1、实数1.了解开方与乘方互为逆运算,算数平方根、平方根、立方根、无理数和实数的概念,知道实数和数轴上点一一对应.2.会用根号表示数的平方根、立方根,会用平方运算求某些非负数的平方根,用立方运算求某些数的立方根,能用计算器计算平方根、立方根和进行简单的探索.能用有理数估算一个无理数的大致范围,能进行简单的实数四则运算.通过专题复习和单元评价帮助学生巩固基础知识,形成系统的知识体系,提高运算能力和解决问题的能力.养成良好的学习习惯,增强学生的学习能力,培养学生缜密思考、细心探索的科学精神.【重点】算数平方根、平方根、立方根、无理数、实数的概念及其相关运算.【难点】1.平方根和立方根的概念.2.实数的
2、简单四则运算.专题一平方根、立方根的概念【专题分析】平方根、立方根的概念是把有理数学习拓展到实数学习的开始,平方根和立方根的知识在实数中占有非常重要的地位.中考试题中单独命题的情况较少,多与勾股定理、一元二次方程等知识结合考查.解答此类问题主要注意以下几点:一是开平方和开立方的区别;二是熟悉计算器的使用;三是看题目的要求,弄清被开方数.求下列各数的平方根.(1)2536;(2)614;(3)(-10)2.解析运用开平方与平方是互逆运算来求各数的平方根.解:(1)因为562=2536,所以2536的平方根是56.(2)因为614=254,522=254,所以614的平方根是52.(3)因为(-1
3、0)2=100,102=100,所以(-10)2的平方根是10.【针对训练1】(1)求下列各式的值.400;-1681;49100.(2)求下列各式的值.-39118;31-2627;3-1+6364;3(-6)3.解析第(1)题,400是求算数平方根;- 1681是求负的平方根; 49100是求平方根.第(2)题都是对一个数开立方.解:(1)20.-49.710.(2)-92.13.-14.6.要到玻璃店配一块面积为1.21 m2的正方形玻璃,那么该玻璃的边长为m.解析正方形的边长是其面积的算术平方根,故该玻璃的边长为1.21=1.1(m).故填1.1.易错提示用开平方或开立方解决实际问题,
4、要注意计算结果的实际意义.【针对训练2】已知b=a3+2c,其中b的算术平方根为19,c的平方根是3,求a的值.解析因为b的算术平方根是19,所以b=192=361.因为c的平方根是3,所以c=(3)2=9.代入已知条件即可求出a的值.解:因为b的算术平方根是19,所以b=192=361.因为c的平方根是3,所以c=(3)2=9.所以a3=b-2c=361-18=343,a=7.用计算器求21.52的平方根(精确到0.001).解析先用计算器求21.52的算术平方根,再写出其平方根.解:21.524.639.归纳总结本题易错写成21.52的平方根为4.639或错写成21.524.639.解题的
5、关键是正确使用计算器.【针对训练3】用计算器计算3334173的值.(精确到0.001)解析本题考查用计算器求数的立方根,解题方法按求立方根的程序进行.本题的易错点是输入被开方数时错误地输入334173.解:33341731.871.归纳总结用计算器求数的立方根的程序(计算器不同,按键顺序也会不同):按第二功能键2nd F;按方根运算键3;输入被开方数;按=.专题二实数的有关概念及计算【专题分析】这部分内容一直以来都是中考的热点,也是必考内容,主要考查对实数的有关概念的理解及运用,例如:正确区分有理数和无理数,实数的相反数、绝对值、倒数等性质,与数轴的对应关系及简单的计算等,多以选择题和填空题
6、的形式出现.在-7.5,15,4,38,-,0.15,23中,无理数的个数是()A.1B.2C.3D.4解析无限不循环小数是无理数,对照无理数的这一定义即可求解.在-7.5,15,4,38,-,0.15,23中,15,-都是无限不循环小数,所以共有两个无理数.故选B.【针对训练4】下列实数437,32,3,(2)0,3.14159,-9,(-7)2,8中无理数的个数是()A.1B.2C.3D.4解析对实数进行分类不能只看表面形式,应先化简,再根据结果去判断.故选C.计算-22-23+-24=.解析这是一道实数的加减运算题,可利用分数的基本性质通分后进行加减.-22-23+-24=-12+13-
7、142=-5212.故填-5212.方法总结类比思想是根据两对象都具有一些相同或相似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章中类比平方根的定义去理解立方根的定义,类比有理数的相反数、绝对值、比较大小、混合运算等学习实数的相反数、绝对值、比较大小、混合运算等.【针对训练5】已知30.5390.8138,353.93.777,35.391.753,则30.000539,353900.解析开立方运算时要注意小数点的变化规律,开立方是三位与一位的关系,开平方是二位与一位的关系.答案0.0813837.77比较32-1与1+22的大小.解析当a-b
8、=0时,可知a=b;当a-b0时,可知ab,当a-b0时,可知ab.作差后一定要与0比较大小,然后确定两个数(或式子)的大小.解:因为(32-1)-(1+22)=32-1-1-22=2-20,所以32-10,b0时,aba2b2.解:因为(23)2=12,(32)2=18,1218,所以2332.方法总结实数比较大小的原则是:一般地,数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大,即正数大于0,0大于一切负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小.常用到的比较方法有:直接比较法、作差法、作商法、平方法、取近似值法.专题三数形结合思想【专题分析】实数在数轴上的表示是数形结合思想的具体表现,通过把实
9、数在数轴上直观地表示出来,可以形象、直观地感受实数的客观存在,为理解实数的概念及其相关性质提供了有利的帮助.本专题的数形结合思想主要体现在实数和数轴上的点一一对应.通常借助于数轴比较实数大小、实数化简、直角坐标系内的相关计算等.涉及本单元的中考题型主要以选择、填空为主,或者渗透到其他知识中进行考查.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+b|+(b-a)2.解析要化简|a+b|+(b-a)2,就得化去绝对值和根号,此时只要分别判断a+b和b-a的符号即可.解:由实数a,b在数轴上的位置可以知道a0,且|a|b|.所以a+b0,所以|a+b|+(b-a)2=-(a+b)+(b-a)=-2a.
