1、高考资源网（） 您身边的高考专家第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识梳理1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r
2、2)无解常用结论1圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.3直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r
3、2d2.二、教材衍化 1直线yx1与圆x2y21的位置关系为()A相切 B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离答案：B2直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB| 答案：3两圆x2y22y0与x2y240的位置关系是 答案：内切一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切()(3)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()答案：(
4、1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)忽视分两圆内切与外切两种情形；(2)忽视切线斜率k不存在的情形1若圆x2y21与圆(x4)2(ya)225相切，则常数a 解析：两圆的圆心距d，由两圆相切(外切或内切)，得51或51，解得a2或a0.答案：2或02已知圆C：x2y29，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为 解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y1k(x3)，所以kxy13k0，所以3，所以k，所以切线方程为4x3y150.综上，切线方程为x3或4x3y150.答案：x3或4x3y150直线与圆的位置关系(
5、典例迁移) (1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外， 则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定(2)(一题多解)圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是 【解析】(1)因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，从而圆心O到直线axby1的距离d1，所以直线与圆相交(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是16k212(k21)1，即1，解得k(，)【答案】(1)B(2)k(，)【迁移探究】(变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2y21上”，则直线axby1与圆O的位置
6、关系如何？解：由点M在圆上，得a2b21，所以圆心O到直线axby1的距离d1，则直线与圆O相切判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断如果0，那么直线与圆相交(2020陕西四校联考)直线axby0与圆x2y2axby0的位置关系是()A相交B相切C相离D不能确定，与a，b取值有关解析：选B.将圆的方程化为标准方程得，所以圆心坐标为，半径r.因为圆心到直线axby0的距离dr，所以直线与圆相切故选B.切线与圆的综合问题(
7、多维探究)角度一圆的切线问题 (1)2020宁夏银川一中一模)与3x4y0垂直，且与圆(x1)2y24相切的一条直线是()A4x3y6 B4x3y6 C4x3y6 D4x3y6(2)(一题多解)(2019高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m ，r 【解析】(1)设与直线3x4y0垂直的直线方程为l：4x3ym0，直线l与圆(x1)2y24相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即2，所以m6或m14，所以4x3y60，或4x3y140，结合选项可知B正确，故选B.(2)法一：设过点A(2，1)且与直线2xy30垂直的直线
8、方程为l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，则r.法二：因为直线2xy30与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(2，1)，所以21，所以m2，r.【答案】(1)B(2)2圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k；(2)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.注意求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆
9、外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为xx0)角度二圆的弦长问题 (1)(一题多解)(2020安徽合肥调研)已知直线l：xy50与圆C：(x2)2(y1)2r2(r0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r()A. B2 C2 D4(2)(2020豫西南五校3月联考)已知圆C：(x2)2y24，直线l1：yx，l2：ykx1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为12，则k的值为()A. B1 C. D【解析】(1)法一：圆C的圆心为(2，1)，圆心到直线l的距离d，又弦长为2，所以22，所以r2，故选B.法二：联立得整理得
10、2x212x20r20，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x26，x1x2，所以|AB|x1x2|2，解得r2.(2)圆C：(x2)2y24的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：yx的距离d1，所以l1被圆C所截得的弦长为22.圆心到直线l2的距离d2，所以l2被圆C所截得的弦长为42，所以d20.所以2k10，解得k，故选C.【答案】(1)B(2)C求直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2；(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再
11、利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|x1x2|.1平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0解析：选A.设直线方程为2xyc0，由直线与圆相切，得d，c5，所以所求方程为2xy50或2xy50.2(2020河南驻马店质检)已知aR且为常数，圆C：x22xy22ay0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点当ACB最小时，直线l的方程为2xy0，则a的值为()A2 B3 C4 D5解析：选B.圆的方程配方，得(x1)2(ya)21a2，圆心为C(1，a)，当弦AB
