1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(一)导数的综合应用1.(2014汕头模拟)某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x(单位:元,0x9)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数.(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解题提示】(1)先写出多卖的商品数,则可计算出商品在一个星期的获利数,再依题意“商品单价降低1元时,一星期多卖出5件”求出
2、比例系数,即可把一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(2)根据(1)中得到的函数,利用导数研究其极值,也就是求出函数的极大值,从而得出定价为多少元时,能使一个星期的商品销售利润最大.【解析】(1)依题意,设m=kx2,由已知得5=k12,从而k=5,所以m=5x2,所以y=(14-x-5)(75+5x2)=-5x3+45x2-75x+675(0x0得1x5,由y0得0x1或5x9,可知函数y在0,1)上递减,在(1,5)上递增,在(5,9)上递减,从而函数y取得最大值的可能位置为x=0或是x=5,因为y(0)=675,y(5)=800,所以当x=5时,ymax=800,答:商品每件定价为9元
3、时,可使一个星期的商品销售利润最大.【加固训练】(2015湖南四校联考)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.工厂在不赔付农场的情况下,工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000.若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格).(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产量.(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额为y=0.002t2(元),在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求
4、赔付价格s是多少?【解析】(1)工厂的实际年利润为:w=2000-st(t0).w=2000-st=-s+,当t=时,w取得最大值.所以工厂取得最大年利润的年产量t=(吨).(2)设农场净收入为v元,则v=st-0.002t2.将t=代入上式,得:v=-.又v=-+=,令v=0,得s=20.当s0;当s20时,v1-.【证明】(1)g(x)=,当0x1时,g(x)1时,g(x)0,即g(x)在(0,1)上是减少的,在(1,+)上是增加的.所以g(x)g(1)=1,得证.(2)f(x)=1-,f(x)=,所以0x2时,f(x)2时,f(x)0,即f(x)在(0,2)上是减少的,在(2,+)上是增
5、加的,所以f(x)f(2)=1-,又由(1)x-lnx1,所以(x-lnx)f(x)1-.3.(2015合肥模拟)若f(x)=其中aR.(1)当a=-2时,求函数f(x)在区间上的最大值.(2)当a0时,若x1,+),f(x)a恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=-2,xe,e2时,f(x)=x2-2lnx+2,因为f(x)=2x-,所以当xe,e2时,f(x)0,所以函数f(x)=x2-2lnx+2在e,e2上是增加的,故f(x)max=f(e2)=(e2)2-2lne2+2=e4-2.(2)当xe时,f(x)=x2+alnx-a,f(x)=2x+,因为a0,f(x)0,所以f(x)
6、在e,+)上是增加的,故当x=e时,f(x)min=f(e)=e2;当1xe时,f(x)=x2-alnx+a,f(x)=2x-=,()当1,即0a2时,f(x)在区间1,e)上是增加的,当x=1时,f(x)min=f(1)=1+a,且此时f(1)f(e)=e2;()当1e,即2a2e2时,f(x)在区间上是减少的,在区间上是增加的,故当x=时,f(x)min=f=-ln,且此时fe,即a2e2时,f(x)=x2-alnx+a在区间1,e上是减少的,故当x=e时,f(x)min=f(e)=e2.综上所述,函数y=f(x)在1,+)上的最小值为f(x)min=由得00,f(x)=x(2lnx+1)
7、.令f(x)=x(2lnx+1)0,得2lnx+10,即x;令f(x)=x(2lnx+1)0,得2lnx+10,即0x0),设g(x)=xlnx+,g(x)=lnx+,g(1)=0,当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)是增加的,所以x0时,g(x)min=g(1)=1.所以k1,k的取值范围是1,+).5.(2014四川高考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.71828为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值.(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.【解题提示】本题
8、主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用,函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想,并考查思维的严谨性.【解析】(1)因为f(x)=ex-ax2-bx-1,所以g(x)=f(x)=ex-2ax-b,又g(x)=ex-2a,因为x0,1,1exe,所以:若a,则2a1,g(x)=ex-2a0,所以函数g(x)在区间0,1上是增加的,g(x)min=g(0)=1-b.若a,则12ae,于是当0xln(2a)时,g(x)=ex-2a0,当ln(2a)0,所以函数g(x)在区间0,ln(2a)上是减少的,在区间(ln(
9、2a),1上是增加的,g(x)min=g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b.若a,则2ae,g(x)=ex-2a0,所以函数g(x)在区间0,1上是减少的,g(x)min=g(1)=e-2a-b.综上所述,当a时,g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)min=g(0)=1-b;当a时,g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)min=g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b;当a时,g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)min=g(1)=e-2a-b.(2)由f(1)=0e-a-b-1=0b=e-a-1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内不可能是增加的,也不可能是减少的,由(1)知当a或a时,函数g(x)即f(x)在区间0,1上单调,不可能满足上述要求.故只有a,此时g(x)min=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e+1,令h(x)=x-xlnx-e+1(1x0x,所以h(x)在区间(1,)上是增加的,在区间(,e)上单调递减,h(x)max=h()=-ln-e+1=-e+10,即g(x)min0恒成立,因为函数f(x)在区间(0,1)内不可能是增加的,也不可能是减少的,所以解得又a,所以e-2a1,综上,a的取值范围为(e-2,1).关闭Word文档返回原板块