10、【针对训练7】如图所示,在数轴上点A和B之间的整数点有个.解析解本题的关键是确定-2与7之间有哪些整数,由于-2-2-1,270,b|b|,所以a-b0,所以|a-b|-a2=a-b-a=-b.故选C.专题四非负数的性质及应用【专题分析】非负数是正数和零的统称.在初中阶段常见的非负数的形式有三种,即实数的绝对值、实数的平方、非负数的算术平方根,能够灵活运用它们的值大于等于零的特性,能为我们解决问题找到较好的途径,如:几个非负数的和为零,则这几个非负数都为零,由此可建立方程或方程组,解决求某些字母的取值的问题.若2x-1与1+y互为相反数,则x2+y2=.解析因为2x-1与1+y互为相反数,所以
11、2x-1+1+y=0,而2x-10,1+y0,所以2x-1=0,1+y=0,所以x=12,y=-1,所以x2+y2=122+(-1)2=14+1=54.故填54.【针对训练9】(2014张家界中考)若x-1+(y+2)2=0,则(x+y)2014等于()A.-1 B.1C.32014D.-32014解析因为x-1+(y+2)2=0,所以x-1=0,(y+2)2=0,所以x=1,y=-2,所以(x+y)2014=(1-2)2014=1.故选B.本章质量评估(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.计算327的结果是()A.33B.33C.3D.32.从实数-2,-13
12、,0,4中挑选出的两个数都是无理数的为()A.-13,0B.,4C.-13,4D.-2,3.下列各组数中,两个数相等的是()A.-2与(-2)2B.-2与-12C.-2与3-8D.|-2|与-24.下列说法正确的是()A.无限小数是无理数B.不循环小数是无理数C.无理数的相反数还是无理数D.两个无理数的和还是无理数5.比较2,5,37的大小,正确的是()A.2537B.2375C.3725D.53726.一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是()A.a+1 B.a2+1C.a2+1D.a+17.用计算器求23的值时,需相继按“2”“”“3”“=”键,若小红相继按“”“2
13、”“”“4”“=”键,则输出结果是()A.4B.5C.6D.168.有一个数值转换器原理如下:当输入x=16时,输出的数是()A.8B.2C.3D.29.计算32的结果估计在()A.4至5之间B.5至6之间C.6至7之间D.4至6之间10.如图所示,数轴上A,B两点表示的数分别为1和3,点B关于点A的对称点为点C,则点C所表示的数是()A.3-1B.1-3C.2-3D.3-2二、填空题(每小题4分,共32分)11.-3的相反数是;-3的绝对值是.12.计算:25-(-1)2=;比较大小:750.13.已知一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则a的值是.14.已知x为整数,且满足-2x3
14、,则x=.15.已知23的整数部分为a,小数部分为b,则a-b=.16.一种药的外包装盒的体积为478厘米3,它可以近似地看成一个正方体,你估算它的棱长是.(误差小于0.1厘米)17.把右图折成正方体后,如果相对面所对应的值相等,那么x的平方根与y的算术平方根之积为.18.若a-2+b-3=0,则a+b的算术平方根是.三、解答题(共58分)19.(9分)已知数-34,-1.42,3.1416,23,0,42,(-1)2,-1.424224222.(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数;(3)把这些数按由小到大的顺序排列起来,并用符号“”连接.20.(9分)求下列各式的值.(1)|3-2|-
15、|2-1|;(2)30.0081916+132-55+3-164;(3)616-6.21.(8分)如图所示,在ABC中,B=90,AB,BC边足够长,点P从点B开始沿BA边向点A以1厘米/秒的速度移动,同时,点Q也从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,几秒后,BPQ的面积为36平方厘米?22.(10分)星期天,小明和小刚一起到“学农基地”参加社会实践,恰巧基地刚刚挖完一个立方体形状的养鱼池.小明走到旁边一看:“哇,好深呀,足足有5米深!”小刚在一旁听到马上说道:“才不止呢,我看已经超过10米啦.”两个人争吵着谁也不服谁,他俩一起找到正在工作的工人叔叔,工人叔叔看着他俩微笑着说:“我们
