1、第三节模拟方法对应学生用书P1511几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在子区域 G1G 的概率与 G1的面积成正比，而与 G 的形状、位置无关，称这种模型为几何概型2几何概型的计算公式P(点 M 落在 G1)G1的面积G的面积.易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的试一试1在长为 6 m 的木棒 AB 上任取一点 P，使点 P 到木棒两端点的距离都大于 2 m 的概率是()A.14 B.13 C.12 D.23解析：选 B 将木棒三等分，当 P 位
2、于中间一段时，到两端 A，B 的距离大于 2 m，P2613.2四边形 ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为()A.4B14C.8D18解析：选 B 如图，要使图中的点到 O 的距离大于 1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为 P222 14.几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度有关的几何概型，其试验结果只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其试验结果与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样试验结果就构成了平面上的一个区域，即可借助平
3、面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型(方法参见考点二“类题通法”)练一练1.如图所示，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为_解析：设阴影区域的面积为 S，则 S2223，S83.答案：832若不等式组x24x0，1y2，xy10，表示的平面区域为 M，(x4)2y21 表示的平面区域为 N，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域 N 内的概率是_解析：如图所示：P121212143 15.答案：15 对应学生用书P151考点一与长度、角度有关的几何概型1(2013石家庄模拟)在圆的一条直径上，
4、任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.14 B.13C.12D.32解析：选 C 如图，设圆的半径为 r，圆心为 O，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直 AB的一条弦，垂足为 M，若 CD 为圆内接正三角形的一条边，则 O 到 CD 的距离为r2，设 EF为与 CD 平行且到圆心 O 距离为r2的弦，交直径 AB 于点 N，所以当过 AB 上的点且垂直 AB的弦的长度超过 CD 时，该点在线段 MN 上变化，所以所求概率 P r2r12.2.(2013北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30角的终边上，任作一条射线OA，则射线O
5、A 落在yOT内的概率为_解析：如题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，则 OA 落在yOT 内的概率为 6036016.答案：163(2013福建高考)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为_解析：因为 0a1，由 3a10 得130”发生的概率为1131 23.答案：23类题通法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)考点二与体积有关的几何概型典例(2013深圳二模)一只小蜜蜂在一个棱长为 4 的正方体内自由飞行，
6、若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.18B.116C.127D.2764解析 根据几何概型知识，概率为体积之比，即 P4234318.答案 A类题通法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求针对训练在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为()A.12B1 12C.6D16解析：选
7、B 正方体的体积为：2228，以 O 为球心，1 为半径且在正方体内部的半球的体积为：1243r312431323，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为：1238 1 12.考点三与面积有关的几何概型 与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见的命题角度有：1与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；2与线性规划知识交汇命题的问题；3与平面向量的线性运算交汇命题的问题.角度一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题 1(2013陕西高考)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域CBF(该矩
8、形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A14B.41C24D.4解析：选 A 由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12122，矩形面积为2，则所求概率为222 14.角度二 与线性规划交汇命题的问题2(2013四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是()A.14B.12C.34D.78解析：选 C 设第一串彩灯亮的时刻为 x，第二串彩灯亮的时刻为
9、 y，则0 x4，0y4，要使两串彩灯亮的时刻相差不超过 2 秒，则0 x4，0y4，2xy2.如图，不等式组0 x4，0y4，所表示的图形面积为 16，不等式组0 x4，0y4，2xy2所表示的六边形 OABCDE 的面积为 16412，由几何概型的公式可得 P121634.角度三 与平面向量的线性运算交汇命题的问题3已知 P 是ABC 所在平面内一点，PB PC 2 PA0，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是()A.14B.13C.23D.12解析：选 D 由题意可知，点 P 位于 BC 边的中线的中点处记黄豆落在PBC 内为事件 D，则 P(D)SPBCSABC
10、12.类题通法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解对应学生用书P153课堂练通考点1已知ABC 中，ABC60，AB2，BC6，在 BC 上任取一点 D，则使ABD为钝角三角形的概率为()A.16 B.13C.12D.23解析：选 C 如图，当 BE1 时，AEB 为直角，则点 D 在线段BE(不包含 B，E 点)上时，ABD 为钝角三角形；当 BF4 时，BAF为直角，则点 D 在线段 CF(不包含 C，F 点)上时，ABD 为钝角三角形所以ABD 为钝角三角形的概率为126 12.2在区间5,5内随机地取出一个数 a，则恰好使 1 是关于 x 的不等式 2x2axa20的一个解的概率为()A0.3 B0.4C0.6 D0.7解析：选 D 由已知得 2aa22 或 a1.故当 a5，1)(2,5时，1 是关于 x 的不等式 2x2axa213，三棱锥 S-ABC 的高与三棱锥 S-APC 的高相同作 PMAC 于 M，BNAC 于 N，则 PM，BN 分别为APC与ABC 的高，所以VS-APCVS-ABCSAPCSABCPMBN13，又PMBNAPAB，所以APAB13，故所求的概率为23(即为长度之比)答案：23
