1、第2课时 数列的通项公式与递推公式 必备知识自主学习 导思 1.数列的递推公式的含义是什么?2.数列递推公式与通项公式有什么关系?数列递推公式(1)定义:条件已知数列的_(或前几项);从第二项(或某一项)开始的任一 项an与它的前一项_(或前几项)间 的关系可以用一个公式来表示.结论 具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式第1项 an-1(2)本质:递推公式是给出数列的一种重要方法,是关于项数n的恒等式.(3)作用:写出数列的任意一项;分析数列的性质.思考 数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?提示:不同点 相同点 通项 公式 可根据某项的序号,直接用代入法求出该项 都可确定一个数列,
2、都可求出数列的任何一项 递推 公式 可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所需的项【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)所有的数列都有递推公式.()(2)由公式an+1=an-2(n1)可写出数列an的所有项.()(3)若数列an满足an+1=an(n1),则该数列是常数列.()提示:(1).并不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到 1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,就 没有递推公式.(2).还需知道数列中至少一项的值.(3).该数列每一项都相同.22.在数列an中,a1=-1,a
3、n+1=an-3,则a3等于()A.-7 B.-4 C.-1 D.2【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.3.(教材二次开发:练习改编)已知数列an满足a10,=2(nN*),则数列an是 数列(填“递增”或“递减”).【解析】由已知a10,an+1=2an(nN*),得an0(nN*).又an+1-an=2an-an=an1);(2)a1=1,an=(n1).2n 1a1 n1n1a3a1【解析】1.选C.由已知得a2=2a1+1=21+1=3,a3=2a2+1=23+1=7,a4=2a3+1=27+1=15.2.选D.因为a1=-2,an+1=1-,
4、所以a2=1+=,a3=1-=1-,a4=1-=1-3=-2,所以数列an是周期T=3的周期数列,所以a2 021=a2=.n1a123221a213331a323.(1)因为a1=1,an=-1(n1),所以a2=12-1=0,a3=02-1=-1,a4=(-1)2-1=0,a5=02-1=-1.2n 1a(2)因为a1=1,an=(n1),所以a2=,a3=,a4=,a5=.11a113a13 1 14 221a1413a17314331a1713a110317441a11013a1133110n1n1a3a1【解题策略】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先
5、要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【补偿训练】根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(nN*),(2)a1=1,an+1=(nN*),(3)a1=3,an+1=3an-2(nN*).nn2aa2【解析】(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.(2)因为a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=,所以an=
6、.2312242513262n1(3)因为a1=3=1+230,a2=7=1+231,a3=19=1+232,a4=55=1+233,a5=163=1+234,所以an=1+23n-1.类型二 由递推公式求通项公式(数学抽象、逻辑推理)角度1 累加法 【典例】在数列an中,a1=2,an+1=an+ln ,求数列的通项公式an.【思路导引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.1(1)n【解析】an+1-an=ln =ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,an-an-1=ln n-ln(n-
7、1)(n2),以上各式相加得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+ln n-ln(n-1).所以an=2+ln n(n2).因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln n.1(1)n【变式探究】将本例的条件改为“在数列an中,a1=1,an=an-1+(n2)”,求数 列的通项公式.1n1n【解析】因为an=an-1+(n2),所以an-an-1=,所以a1=1,a2-a1=,a3-a2=,a4-a3=,an-an-1=.1n1n 1n1n n1n 324354n1n 所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=1+(-)+(-)+(-)+(-)=
8、-+1.当n=1时,a1=1也适合上式,所以an=-+1.323445n1nn12n12 角度2 累乘法 【典例】设数列an中,a1=1,an=an-1(n2),求数列的通项公式an.【思路导引】将递推公式整理为 =f(n),累乘求通项公式.1(1)nn 1naa【解析】因为a1=1,an=an-1(n2),所以 ,an=a1=1=.又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=.1(1)nnn1an 1annn1aa n1n2aan2n3aa32aa21aan1n2n3nn1n221321n1n【解题策略】1.用“累加法”求数列的通项公式 当an-an-1=f(n)(n2)满足一定条件时,常
9、用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1累加来求通项an.2.用“累乘法”求数列的通项公式 当 =g(n)(n2)满足一定条件时,常用an=a1累 乘来求通项an.nn 1aa nn 1aa n 1n 2aan 2n 3aa21aa【题组训练】1.已知数列an满足a1=2,an+1=3an(nN*),求这个数列的通项公式.【解析】由an+1=3an得 =3.因此可得 .将上面的n-1个式子相乘可得 =3n-1.即 =3n-1,所以an=a13n-1,又a1=2,故an=23n-1.n1naa324n123n1aaaa3333aaaa，324n123n1aaaaa
