1、课时训练10 反函数【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(2010河南实验中学模拟，3)函数y=2x+1(-1x0) B.y=-1+log2x(x0)C.y=1+log2x(1x2) D.y=-1+log2x(1x2)答案：D解析：-1x0,12x+10,且a1)的反函数为y=f-1(x),若f-1(2)+ f-1(5)=1,则a等于（ ）A. B.2 C.5 D.10答案：D解析：f-1(x)=logax,又loga2+loga5=1,a=10.6.(2010河南开封一模，5)已知函数f(x)=-的反函数为f-1(x)= ,则f(x)的定义域
2、为（ ）A.(-2,0) B.-1，2 C.-2，0 D.0，2答案：D解析：因f-1(x)=的值域为0，2，故选D.7.(2010全国大联考，5)已知f(x)的定义域是（-,+）,且f(x)是奇函数;若当x0时，f(x)=-3-x.设f-1(-)=a,则f(a)=-,即-3-a=-，a=2.二、填空题（每小题5分，共15分）8.若函数f(x)=的图象关于直线y=x对称,则a、b应满足的条件是_.答案：a=0且b0解析：y=f(x)=f-1(x)=,故=a=0且b0.9.设f(x)=4x-2x+1(x0),则f-1(0)=_.答案：1解析：令4x-2x+1=0,则x=1,即f-1(0)=1.1
3、0.(2010江西九校模拟，15)若函数y=x2-2ax+a在x1，3上存在反函数，且|a-1|+|a-3|4,则a的取值范围为_.答案：0a1或3a4解析：若函数y=x2-2ax+a在x1，3存在反函数，则1，3必在函数图象的对称轴一侧，其对称轴为x=a,a1或a3.解|a-1|+|a-3|4得0a4综合可得.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.（1）已知f(x-1)=x2-2x+3,x0,求f-1(x+1).(2)求函数f(x)=的反函数.解析：(1)令x-1=t,则x=t+1,又x0,t-1,有f(t)=(t+1)2-2(t+1)+3=t2+2,即f(x)=
4、x2+2(x-1).由y=x2+2,得x2=y-2,x-1,x=-,y3,得f-1(x)=(x3).f-1(x+1)=-(x2).（2）由y=x2-1,x0知y-1,且y=.y=x2-1(x0)的反函数是y=(x-1).由y=2x-1(x0)知y-1且x=，y=2x-1(x0)的反函数是y=(x0,b1)的图象经过点A（1，3），函数f-1(x+a)的图象经过点B(4,2),试求f-1(x)的表达式.解析：由y=a+bx-1(b0,b1),得x-1=logb(y-a).bx-10,则a+bx-1a.ya,f-1(x)=1+logb(x-a)(xa).f-1(x+a)=1+logbx(x0).点
5、A在f(x)的图象上，点B在f-1(x+a)的图象上，f-1(x)的表达式为f-1(x)=log4(x-2)+1(x2).13.已知函数f(x)=()2(x1),f-1(x)是f(x)的反函数,记g(x)=+2,求：（1）f-1(x);(2)求g(x)的最小值.解析：（1）x1,010()21.0y1,且.f-1(x)=(0x0,a1).(1)求f(x)的反函数f-1(x);(2)讨论f-1(x)在(1,+)上的单调性，并加以证明;(3)令g(x)=1+logax,当m,n（1,+）(m1或x-1)(2)设1x1x2,0当0af-1(x2),f-1(x)在(1，+)上是减函数，当a1时，f-1(x1)f-1(x2),f-1(x)在(1，+)上是增函数.（3）当0a1时，f-1(x)在(1,+)上是减函数，由loga=1+logax得=ax,即ax2+(a-1)x+1=0可知方程的两个根均大于1，即f-1(x)在（1，+）上是增函数，a=-1(舍去).综上，得0a3-2.
