1、课时跟踪检测（五十七）双曲线一、题点全面练1(2019襄阳联考)直线 l：4x5y20 经过双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线 C 的离心率为()A.53 B.35C.54D.45解析：选 A 由题意知直线 l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，4)，从而 c5，b4，a3，双曲线 C 的离心率 eca53.2(2019成都模拟)如图，已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)，长方形 ABCD 的顶点 A，B 分别为双曲线 E 的左、右焦点，且点 C，D在双曲线 E 上，若|AB|6，|BC|52，则此双曲线的离心率为()A.2B.32
2、C.52D.5解析：选 B 因为 2c|AB|6，所以 c3.因为b2a|BC|52，所以 5a2b2.又 c2a2b2，所以 9a25a2，解得 a2 或 a92(舍去)，故该双曲线的离心率 eca32，故选 B.3(2018武汉调研)已知点 P 在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上，PFx 轴(其中 F 为双曲线的右焦点)，点 P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为()A.2 33B.3C.2 55D.5解析：选 A 由题意知 F(c,0)，由 PFx 轴，不妨设点 P 在第一象限，则 Pc，b2a，双曲线的渐近线方程为 bxay0，由题意，得bcab2aa
3、2b2bcab2aa2b213，解得 c2b，又 c2a2b2，所以 a3b，所以双曲线的离心率 eca 2b3b2 33.4(2018全国卷)已知双曲线 C：x23 y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则|MN|()A.32B.3C2 3D4解析：选 B 由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y 13x.设两条渐近线的夹角为 2，则有 tan 13 33，所以 30.所以MON260.又OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MNON，如图所示在 RtONF 中，|OF|2，则|ON|3.在 R
4、tOMN 中，|MN|ON|tan 2 3tan 603.故选 B.5(2019邯郸联考)如图，F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右两个焦点，若直线 yx 与双曲线 C 交于 P，Q 两点，且四边形 PF1QF2 为矩形，则双曲线的离心率为()A2 6B.2 6C2 2D.2 2解析：选 D 由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线 yx 代入双曲线 C 的方程，可得 x a2b2b2a2，所以 2a2b2b2a2c，所以 2a2b2c2(b2a2)，即 2(e21)e42e2，所以 e44e220.因为 e1，所以 e22 2，所以 e2 2，故选 D.6(201
5、8辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 5，从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为 A，若AFO的面积为 1，则双曲线 C 的方程为()A.x22 y281B.x24 y21C.x24 y2161Dx2y241解析：选 D 因为双曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以 ab2，又双曲线 C 的离心率为 5，所以1b2a2 5，即 b24a2，所以 a21，b24，所以双曲线 C 的方程为 x2y241，故选 D.7焦点是(0，2)，且与双曲线x23 y231 有相同的渐近线的双曲
6、线的方程是_解析：由题意可知，双曲线是焦点在 y 轴上的等轴双曲线，故所求双曲线的方程为y22x221.答案：y22x22 18(2018日照一模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y24x 的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 SAOB2 3，则双曲线的离心率 e_.解析：由题意，知抛物线的准线方程是 x1，双曲线的渐近线方程是 ybax.当 x1 时，yba，即 A1，ba，B1，ba 或 A1，ba，B1，ba.所以 SAOB122ba12 3，即ba2 3，所以 e1 ba2 13.答案：139双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线为正
7、方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.解析：不妨令 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示四边形 OABC 为正方形，|OA|2，c|OB|2 2，AOB4.直线 OA 是渐近线，方程为 ybax，batanAOB1，即 ab.又a2b2c28，a2.答案：210已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为_解析：双曲线x2a2y2b21(a
8、0，b0)的离心率为 2，e21b2a24，b2a23，即 b23a2，c2a2b24a2，由题意可设 A(2a,3a)，B(2a，3a)，b2a23，渐近线方程为 y 3x，则点 A 与点 B 到直线 3xy0 的距离分别为 d1|2 3a3a|22 332a，d2|2 3a3a|22 332a，又d1d26，2 332a2 332a6，解得 a 3，b29.双曲线的方程为x23 y291.答案：x23 y291二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1若实数 k 满足 0k9，则曲线x225 y29k1 与曲线x225ky291 的()A离心率相等B.虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等解析