10、aaan1aa2.已知数列an满足a1=-1,an+1=an+,nN*,求通项公式an.【解题指南】先将an+1=an+变形为an+1-an=,再用累加法求an.1n(n 1)1n(n 1)11nn 1【解析】因为an+1-an=,所以a2-a1=;a3-a2=;a4-a3=;an-an-1=(n2).以上各式累加得an-a1=+=.所以an+1=1-,所以an=-(n2).又因为n=1时,a1=-1,符合上式,所以an=-(nN*).1n(n 1)11 212 313 41(n 1)n11 212 31(n 1)n111111(1)()()1223n 1nn 1n1n1n【补偿训练】已知数列
11、an中,a1=1,当nN*且n2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.【解析】当n2,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,所以 =,所以 =.nn 1aa 2n32n 1324123aaaaaan1nn2n1aaaa1537592n52n12n32n 11 3(2n 1)(2n 1)所以 ,所以an=,当n=1时符合上式,所以an=,nN*.n1a3a(2n 1)(2n 1)3(2n 1)(2n 1)3(2n 1)(2n 1)类型三 数列的函数性质(数学抽象)【典例】已知数列an的通项公式是an=(n+1),试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;
12、若没有,请说明理由.n10()11【解题策略】1.数列单调性的判断方法(1)根据定义判断:若an+1an,则an是单调递增数列;若an+10,则数列an是单调递增数列;若an+1-an1(an0,nN*)或 1(an0,nN*),则数列an是单调递增数列;若 0,nN*)或 1(anan+1,所以-2n2+n-2(n+1)2+(n+1),解得 4n+2,因为数列4n+2单调递增,所以n=1时取得最小值6,所以 6.2.已知数列an中,an=(nN*),求数列an的最大项.【解析】an=,当n16时,an1且an单调递减.因此数列an的最大项是 第16项,a16=40.nn 15.6n15.61
13、n 15.6n 15.6 3.数列an的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.【解析】(1)令an=n2-5n+40,得1n4,nN*,所以数列中仅有两项a2,a3是负数.(2)an=n2-5n+4=,其对称轴为n=,又nN*,所以n取2,3时,an有最小值-2.259(n)2452课堂检测素养达标 1.符合递推关系式an=an-1的数列是()A.1,2,3,4,B.1,2,2 ,C.,2,2,D.0,2,2 ,【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的 倍,符合递推公式an=an-1.2222222222.已知数列an
14、的通项公式为an=,则数列an为()A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定数列的增减性【解析】选B.因为an=,所以n2时,an-an-1=2+0,所以anan-1,所以数列an为递减数列.2n1n2n112nn11112nn1nn13.在数列an中,a1=2,an+1-an-3=0,则an的通项公式为()A.an=3n+2 B.an=3n-2 C.an=3n-1 D.an=3n+1【解析】选C.因为a1=2,an+1-an-3=0,所以n2时,an-an-1=3,an-1-an-2=3,an-2-an-3=3,a2-a1=3,以上各式相加,则有an-a1=(n-1)3,所以an
15、=2+3(n-1)=3n-1.a1=2也符合上式,所以an=3n-1.4.已知数列an中,a1=2,an=-(n2),则a2 020=.【解析】因为a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2,所以an的周期为2,所以a2 020=a2=-.答案:-n11a 11a1221a1212125.(教材二次开发:例题改编)设数列an中,满足a1=1,an+1=2+(n1),写出 这个数列的前5项.【解析】由题意可知a1=1,a2=2+=2+=3,n1a11a113423541171317a22a22a33a771741a22.a1717，课时素养评价 七 数列的通项公式与递推公式【基础通关】(20分钟
16、 35分)1.数列 ,的递推公式可以是()A.an=(nN*)B.an=(nN*)C.a1=,an+1=an(nN*)D.a1=,an+1=2an(nN*)1 1 1 12 4 8 16，n 112 12n121212【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的 ,故递推公式为 a1=,an+1=an(nN*).1212122.已知数列an的首项为a1=1,且满足an+1=an+,则此数列的第4项 是()【解析】选B.由a1=1,所以a2=a1+=1,12n12135A.1B.C.D.2481212233423113111aaaa.224222，【补偿训练】数列an中,an+1=an+2-a
17、n,a1=2,a2=5,则a5=()A.-3 B.-11 C.-5 D.19【解析】选D.a3=a2+a1=5+2=7,a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.3.已知数列an,a1=1,ln an+1-ln an=1,则数列an的通项公式是()A.an=n B.an=C.an=en-1 D.an=【解析】选C.因为ln an+1-ln an=1,所以ln =1.所以 =e.由累乘法可得an=en-1.1nn 11e n 1naan 1naa4.已知数列an满足a1=1,an=nan-1(n2),则a5=_.【解析】因为an=nan-1,且n2,所以 当n=2时,a2
18、=2a1=2;当n=3时,a3=3a2=6;当n=4时,a4=4a3=24;当n=5时,a5=5a4=120.答案:120 5.已知数列an通项公式为an=|n-|,则an的最小值为_,此时n的值为_.103【解析】依题意,an=当n3且nN*时,an单调递减,所以最小值为a3=;当n4且nN*时,an单调递增,所以最小值为a4=;综上an的最小值为 ,此时n的值为3.答案:3 10nn3nN*310nn4nN*3（，），（，），132313136.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1=1,an+1=an+(nN*);(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1
