1、第四节复数的概念及其运算 选题明细表知识点、方法题号复数的概念1,2,5,9复数的几何意义3,7,8,10复数的四则运算4,6,11,12复数的综合应用13,14,15一、选择题1.若复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数m等于(A)(A)2(B)3(C)0(D)2或3解析:因为复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i(i为虚数单位)是纯虚数,所以解得m=2.故选A.2.复数z=(xR,i是虚数单位)是实数,则x的值为(B)(A)3(B)-3(C)0(D)解析:z=,因为z为实数,所以x=-3.故选B.3.在复平面内与复数z=所对应的点关于实轴对称的点为A,则
2、A对应的复数为(B)(A)1+i(B)1-i(C)-1-i(D)-1+i解析:因为z=i(1-i)=1+i,所以A点坐标为(1,-1),其对应的复数为1-i.故选B.4.(2019全国卷)设z=,则|z|等于(C)(A)2(B)(C)(D)1解析:由z=-i,可得|z|=.故选C.5.(2019绍兴上虞数学模拟卷)若复数z=(i是虚数单位)为纯虚线,则实数a的值为(C)(A)-2(B)-1(C)1(D)2解析:z=,当a=1时,该复数为纯虚数.故选C.6.(2018嘉兴模拟)设复数z=1-i(i是虚数单位),则+z等于(A)(A)2(B)-2(C)2i(D)-2i解析:+z=+1-i=+1-i
3、=1+i+1-i=2.故选A.7.“复数z=在复平面内对应的点在第三象限”是“a0”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:z=-a-3i,若z在复平面内对应的点在第三象限,则-a0,可以判断“a0”是“a0”的充分不必要条件,故选A.8.已知复数z满足z=z+,则复数z在复平面内对应点的轨迹是(B)(A)直线(B)圆(C)椭圆(D)双曲线解析:设z=x+yi(x,yR),则z=(x+yi)(x-yi)=x2+y2,z+=x+yi+x-yi=2x,所以x2+y2=2x(x-1)2+y2=1,故选B.二、填空题9.已知a,bR,(a+bi)2
4、=3+4i(i是虚数单位)则a2+b2=;ab=.解析:(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,所以解得故a2+b2=5,ab=2.答案:5210.设复数z=x+yi,满足z+(1-2i)z+(1+2i)=3,则|z|的最大值为;最小值为.解析:=x-yi,代入z+(1-2i)z+(1+2i)=3得x2+y2+x+2y+(y-2x)i+x+2y+(2x-y)i=3,整理得x2+y2+2x+4y=3,配方得(x+1)2+(y+2)2=8,设圆心C为(-1,-2),r=2,|OC|=(O为坐标原点),所以|z|=的最大值和最小值分别为2+,2-.答案:2+2-11.(2018嘉兴模拟)已知
5、复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.解析:复数z=(5+2i)2=21+20i,其实部是21.答案:2112.若复数z满足z2+2=0,则z=.解析:设z=a+bi(a,bR).因为z2+2=0,所以a2-b2+2abi+2=0.所以解得所以z=i.答案:i三、解答题13.已知复数z=a+bi(a,bR),若|z|=,求ab的最大值.解:由|z|=,得a2+b2=2,又a2+b22ab,故ab1,当且仅当a=b=1时取等号.所以ab的最大值为1.14.若关于x的实系数一元二次方程x2+px+q=0有一个根为3-4i(i是虚数单位),求实数p与q的乘积pq.解:由题意可得原方程的另一根为3+4i,由根与系数的关系可得(3-4i)+(3+4i)=6=-p,得p=-6.(3+4i)(3-4i)=25=qpq=-625=-150.15.已知复数z1=m+(4-m2)i,z2=2cos +(+3sin )i,其中,mR,(0,),z1=z2,求的取值范围.解:由z1=z2,可得整理得=4sin2 -3sin =4(sin -)2-.又sin (0,1),故-,1).
