1、1直接证明(1)综合法定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法框图表示：已知条件 结论思维过程：由因导果(2)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法常称为分析法框图表示：结论 已知条件思维过程：执果索因2间接证明反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)这个过程包括下面 3 个步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推
2、理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式 2 7 3 6最合适的方法是分析法()1(2016扬州质检)已知点 An(n，an)为函数 y x21图象上的点，Bn(n，bn)为函数 yx 图象上的点
3、，其中 nN*，设 cnanbn，则 cn 与 cn1 的大小关系为_答案 cn1cn解析 由条件得cnanbn n21n1n21n，则 cn 随 n 的增大而减小，cn1a bb a，则 a、b 应满足的条件是_答案 a0，b0 且 ab解析 a ab b(a bb a)a(ab)b(ba)(a b)(ab)(a b)2(a b)当 a0，b0 且 ab 时，(a b)2(a b)0.a ab ba bb a成立的条件是 a0，b0 且 ab.5(2016盐城模拟)如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，则对于区间 D 内的任意 x1，x2，xn，有fx1fx2fxnnf(x1x2xnn)
4、，已知函数 ysin x 在区间(0，)上是凸函数，则在ABC 中，sin Asin Bsin C 的最大值为_答案 3 32解析 f(x)sin x 在区间(0，)上是凸函数，且 A，B，C(0，)fAfBfC3f(ABC3)f(3)，即 sin Asin Bsin C3sin 33 32，sin Asin Bsin C 的最大值为3 32.题型一 综合法的应用例 1 数列an满足 an1an2an1，a11.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)求数列1an的前 n 项和 Sn，并证明 1S1 1S21Sn nn1.(1)证明 an1an2an1，1an12an1an，化简得 1an12
5、1an，即 1an11an2，故数列1an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列(2)解 由(1)知1an2n1，Snn12n12n2.方法一 1S1 1S2 1Sn 112 122 1n2 112 1231nn1(112)(1213)(1n 1n1)1 1n1 nn1.方法二1S11S21Sn 112 122 1n21，又1 nn1，1S11S21Sn nn1.思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎
6、推理 若 a，b，c 是不全相等的正数，求证：lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c.证明 a，b，c(0，)，ab2 ab 0，bc2 bc 0，ac2 ac 0.由于 a，b，c 是不全相等的正数，上述三个不等式中等号不能同时成立，ab2 bc2 ca2 abc0 成立上式两边同时取常用对数，得lg(ab2 bc2 ca2)lg abc，lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c.题型二 分析法的应用例 2 已知函数 f(x)tan x，x0，2，若 x1，x20，2，且 x1x2，求证：12f(x1)f(x2)fx1x22.证明 要证12f(x1)
7、f(x2)fx1x22，即证明12(tan x1tan x2)tan x1x22，只需证明12sin x1cos x1sin x2cos x2 tan x1x22，只需证明 sinx1x22cos x1cos x2sinx1x21cosx1x2.由于 x1，x20，2，故 x1x2(0，)所以 cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，故只需证明 1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证 1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证 cos(x1x2)fx1x22.引申探究若本例中 f(x)变为 f(x)3x2x
8、，试证：对于任意的 x1，x2R，均有fx1fx22fx1x22.证明 要证明fx1fx22fx1x22，即证明3x12x13x22x221223xx2x1x22，因此只要证明3x13x22(x1x2)1223xx(x1x2)，即证明3x13x221223xx，因此只要证明3x13x22 3x13x2，由于 x1，x2R 时，3x10,3x20，由基本不等式知3x13x22 3x13x2显然成立，故原结论成立思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出
9、某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证(2016苏州模拟)下列各式：10.120.112，0.2 30.5 30.20.5，2737 23，72101 72101.请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明解 已知 ab0，m0，求证：bmamba.证明如下：ab0，m0，欲证bmamba，只需证 a(bm)b(am)，只需证 ambm，只需证 ab，由已知得 ab 成立，所以bmamba成立题型三 反证法的应用命题点 1 证明否定性命题例 3(2016连云港模拟)设an是公比为 q 的等比数列(1)推导an的前
10、n 项和公式；(2)设 q1，证明：数列an1不是等比数列(1)解 设an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sna1a1a1na1；当 q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sna11qn1q，Snna1，q1，a11qn1q，q1.(2)证明 假设an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列
11、命题点 2 证明存在性问题例 4 已知四棱锥 SABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SBSD 2，SA1.(1)求证：SA平面 ABCD；(2)在棱 SC 上是否存在异于 S，C 的点 F，使得 BF平面 SAD？若存在，确定 F 点的位置；若不存在，请说明理由(1)证明 由已知得 SA2AD2SD2，SAAD.同理 SAAB.又 ABADA，AB平面 ABCD，AD平面 ABCD，SA平面 ABCD.(2)解 假设在棱 SC 上存在异于 S，C 的点 F，使得 BF平面 SAD.BCAD，BC平面 SAD.BC平面 SAD.而 BCBFB，平面 FBC平面 SAD.这与平面 SBC
12、 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾，假设不成立不存在这样的点 F，使得 BF平面 SAD.命题点 3 证明唯一性命题例 5 已知 a0，证明关于 x 的方程 axb 有且只有一个根证明 由于 a0，因此方程至少有一个根 xba.假设 x1，x2 是它的两个不同的根，即 ax1b，ax2b，由得 a(x1x2)0，因为 x1x2，所以 x1x20，所以 a0，这与已知矛盾，故假设错误所以当 a0 时，方程 axb 有且只有一个根思维升华 应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论 q 相反的假设綈 q；第三步：由 p 和綈 q 出发，
13、应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈 q 不真，于是原结论 q 成立，从而间接地证明了命题 pq 为真所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 已知二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)0，且 0 x0.(1)证明：1a是函数 f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明1ac.证明(1)f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)0 有两个不等实根 x1，x2，f(c)0，x1c 是 f(x)0 的根，又 x1x2ca