19、-2an(nN*).【解析】(1)a1=1,a2=,a3=2,a4=.猜想an=.(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.nan1324252n12【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如表定义函数f(x):x12345f(x)54312对于数列an,a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,则a2 021的值是()A.1 B.2 C.5 D.4【解析】选D.a1=4,an=f(an-1),所以a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=
20、f(a5)=f(4)=1,由上可知,数列an是4,1,5,2,4,1,是周期为4的周期数列,a2 021=a2 020+1=a1=4.【补偿训练】已知,在数列an中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2 012=()A.3 B.-3 C.6 D.-6【解析】选C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,故知an是周期为6的数列,所以a2 012=a2=6.2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图所示.他们研
21、究过图中的1,5,12,22,由于这些数能够表示成五角形,将其称为 五角形数,设第n个五角形数为an,则当n2时,an与an-1的关系为()A.an=an-1+n+2 B.an=an-1+3n-2 C.an=an-1+2n D.an=an-1+3n【解析】选B.观察图形,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n2时,an=an-1+3n-2.3.已知a1=1,an=n(an+1-an)(nN*),则数列an的通项公式是()A.an=2n-1 B.an=C.an=n2 D.an=n n 1n1()n【解析】选D.方法一:由已知整理,得(n+1)an=nan+1,所
22、以 ,所以数列 是常数列,且 =1,所以an=n.方法二:当n2时,两边分别相乘,得 =n.因为a1=1,所以an=n.又a1=1也符合上式,所以an=n.n 1naan1n nann1aan13nn 12n 1n 221aaaann132an1 an2a2 a1，n1aa4.已知an=(nN*),则在数列an的前30项中最大项和最小项分别 是()A.a1,a30 B.a1,a9 C.a10,a9 D.a10,a30 n96n97【解析】选C.an=1+,该函数在(0,)和(,+)上都是递减的,图象如图,因为9 10.所以这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10,a9.n96n9797
23、96n979797975.已知数列an满足an=若对于任意的nN*都有anan+1 成立,则实数a的取值范围是()A.(1,4)B.(2,5)C.(1,6)D.(4,6)n2an46anan4，（），【解析】选A.因为对于任意的nN*都有anan+1成立,所以数列an单调递增,所以应满足 解得1a4.故实数a的取值范围是(1,4).32a16a0a6a4a，（），二、填空题(每小题5分,共15分)6.在数列an中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n2,nN*),则 =_.【解析】依题意得a2=1+(-1)2=2,所以2a3=2+(-1)3,解得a3=,所以 a4=+(-1)4,解
24、得a4=3,所以3a5=3+(-1)5,解得a5=,得 答案:35aa1212122335a3.a4347.已知数列an满足a1=2,a2=5,a3=23,且an+1=an+,则,的值 分别为_.【解析】因为an+1=an+,所以 即 解得 答案:6,-7 2132aaaa ，25523 ，67.，8.已知an=n2-tn+2 020(nN*,tR),若数列an中最小项为第3项,则t_.【解析】因为已知an=n2-tn+2 020(nN*,tR),因为数列an中最小项为第3项,所以 ,求得 5t7.答案:(5,7)5t7222 三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=,设an
25、=f(n)(nN*).(1)求证:anan,所以an是递增数列.n11 11.nn(n1)1n 1111(1)(1)0n1nn1nnn1，（）10.已知数列an满足a1=,n2时,anan-1=an-1-an,求数列an的通项公式.12【解析】因为anan-1=an-1-an,所以 所以n2时,所以 =n+1,所以当n2时,an=.当n=1时,a1=也适合上式,所以an=(nN*).nn1111.aa n12132nn1n 111111111121 11n 1.aaaaaaaa共（）个()()()n1a1n1121n1【创新迁移】1.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”
26、:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n3,nN*),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列an,则数列an的前2 019项的 和为()A.672 B.673 C.1 346 D.2 019【解题指南】由已知写出数列an的前若干项,观察发现此数列周期为3,继而可得解.【解析】选C.因为an是“兔子数列”被2整除后的余数构成的数列,所以由“兔子数列”得a1=1,a2=1,a3=0,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,由不完全归纳可得an是以3
27、为周期的数列,所以S2 019=673(a1+a2+a3)=6732=1 346.2.已知数列an满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,求m所有可能的取值.nnnnaa23a1a.，为偶数，为奇数【解析】若a5为奇数,则3a5+1=1,a5=0(舍去).若a5为偶数,则 =1,a5=2.若a4为奇数,则3a4+1=2,a4=(舍去).若a4为偶数,则 =2,a4=4.若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=1,则a2=2,a1=4.若a3为偶数,则 =4,a3=8,5a2134a23a2若a2为奇数,则3a2+1=8,a2=(舍去).若a2为偶数,则 =8,a2=16.若a1为奇数,则3a1+1=16,a1=5.若a1为偶数,则 =16,a1=32.故m所有可能的取值为4,5,32.732a21a2