12、最短时，ACB最小，此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2xy0垂直，所以21，解得a3.3(2020陕西咸阳模拟)若点P(1，1)为圆x2y26x0中弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为 ，|AB| 解析：圆x2y26x0的标准方程为(x3)2y29.又因为点P(1，1)为圆中弦AB的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y12(x1)，即2xy10.圆心(3，0)与点P(1，1)之间的距离d，圆的半径r3，则|AB|24.答案：2xy104圆与圆的位置关系(师生共研) (1)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2
13、，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离(2)两圆C1：x2y24xy10，C2：x2y22x2y10相交于A，B两点，则|AB| 【解析】(1)由题意得圆M的标准方程为x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2，圆M，圆N的圆心距|MN|，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交(2)由(x2y24xy1)(x2y22x2y1)0得弦AB所在直线方程为2xy0.圆C2的方程为(x1)2(y1)21，圆心C2(1，1)，半径r21.圆心C2到直线AB的距离d .所以|AB|22.【答案】(1)B(2)(1)几
14、何法判断圆与圆的位置关系的步骤确定两圆的圆心坐标和半径；利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r1r2，|r1r2|；比较d，r1r2，|r1r2|的大小，然后写出结论(2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一个圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解1圆C1：(xm)2(y2)29与圆C2：(x1)2(ym)24外切，则m的值为()A2 B5 C2或5 D不确定解析：选C.由圆心C1(m，2)，r13；圆心C2(1，m)，r22；则两圆心之间的距离为|C1C2|235，解得m2或5.故选C.2(2020江苏南师大附中期中改
15、编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，8)，且与圆x2y26x6y0相切于原点，则圆C的方程为 ，圆C被x轴截得的弦长为 解析：将已知圆化为标准式得(x3)2(y3)218，圆心为(3，3)，半径为3.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线yx上由于圆C过点(0，0)，(0，8)，所以圆心又在直线y4上联立yx和y4，得圆心C的坐标(4，4)又因为点(4，4)到原点的距离为4，所以圆C的方程为(x4)2(y4)232，即x2y28x8y0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为28.答案：x2y28x8y08核心素养系列17直观想象解决直线与圆的综合问题直观
16、想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础 已知AC，BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为()A5 B10 C15 D20【解析】由已知，圆心为O(0，0)，半径为2.设圆心O到AC，BD的距离分别为d1，d2，作OEAC，OFBD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形，连接OM，则ddOM23.又|AC|2，|BD|2，所以S四边形ABCD|AC|BD|2(4d)(4d)8(dd)5，当且仅当d1d2时取等号，即四边形ABCD的面积的最大值为5.【答案】A直线与
17、圆综合问题的求法(1)圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.(2)圆与直线l相交的情形圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径1(2020芜湖模拟)圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选C.因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个2P在直线l：xy2上，过P作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，O
18、为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为 解析：连接OP，OA，OB，则S四边形OAPB|OA|PA|OA|.而|OP|的最小值为|OP|min，所以(S四边形OAPB)min1.答案：1基础题组练1圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切解析：选B.圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r11，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r22，所以两圆的圆心距d，而r2r11，r1r23，则有r2r1d0，x，yR，p：“|x|1”，q：“x2y2r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是()A. B(0，1 C. D2，)解析：选A
19、.如图，“|x|1”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，“x2y2r2”表示圆及其内部，易知圆心O(0，0)到直线AD：2xy20的距离d，由p是q的必要不充分条件，得0r，故选A.3已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M
20、的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距离为，所以|PM|，SPOM，故POM的面积为.4已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求|PM|的最小值解：(1)将圆C的方程配方得(x1)2(y2)22，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx(k0)，由直线与圆相切得，解得k2，所以切线方程为y(2)x或y(2)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为xya0，由直线与圆相切得，解得a1或a5，所以切线方程为xy10或xy50.综上，所求的切线方程为y(2)x或y(2)x或xy10或xy50.(2)由|PM|PO|得(x11)2(y12)22xy，即2x14y130，即点P在直线l：2x4y30上，所以|PM|min.高考资源网版权所有，侵权必究！