14、，x21a(1ac)，1a是 f(x)0 的一个根即1a是函数 f(x)的一个零点(2)假设1a0，由 0 x0，知 f(1a)0，与 f(1a)0 矛盾，1ac，又1ac，1ac.22反证法在证明题中的应用典例(14 分)直线 ykxm(m0)与椭圆 W：x24y21 相交于 A、C 两点，O 是坐标原点(1)当点 B 的坐标为(0,1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；(2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形思想方法指导 在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题
15、步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去规范解答(1)解 因为四边形 OABC 为菱形，则 AC 与 OB 相互垂直平分由于 O(0,0)，B(0,1)，所以设点 At，12，代入椭圆方程得t24141，则 t 3，故|AC|2 3.4 分(2)证明 假设四边形 OABC 为菱形，因为点 B 不是 W 的顶点，且 ACOB，所以 k0.由x24y24，ykxm，消 y 并整理得(14k2)x28kmx
16、4m240.7 分设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x22 4km14k2，y2y22kx1x22mm14k2.所以 AC 的中点为 M4km14k2，m14k2.10 分因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m0，k0，所以直线 OB 的斜率为 14k，因为 k 14k 141，所以 AC 与 OB 不垂直13 分所以 OABC 不是菱形，与假设矛盾所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形14 分1(2017泰州月考)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x2axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是_答案 方程 x2axb0 没有实根解析 因
17、为“方程 x2axb0 至少有一个实根”等价于“方程 x2axb0 有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程 x2axb0 没有实根”2若一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为_答案(3,0解析 若 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则必有2k0，k242k380或 k0.解得30，则关于三个数yxyz，zxzy，xzxy的叙述正确的是_都大于 2 至少有一个大于 2至少有一个不小于 2 至少有一个不大于 2答案 解析 因为(yxyz)(zxzy)(xzxy)(yxxy)(yzzy)(zxxz)6，当且仅当 xyz 时等号成立所以三个
18、数中至少有一个不小于 2，正确4(2016镇江模拟)若 P aa7，Qa3a4(a0)，则 P，Q 的大小关系是_答案 PQ解析 P22a72 aa72a72 a27a，Q22a72 a3a42a72 a27a12，P2Q2，P0，ab0，b0，a0，b0 且ab0 成立，即 a，b 不为 0 且同号即可，故能使baab2成立6用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)有有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数用反证法证明时，下列假设正确的是_假设 a，b，c 都是偶数；假设 a，b，c 都不是偶数；假设 a，b，c 至多有一个偶数；假设 a，b，c 至多有两个偶数答案
19、解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故正确7(2016全国甲卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_答案 1 和 3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”可知，丙为“1 和 2”或“1 和 3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，所以乙只可能为“2 和 3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，所以甲只能为“1 和 3”8若二次函数 f(x
20、)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点 c，使 f(c)0，则实数 p 的取值范围是_答案 3，32解析 若二次函数 f(x)0 在区间1,1内恒成立，则f12p2p10，f12p23p90，解得 p3 或 p32，故满足题干条件的 p 的取值范围为3，32.9已知 m0，a，bR，求证：(amb1m)2a2mb21m.证明 因为 m0，所以 1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证 m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立，故原不等式得证10设 f(x)ax2bxc(a0)，若函数 f(x1)与 f(x)的图象
21、关于 y 轴对称，求证：f(x12)为偶函数证明 由函数 f(x1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，可知 f(x1)f(x)将 x 换成 x12代入上式可得f(x121)f(x12)，即 f(x12)f(x12)，由偶函数的定义可知 f(x12)为偶函数11(2016苏州模拟)已知函数 f(x)axx2x1(a1)(1)证明：函数 f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根证明(1)任取 x1，x2(1，)，不妨设 x10.a1，ax2x11 且 ax10，ax2ax1ax1(ax2x11)0.又x110，x210，x22x21x12x11x22x11x1
22、2x21x11x213x2x1x11x210.于是 f(x2)f(x1)ax2ax1x22x21x12x110，故函数 f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在 x01，0ax01，0 x02x011，即12x02，与假设 x00 相矛盾，故方程 f(x)0 没有负数根12(2016浙江)设函数 f(x)x3 11x，x0,1，证明：(1)f(x)1xx2；(2)34f(x)32.证明(1)因为 1xx2x31x41x 1x41x，由于 x0,1，有1x41x 1x1，即 1xx2x3 1x1，所以 f(x)1xx2.(2)由 0 x1 得 x3x，故 f(x)x3 1x1x 1x1x 1x
23、13232x12x12x13232，所以 f(x)32.由(1)得 f(x)1xx2x1223434，又因为 f 12 192434，所以 f(x)34.综上，34f(x)32.13.(2015课标全国)设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd，证明：(1)若 abcd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd|的充要条件证明(1)因为(a b)2ab2 ab，(c d)2cd2 cd，由题设 abcd，abcd 得(a b)2(c d)2.因此 a b c d.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2,即(ab)24ab(cd)24cd.因为 abcd，所以 abcd.由(1)得 a b c d.若 a b c d，则(a b)2(c d)2，即 ab2 ab cd2 cd.因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，a b c d是|ab|cd|的充要条件
