1、河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高二数学下学期第二次月考（5月）试题 文（含解析）一、选择题1. 在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（ ）A. 平均数与方差B. 回归分析C. 独立性检验D. 概率【答案】C【解析】判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C.考点：独立性检验的意义.2. 复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【详解】，对应点，在第四象限，故选D点睛：
2、在复数计算中，注意的周期性质：，其中3. 用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是（ ）A. a，b都不能被5整除B. a，b都能被5整除C. a，b中有一个不能被5整D. a，b中有一个能被5整除【答案】A【解析】试题分析：从反证法的要求来看,须将结论，中至少有一个能被整除全部否定,所以应选A考点：反证法及命题的否定4. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】不等式转化为,然后利用绝对值的几何意义即可得解.【详解】不等式转化为,表示数轴上的点到的距离大于到的距离，由于到距离相等，故不等式的解集为.故选
3、:D.【点睛】本题考查利用绝对值的几何意义解含有绝对值的不等式，关键是适当整理，进行转化，并利用绝对值的几何意义求解，属基础题.5. 曲线，（为参数）的对称中心（ ）A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 在直线上【答案】B【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.6. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】应用基本不等式判断证明即得【详解】，当且仅当且，即时等号成立，故选：A【点睛】本题考查用基本不等式比较两个实数的大小，解题时要
4、注意基本不等式中等号成立的条件，如果条件不能满足，则等号不成立7. 执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m =0.25,=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第3次，S=S-m =0.125,=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第5次
5、，S=S-m =0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选C.考点：程序框图8. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为()A. 4.5B. 3.
6、15C. 3.5D. 3【答案】D【解析】【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果【详解】解：由回归方程知，解得t3，故选D【点睛】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错9. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线被圆C截得的弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出直线和圆的普通
7、方程，再利用圆的弦长公式求弦长.【详解】由题意得，直线l的普通方程为yx4，圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，圆心到直线l的距离d，直线l被圆C截得的弦长为2.【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式求解.10. 由代数式乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“”类比得到“”；“”类比得到“”；“”类比得到“”；“，”类比得到“，”；“”类比得到；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分
8、析】根据数量积的运算法则可以判定正确；根据向量数量积的意义可以判定错误；举反例可以判定是错误的；根据向量的数量积的定义和余弦函数的性质可以判定错误；根据向量没有除法，可以判定是错误的.【详解】 “”是向量的数量积的交换律，根据向量数量积的的定义可知是正确的； “”是向量数量积对于加法的分配率，这是正确的； “”这是不正确的，左边是与向量共线的向量，右边是与向量共线的向量，其中都是实数； “，”，这是错误的，最简单的例子是当为共线向量且垂直时，都是0，显然相等；实际上，只要与垂直，或者在上的投影相等，即可保证有成立，但并不一定成立；，这是错误的，只有当，即共线时才有，否则只能是； “”这是错误的
9、，等号右边的向量的除法是无意义的，向量没有除法的概念综上所述，由类比得到的正确的结论的个数是2个，故选:B.【点睛】本题考查向量数量积的意义和运算法则，考查类比的意义，属基础题，注意类比的结论不一定是正确的，要判定正确与否还是需要根据有关概念和运算法则证明，或者利用反例排出的.11. 在极坐标系中，直线与圆的交点的极坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】联立，解得.则直线与圆交点的极坐标为.本题选择A选项.12. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图象的规
10、律可得出通项公式， 利用裂项相消法即可得解【详解】解：由题意，每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即，那么，则故选：C【点睛】本题主要考查简单的推理，求等差数列的通项公式，用裂项相消法对数列进行求和，考查了计算能力，属于中档题.二、填空题13. 已知曲线的参数方程是（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_【答案】【解析】把曲线的参数方程是（为参数），消去参数化为直角坐标方程为即.曲线的极坐标方程是=2,化为直角坐标方程为+=4.解方程组,再结合x0、y0,求得,C1与C2交点的直角
11、坐标为(,1)，故答案为(，1).14. 若函数定义域为，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意得恒成立，利用绝对值三角不等式的性质求得的最小值，进而根据不等式恒成立的意义得到关于的绝对值不等式，然后求解即得.【详解】由题意得恒成立，由于,当在和之间（包括和）时取等号，,或，即或，的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查函数的定义域，绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题，属基础题.15. 如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第行的第2个数为_【答案】n2+2【解析】【详解】分析：由三角形数阵看出，从第二行开始起，每一行的第二个数与它的前一行的第二个数的差构成以为公差的等差数列，然后
12、利用累加的办法求得第行的第二个数详解：由图可以看出 由此看出 ， 以上个式子相加得，所以点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，解答此题的关键是根据数表数阵，得到数字的排布规律，即从第二行开始起，每一行的第二个数与它的前一行的第二个数的差构成以为公差的等差数列，此题是中档试题16. 若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围_.【答案】【解析】【分析】因为函数在定义域的子区间上不是单调函数，所以根据题意可知函数的极值点在区间内，列出不等式，即可求解【详解】因为f（x）定义域为（0，+），又f(x)=4x-，由f（x）=0，得x=1/2当x（0，1/2）时，f（x）0，当x（1/2
13、，+）时，f（x）0据题意，k-11/2k+1，又k-10，解得1k3/2.三、解答题17. 已知复数，（，是虚数单位）（1）若在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）作差后，根据复数的几何意义得到的实部和虚部都大于零，得到关于的不等式组，求解即得；（2）先求得题中方程的根，然后根据复数相等的充要条件得到的值.【详解】解：（1），因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，由得,即,解得；由,解得或.不等式组的解集为:,的取值范围是;（2）方程的根只有一个2，所以，所以.【点睛】本题考查复数的几何意义
