1、四渐开线与摆线第12课时渐开线与摆线1渐开线(1)渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔头画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆(2)渐开线的参数方程设基圆的半径为r，则圆的渐开线的参数方程为(为参数)2摆线(1)摆线的概念及产生过程当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线(2)摆线的参数方程设圆的半径为r，圆滚动的角为，那么摆线的参数方程是(为参数)知识点一圆的渐开线的参数方程1(2019福建东张中学期中)圆心在原点，半径为2的圆的渐
2、开线的参数方程是()A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.(为参数)解析：根据圆心在原点，半径为r的圆的渐开线的参数方程为(为参数)，可得圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为A，故选A.答案：A2已知圆的渐开线的参数方程为(为参数)，点M是该渐开线上一点，则点M与原点距离的最小值是_解析：由圆的渐开线的定义知，渐开线开始时的点(3,0)与原点的距离最近，即为基圆的半径3.答案：3知识点二平摆线的参数方程3已知圆的平摆线的参数方程是(为参数)，则平摆线一拱的宽度和高度分别是()A6,6 B6，12C12,12 D12，12解析：由圆的平摆线的参数方程(为参数)知，圆的半径r6，所
3、以平摆线的一拱的宽度为2r12，拱高为2r12.答案：D4(1)平面直角坐标系中，若圆的平摆线过点(1,0)，求这条平摆线的参数方程；(2)求平摆线(t为参数，且0t2)与直线y2的交点坐标解：(1)令r(1cos )0，得cos 1，2k(kZ)又x1，代入xr(sin )可得r(2ksin 2k)1.r(kZ)又根据实际情况可知r是圆的半径，故r0.应有k0，且kZ，即kN.所求平摆线的参数方程为(为参数)，其中kN.(2)由y2，得22(1cos t)，cos t0.又0t2，t或.当t时，x22；当t时，x232.所求的交点的坐标为(2,2)或(32,2)知识点三渐开线与摆线的参数方程
4、的应用5已知圆的参数方程为(为参数)，那么圆的摆线方程中当参数时，对应的点A与点B之间的距离是()A.1 B.C. D.解析：由圆的参数方程知圆的半径r3，对应摆线的参数方程为(为参数)，当时，A.又B，|AB|.答案：D6.如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH的长解：根据已知及渐开线的定义可知，是半径为1的圆的周长的，其长度为；继续旋转可得是半径为2的圆的周长的，其长度为；是半径为3的圆的周长的，其长度为；是半径为4的圆的周长的，其长度为2，所以曲线AEFGH的长为25.
