1、24向量的数量积前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道ab，ab，a(R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？1已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量_叫做a与b的数量积，记作_，即_答案：|a|b|cos abab|a|b|cos 2两非零向量a与b的夹角为，a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影是_，ab的几何意义为_当为_时，b在a上投影为正；当为_时，b在a上的投影为负；当为_时，b在a上的投影为零答案：|a|cos |b|cos a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的积锐角钝角903a，b同向时，ab
2、_，当a与b反向时，ab_，特别地aa_答案：|a|b|a|b|a|24|ab|与|a|b|的大小关系是_答案：|ab|a|b|5向量数量积的运算律为ab_；(a)b_；(ab)c_答案：ba(ab)a(b)acbc6两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_答案：x1x2y1y27如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么|a|_，这是平面内两点间的距离公式答案：8设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_答案：x1x2y1y209若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a、b的夹角为，则有cos _
3、答案：数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，我们把|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos (0)其中|a|cos (|b|cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影特别提示：(1)当0时，cos 0，从而ab0；当0时，cos 0，从而ab0；当时，cos 0，从而ab0.(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数数量积的性质及运算律1数量积的重要性质设a与b都是非零向量，e是单位向量，是a与e的夹角(1)ea
4、ae|a|cos ；(2)abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特别地，aa|a|2或|a|，aa也可记作a2.(4)|ab|a|b|.2数量积的运算律已知a，b，c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：(1)abba(交换律)；(2)(a)ba(b)(ab)ab(数乘结合律)；(3)(ab)cacbc(分配律)说明：(1)当a0时，由ab0不能推出b一定是零向量这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有ab0.(2)已知实数a、b、c(b0)，则abbcac.但对向量的数量积，该推理不正确，即abbc不能推出ac.由图很容易看出，虽然abbc，但ac.
5、(3)对于实数a、b、c，有(ab)ca(bc)；但对于向量a、b、c而言，(ab)ca(bc)未必成立这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(ab)ca(bc)未必成立向量的模设a(x，y)，|a|2aa(x，y)(x，y)x2y2，故|a|，即向量的长度(模)等于它的坐标平方和的算术平方根设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.即得平面上两点间的距离公式，与解析几何中的距离公式完全一致向量的夹角设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其夹角为，则abx1x2y1y2或ab|a|b|cos cos ，故
6、cos ，当90时，cos 0，即x1x2y1y20，所以abx1x2y1y20.1i，j是互相垂直的单位向量，a是任一向量，则下列各式不成立的是()Aaa|a|2 Bii1Cij0 Daja答案：D2在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8 C8 D16解析：C90，0.16，故选D.答案：D3已知|e1|e2|1，e1，e2的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2)()A1 B1 C D解析：|e1|e2|1，e1，e2的夹角为60，(2e1e2)(3e12e2)6e7e1e22e62.故选C.答案：C4若ab，ac，则c(a2b)()A4 B3 C2 D0解析：ab，a
7、c，c(a2b)cac2b000，故选D.答案：D5(2014湖北卷)若向量(1，3)，|，0，则|_解析：先判断AOB是等腰三角形，再计算斜边长由题意，并可知AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|，由勾股定理得|2.答案：26已知A(1，1)，B(1，2)，C，则等于_答案：7设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_答案：8已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则b等于_答案：9已知ABC中，a，b，ab0.40，即.故存在实数，满足条件20已知ABC是边长为2的正三角形，设2，3，求.解析：2，3，()()2222cos 6022cos 602222cos 60221.