9、：选 D 由 0k9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上，由 259k25k9，得两双曲线的焦距相等2(2019南充模拟)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为()A(1，2)B.(2，2 2)C(2，2)D(1，2)(2 2，)解析：选 D 设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为 F1(c,0)，令 xc，可得 yb2a，可设 Ac，b2a，Bc，b2a.又设 D(0，b)，可得 ADc，bb2a，AB0，2b2a，DBc，bb2a.由AB
10、D 为钝角三角形，可得DAB 为钝角或ADB 为钝角当DAB 为钝角时，可得 AD AB0，即为 02b2a bb2a 0，化为 ab，即有 a2b2c2a2.可得 c22a2，即 eca 2.又 e1，可得 1e 2；当ADB 为钝角时，可得 DA DB0，即为 c2b2a b b2a b 0，化为 c44a2c22a40，由 eca，可得 e44e220.又 e1，可得 e2 2.综上可得，离心率的取值范围为(1，2)(2 2，)3(2019石家庄模拟)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作倾斜角为 30的直线，与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A
11、，B 两点，若点 A 平分线段 F1B，则该双曲线的离心率是()A.3B.2C2D.33解析：选 A 由题意可知 F1(c,0)，设 A(0，y0)，因为 A 是 F1B 的中点，所以点 B 的横坐标为 c，又点 B 在双曲线的右支上，所以 Bc，b2a，因为直线 F1B 的倾斜角为 30，所以b2a 0cc 33，化简整理得 b22ac 33，又 b2c2a2，所以 3c23a22 3ac0，两边同时除以 a2 得 3e22 3e30，解得 e 3或 e 33(舍去)，故选 A.4已知圆 C：(x3)2y24，定点 A(3，0)，则过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M的轨迹方程为_解析
12、：设动圆 M 的半径为 R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2.由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线的左支，且 a1，c3，b28.则动圆圆心 M的轨迹方程为 x2y281(x1)答案：x2y281(x1)(二)交汇专练融会巧迁移5与向量交汇过双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 作圆 x2y2a2 的切线FM(切点为 M)，交 y 轴于点 P，若PM2MF，则双曲线的离心率为()A.2B.62C.3D2解析：选 B 由题意，F(c,0)设 P(0,3m)，由PM2MF，可得点 M 的坐标为23c，m，OMPF，m23c 3mc1，m229c
13、2，M23c，2c29，由|OM|2|MF|2|OF|2，|OM|a，|OF|c 得，a2 c322c29 c2，解得 a223c2，eca 62，故选 B.6与正弦定理交汇已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，若双曲线上存在点 P，使sinPF1F2sinPF2F1ac(c 是双曲线的半焦距)，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为()A(1,1 2)B.(1,1 3)C(1,1 2D(1,1 3解析：选 A 由题意，知点 P 不是双曲线的顶点，否则sinPF1F2sinPF2F1ac无意义在PF1F2中，由正弦定理得|PF1|sinPF2F1|PF2|si
14、nPF1F2，又sinPF1F2sinPF2F1ac，|PF1|PF2|ca，即|PF1|ca|PF2|.由题意知点 P 在双曲线的右支上，故|PF1|PF2|2a，ca|PF2|PF2|2a，即|PF2|2a2ca.由双曲线的几何性质，知|PF2|ca，2a2caca，即 c22aca20，e22e10，解得 21e 21.又 e1，双曲线离心率的取值范围是(1，21)，故选 A.7与圆交汇已知 F1，F2 是双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆内，则双曲线离心率的
15、取值范围是()A(1,2)B.(2，)C(1，2)D(2，)解析：选 A 如图，不妨设 F1(0，c)，F2(0，c)，则过点 F1 与渐近线 yabx 平行的直线为 yabxc，联立，得yabxc，yabx，解得xbc2a，yc2，即 Mbc2a，c2.因为点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆 x2y2c2 内，故bc2a2 c22c2，化简得 b23a2，即 c2a23a2，解得ca2，又双曲线的离心率 eca1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)故选 A.(三)难点专练适情自主选8已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，实轴长为 2 3.(1)求双曲线 C 的方程；(2)
16、若直线 l：ykx 2与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，求 k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0，m)，求 m 的取值范围解：(1)设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得 a 3，c2，再由 a2b2c2，得 b21，所以双曲线 C 的方程为x23 y21.(2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，将 ykx 2代入x23 y21，得(13k2)x26 2kx90.由题意知13k20，361k20，xAxB 6 2k13k20，xAxB 913k20，解得 33 k1.所以当 l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为33，1.(3)由(2)得 xAxB 6 2k13k2，所以 yAyB(kxA 2)(kxB 2)k(xAxB)2 2 2 213k2.所以 AB 的中点 P 的坐标为3 2k13k2，213k2.设直线 l0 的方程为 y1kxm，将 P 点坐标代入直线 l0 的方程，得 m 4 213k2.因为 33 k1，所以213k20.所以 m2 2.所以 m 的取值范围为(，2 2)