16、这里挖出的土都运到砖窑了,现在一共运走了700米3的土.”请你运用所学到的数学知识判断一下小明和小刚谁说得对,并说明理由.23.(10分)(1)已知2a-1的平方根是3,2是3a+b-1的立方根,求a+2b的值.(2)设2+6的整数部分和小数部分分别是x,y,试求x,y的值与x-1的算术平方根.24.(12分)某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=d3900,其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9 km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?(2)如果一场雷雨持续了1 h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1 km)?【答案与解
17、析】1.D(解析:根据开立方的意义得到答案.因为33=27,所以327=3.故选D.)2.D(解析:无限不循环小数是无理数,所给各数中-2,是无限不循环小数.故选D.)3.C(解析:因为(-2)2=2,3-8=-2,|-2|=2,所以-2与3-8相等.)4.C(解析:例如,A.0.333是无限小数也是有理数,故选项错误;B.0.3030030003就是有理数,故选项错误;C.无理数的相反数还是无理数,故选项正确;D.2+-2=0,它们的和就是有理数,故选项错误.)5.C(解析:因为23=8,(5)3=5511.2,(37)3=7,所以3725.故选C.)6.B(解析:因为一个自然数的算术平方根
18、为a,所以这个自然数是a2.所以和这个自然数相邻的下一个自然数是a2+1.故选B.)7.A(解析:由题意知,按“2”“”“3”,表示求23的值,所以按“”“2”“”“4”“=”键表示求2的4次幂,结果为4.故选A.)8.D(解析:根据数值转换器,输入数x后,必须先取算术平方根,结果是无理数的,即输出,是有理数的,再次取其算术平方根,直至得到无理数为止.故本题的转换流程是:x=1616=44=22=2输出.)9.B10.C(解析:由数轴上A,B两点表示的数分别为1和3,可知OA=1,OB=3,而点C和B关于点A对称,所以AC=AB.设点C表示的数为x,则有1-x=3-1,所以x=2-3.故选C.
19、)11.3312.4(解析:原式=5-1=4.因为7=49,而4950,所以750.)13.2(解析:因为一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,所以2a-2+a-4=0,解得a=2.)14.-1,0或1(解析:因为-2-2-1,132,所以x应在-2和2之间,则x=-1,0,1.)15.8-23(解析:因为162325,所以4235,所以a=4,b=23-4.所以a-b=4-(23-4)=8-23.)16.7.8厘米或7.9厘米(解析:由于一个正方体体积为478厘米3,根据正方体的体积公式即可求出它的棱长,即3478,并估计在哪两个数之间.因为37.83347837.93,所以它的棱长是
20、7.8厘米或7.9厘米.)17.2(解析:依题意得x-1的相对面是1,x+y的相对面是3,所以x-1=1,x+y=3,所以x=2,y=1,所以x的平方根与y的算术平方根之积为2.)18.519.解:(1)-34,-1.42,3.1416,23,0,42,(-1)2.(2),-1.424224222.(3)-1.42-1.424224222-34023(-1)23.141642.20.解:(1)原式=-(3-2)-(2-1)=-3+2-2+1=3-3-2.(2)原式=0.254+12+-14=12.(3)原式=616-66=1-6=-5.21.解:设x秒后,BPQ的面积是36平方厘米,根据题意得
21、PB=x厘米,QB=2x厘米,因此,12x2x=36,所以x2=36,解得x=6(x=-6舍去),所以6秒后,BPQ的面积是36平方厘米.22.解:小明和小刚说得都不对,理由如下:设立方体养鱼池深度为x米,则x3=700,所以x=3700,因为83=512,93=729,而512700729,所以8x9,所以养鱼池的深度在8米和9米之间,因此小明和小刚的说法都不对,相比较而言,小刚的估算更准确一些.23.解:(1)依题意得2a-1=9,3a+b-1=8,解得a=5,b=-6.所以a+2b=-7.(2)因为469,即263,所以2+6的整数部分是4.由题意知x=4,y=2+6-4=6-2,则x-1=3,所以x-1的算术平方根为3.24.解:(1)当d=9时,有t2=93900,根据算术平方根的意义,t= 93900=0.9(h),所以如果雷雨区域的直径为9 km,那么这场雷雨大约能持续0.9 h.(2)当t=1时,有d3900=12,根据立方根的意义,d=39009.7(km),所以如果一场雷雨持续了1 h,那么这场雷雨区域的直径大约是9.7 km.
