1、第二节函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数yf(x)在区间I上具有单调性单调增
2、区间和单调减区间统称为单调区间2函数的最值前提函数yf(x)的定义域为A，存在x0A条件任意xA，都有 f(x)f(x0)任意xA，都有 f(x)f(x0)结论f(x0)为yf(x)的最大值f(x0)为yf(x)的最小值记法ymaxf(x0)yminf(x0)1函数单调性的结论(1)对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数；0f(x)在D上是减函数(2)对勾函数yx(a0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”2函数最值存在
3、的2个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)若定义在R上的函数f(x)有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(3)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1函数yx26x10在区间(2,4)上()A递减B递增C先递减后递增 D先递增后递减C因为函数yx26x10的图象为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x3，所
4、以函数yx26x10在(2,3)上为减函数，在(3,4)上为增函数2下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x| By3xCy Dyx24Ay3x在R上递减，y在(0，)上递减，yx24在(0，)上递减，故选A.3若函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_因为函数y(2k1)xb在R上是减函数，所以2k10，即k.4已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_2易知函数f(x)在x2,6上为减函数，故f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).考点1确定函数的单调性(区间)确定函数单调性的4种方法(1)定义法利用定义判断(2)导数法适用于初等函
5、数、复合函数等可以求导的函数(3)图象法由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接(4)性质法利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性求函数的单调区间(1)函数f(x)|x23x2|的单调递增区间是()A.B.和2，)C(，1和 D.和2，)(2)函数y的单调递增区间为_，单调递减区间为_(1)B(2)2，)(，3(1)y|x23x2|如图所示，函数的单调递增区间是和2，)；单调递减区间是(，1和.故选B.(2)令ux2x6，则y可以看作是由y与ux
6、2x6复合而成的函数令ux2x60，得x3或x2.易知ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在0，)上是增函数，所以y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)(1)求复合函数的单调区间的步骤一般为：确定函数的定义域；求简单函数的单调区间；求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”(2)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间含参函数的单调性一题多解判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在x1,2上的单调性解法一：(定义法)设1x1x22，则f(x2)f(x1)ax(x2x1)，由1x1x22，得x2x10,2x1x24，1x1x24，1.又1a3，所以2a(x1
7、x2)12，得a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增法二：(导数法)因为f(x)2ax，因为1x2，1x38，又1a3，所以2ax310，所以f(x)0，所以函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上是增函数定义法证明函数单调性的一般步骤：任取x1，x2D，且x1x2；作差f(x1)f(x2)；变形(通常是因式分解和配方)；定号(即判断f(x1)f(x2)的正负)；下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)1.函数f(x)|x2|x的单调递减区间是()A1,2 B1,0C(0,2 D2，)A由题意得，f(x
8、)当x2时，2，)是函数f(x)的单调递增区间；当x2时，(，1是函数f(x)的单调递增区间，1,2是函数f(x)的单调递减区间2判断并证明函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解法一：(定义法)设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增法二：(导数法)f(x)，所以当a0时，f(x)0，当a0时，f(x)0，即当a0时，f(x)在(1,1)上为
9、单调减函数，当a0时，f(x)在(1,1)上为单调增函数考点2函数的最值求函数最值的5种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(1)若函数f(x)的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是()A1,2 B1,0C1,2 D0,2(2)函数f(x)log2(x2)在区
10、间1,1上的最大值为_(3)函数yx(x0)的最大值为_(1)D(2)3(3)(1)当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x，即x1时，等号成立故当x1时取得最小值2a，f(x)的最小值为f(0)，当x0时，f(x)(xa)2单调递减，故a0，此时的最小值为f(0)a2，故2aa2，得1a2.又a0，得0a2.故选D.(2)f(x)log2(x2)在区间1,1上单调递减，f(x)maxf(1)3log213.(3)令t，则t0，所以ytt2，当t，即x时，ymax.逆向问题若函数f(x)b(a0)在上的值域为，则a_，b_.1f(x)b(a0)在上是增函数，f(x)minf，f(x)maxf(2
11、)2.即解得a1，b.(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域如本例(3)(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值如本例(1)(3)若函数f(x)在区间a，b上单调，则必在区间的端点处取得最值如本例(2)；若函数f(x)在区间a，b上不单调，则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值1.函数f(x)的值域为_(，44，)当x0时，f(x)x4，当且仅当x2时取等号；当x0时，x4，即f(x)x4，当且仅当x2时取等号，所以函数f(x)的值
12、域为(，44，)2对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_1法一：(图象法)在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图所示易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.法二：(单调性法)依题意，h(x)当0x2时，h(x)log2 x是增函数，当x2时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2时取得最大值h(2)1.考点3函数单调性的应用比较大小比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区
13、间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Acab BcbaCacb DbacD根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数所以aff，f(2)f(2.5)f(3)，所以bac.本例先由f(x2)f(x1)(x2x1)0得出f(x)在(1，)上是减函数，然后借助对称性，化变量，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小解不等式求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将
14、不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x)此时要特别注意函数的定义域定义在2,2上的函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，则实数a的取值范围为()A1,2) B0,2)C0,1) D1,1)C因为函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，所以函数在2,2上单调递增，所以22a2a2a2，解得0a1，故选C.本例在求解时，应注意隐含条件为a2a2,2，2a22,2教师备选例题f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y
15、)，f(3)1，则不等式f(x)f(x8)2的解集为_(8,9因为211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2可得fx(x8)f(9)，f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.根据函数的单调性求参数利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数(2)需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(1)(2019郑州模拟)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3(2)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，
16、则实数a的取值范围是()A(，1 B1,4C4，) D(，14，)(1)C(2)D(1)y11，由题意知得a3.所以a的取值范围是a3.(2)作出函数f(x)的图象如图所示 ，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4，故选D.分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值如本例(2)1.若函数f(x)2|xa|3在区间1，)上不单调，则a的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1) D(，1B因为函数f(x)2|xa|3且函数f(x)2|xa|3在区间1，)上不单调，所以a1.所以a的取值范围是(1，)故选B.2已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)D因为当x0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线因为当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1.3已知f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是()A(1,2) B.C. D.C由已知条件得f(x)为增函数，所以解得a2，所以a的取值范围是.故选C.
