=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,),所以|+|=2.所以等边三角形OAB的高为1,边长为,因此其面积为=.答案:4.(12分)(2015南昌模拟)已知向量a=(,sinx+cosx)与b=(1,y)共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f=,边BC=,sinB=,求ABC的面积.【解析】(1)因为a与b共线,所以y-
10、=0,则y=f(x)=2sin,所以f(x)的最小正周期T=2,当x=2k+,kZ时,f(x)max=2.(2)因为f=,所以2sin=,所以sinA=.因为0A,所以A=.由正弦定理得=,又sinB=,所以AC=2,且sinC=,所以SABC=ACBCsinC=.【加固训练】(2015成都模拟)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且mn.(1)求角C的大小.(2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围.【解析】(1)由题意得mn=(a+c,b-a)(a-c,b)=a2-c2+b2-ab=0,即c2=a2+b2
11、-ab.由余弦定理得cosC=.因为0C,所以C=.(2)因为s+t=(cosA,cosB),所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2=-sin+1.因为0A,所以-2A-,所以-sin1.所以|s+t|2,故|s+t|2=|AB|,因此点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意),a=2,c=1.所以曲线C的方程为+=1.(2)由题意得直线PQ的方程为:y=x-1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得7x2-8x-8=0,所以x1+x2=,x1x2=-,y1+y2=x1+x2-2=-,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-,因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.所以SAPQ=SABP+SABQ=|AB|y1|+|AB|y2|=|y1-y2|=.即APQ的面积是.关闭Word文档返回原板块