14、，复数的相等，涉及不等式组的求解，二次方程的根，属基础题.请考生从第18题中A、B题中任选一题作答A：选修4-4：坐标系与参数方程18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(1)求直线与曲线公共点的极坐标；(2)设过点直线交曲线于，两点，且的中点为，求直线的斜率【答案】(1) 直线与曲线公共点的极坐标为， (2)-1【解析】【分析】(1)写出直线l和曲线的直角坐标方程，然后联立求交点坐标，化成极坐标即可;(2)写出直线的参数方程代入曲线中，利用弦中点参数的几何意义即可求解.【详解】（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为
15、联立方程，解得或所以，直线与曲线公共点的极坐标为，（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入，整理得：.因为的中点为，则.所以，即.直线的斜率为-1.【点睛】本题考查直线和圆的参数方程，考查参数的几何意义的应用，属于基础题型.B：选修4-5：不等式选讲19. 已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由题意利用绝对值的几何意义，找到表示数轴上的坐标为x的点P到、2对应点A、B的距离之和正好等于7的点，利用几何意义可得到不等式的解集；（2）当时，根据绝对值的性质，原不等式可化为，由不等式恒成立的意义得到关于的
16、不等式组，由此求得实数的取值范围。【详解】解：1当时，函数，表示数轴上的坐标为x的点P到、2对应点A、B的距离之和，而和3对应点、到、对应点的距离之和正好等于7，当P在、之间（不包括、）时，当P在、之外（包括、）时，所以不等式的解集或；2若的解集包含，即当时，恒成立，由于在上，等价于即由于当时该不等式恒成立，所以，即.【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的恒成立问题，（1）的关键是绝对值的几何意义；（2）的关键是根据这一条件，将题设不等式化简，并根据绝对值不等式的性质转化为不含绝对值的一次不等式组，进而结合不等式恒成立的意义求解，属于中档题20. 近期，某公交公司分别推出支付宝和
17、微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图：（I）根据散点图判断在推广期内，与（c，d为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（I）的判断结果求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.参考数据：4621.54253550.121403.47其中，附：对于一组数据，其回归直线的斜
18、率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（I）适合（）， 预测第8天人次347.【解析】【分析】（I）通过散点图，判断适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型（）通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第8天使用扫码支付的人次.【详解】（I）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型.（）因为，两边取常用对数得：,设 , ，把样本数据中心点代入得：， ，则所以y关于x的回归方程为，把代入上式得：，故活动推出第8天使用扫码支付的人次为347.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法及应用，数学期望的应用，考查计算能力，是
19、中档题21. 今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人这100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占确诊患新冠肺炎未确诊患新冠肺炎合计50岁及以上4050岁以下合计10100（1）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；（2）现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况，若从这5人中随机抽取3人，求恰有2人为50岁及以上的概率参考表0.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中【
20、答案】（1）不能；（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，计算确诊的10人中50岁及以上的人数和50岁以下的人数，补充完成列联表，根据给出公式计算，看是否大于等于的临界值3.841，即可得到结论；（2）根据分层抽样的等比例原则得出所抽取5人中的各年龄层的人数，用字母表示，利用列举法计数，根据古典概型的计算即得.【详解】解：（1）因为100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占，所以所以50岁以下的确诊人数为4，50岁及以上的确诊人数为6因为50岁及以上的共有40人，即50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率为；列联表补充如下，确诊患新冠肺炎未确诊患新冠肺炎合计50岁及以上63
21、44050岁以下45660合计1090100则，所以没有的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关（2）现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况，则抽取的5人中，有3人50岁及以上，分别记作；2人50岁以下，记作.从中任取3人,可能的不同结果有:,共10种不同的情形，恰有两人50岁及以上的情况有，共6中不同的情况，由于每种情况都是等可能的，恰有2人为50岁及以上的概率为.【点睛】本题考查了独立性检验和古典概型的计算，涉及分层抽样，列举法计数，是基础题请考生从第21题中A、B题中任选一题作答A：【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点为极
22、点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点作射线交于点，点为射线上的点，满足，记点的轨迹为曲线（1）求直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的值【答案】（1）的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）利用直线参数方程的公式写出的参数方程，利用设点代入法求得曲线C极坐标方程，进而转化为的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入C的直角坐标方程中，利用韦达定理，根据参数方程的几何意义运算即可得出【详解】（1）由题意，即（为参数），设，由在直线上，所以，所以，所以，所以的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为；（2）设P，Q对应的
23、参数分别为，将的参数方程代入C的直角坐标方程中，化简得，为方程的两个根，所以.【点睛】本题考查了设点代入法求曲线的极坐标方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程及及参数的几何意义的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题B：【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为或.（2）由题意结合(1)中函数的解析式可得，结合柯西不等式的结论可得的最小值为.【详解】（1），所以等价于或或，解得或，所以不等式的解集为或.（2）由（1）
24、可知，当时，取得最小值，所以，即，由柯西不等式，整理得，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查绝对值不等式解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24. 已知函数，.（1）讨论函数在上的单调性；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析.（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，对a分类讨论即可得出单调性；（2）对任意x（0，+），将不等式转化，得，利用导数对a分类讨论思想求解最值，可得a的取值范围.【详解】（1），当时，函数在上单调递减；当时，由，得(舍负)，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.（2）由，得.设，设，当时，为增函数，在为增函数，成立，即成立.当时，由，解得.时，为减函数，时，为增函数，设.在上为减函数，即，当时，为减函数，当时，为增函数.又，当时，当时，对，不恒成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立通常是将不等式等价转化为利用导数研究函数的最值问题求解，解题关键是转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.
