1、滚动评估检测(三) (第一至第七章)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=x|x(x-2)0,B=x|x+12),则AB=()A.(-,2)B.(0,1)C.(0,+)D.(1,2)【解析】选B.因为A=x|0x2,B=x|xabB.bacC.abcD.bca【解析】选C.因为20.220=1,0log3log=1,log2bc.6.已知函数f(x)=sin,将其图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则的最小值为()A.B.C.D.【解析】选B.函数f(x)=sin=si
2、n,将其图象向右平移(0)个单位后得到的函数g(x)=sin=sin为偶函数,可得:-2=k+,kZ,即:=-k-,kZ,由于:0,故的最小值为.7.(2019宁波模拟)设数列an的前n项和为Sn,=(nN*),且a1=-,则=()A.2 019B.-2 019C.2 020D.-2 020【解析】选D.=(nN*),化为:-=-1.所以数列是等差数列,首项为-2,公差为-1.所以=-2-(n-1)=-1-n.则=-1-2 019=-2 020.8.已知函数f(x)=+ln-1,若定义在R上的奇函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),且g(1)=f(log2 25)+f(lo),则g(2
3、019)= ()A.2B.0C.-1D.-2【解析】选A.因为f(x)+f(-x)=+ln+ln-2=+0-2=-2,f(x)+f(-x)=-2,因为log225=log2(52)=2log25,lo=lo(5-1)=-2log25,所以g(1)=f(log225)+f(lo)=f(2log25)+f(-2log25)=-2.又因为g(1-x)=g(1+x),即g(x)=g(2-x),且g(x)为奇函数,所以g(x)=-g(-x),所以g(2-x)=-g(-x),可知函数g(x)的周期T=4.所以g(2 019)=g(5054-1)=g(-1)=-g(1)=2.二、多项选择题(本题共4小题,每
4、小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.对于下列四个选项,其中正确的是()A.若A是B的必要不充分条件,则B也是A的必要不充分条件B.“”是“一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为R”的充要条件C.“x1”是“x21”的充分不必要条件D.“x0”是“x+|x|0”的必要不充分条件【解析】选ABD.因为“AB,AB”,所以 故A正确.“一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为R”的充要条件是故B正确.因为x1x21,例如x=-1,故C错误.因为x+|x|0x0,但x0x+|x|0,例如x=-1.故D正确.10.
5、若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex,则有()A.g(0)0f(2)B.0f(3)f(2)C.f(2)0f(3)D.0f(2)f(2)=0,因此g(0)0f(2)0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan的图象重合,则的值可以为()A.B.C.D.【解析】选BD.本题考查正切函数的图象的平移变换.将函数y=tan(0)的图象向右平移个单位长度,得到的函数为y=tan=tan,由题意得=k+,由选项可得=或.12.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数y=在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫做“缓
6、减区间”.若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数f(x)的“缓减区间”的是 ()A.(-,-B.0,C.,2D.1,【解析】选AC.根据题意,对于f(x)=x2-2x+1,是二次函数,其对称轴为x=2,在区间(-,2上为减函数,对于y=+-2,在区间-,0)和(0,上为减函数,在区间(-,-和,+)为增函数,若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则f(x)在区间I上是减函数,函数y=+-2在区间I上是增函数,区间I为(-,-或,2.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设直线y=x+b是曲线y=
7、ln x(x0)的一条切线,则实数b的值为_.【解析】由已知条件可得k=(ln x)=,得切点的横坐标x=2,切点坐标为(2,ln 2),由点(2,ln 2)在切线y=x+b上可得b=ln 2-1.答案:ln 2-114.(2020运城模拟)如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=,则BD的长为_.【解析】因为ADAC,所以DAC=90,所以BAC=BAD+DAC=BAD+90,所以sinBAC=sin(BAD+90)=cosBAD=,在ABD中,AB=3,AD=,根据余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=9+3-23=6,则BD=
8、.答案:15.如图,E是平行四边形ABCD边AD上一点,且=,F为BE与AC的交点.设=a,=b,若=k,=h,则k=_,h=_.【解析】=+=a+b,所以=h=ha+hb,=+=-a+ha+hb=(h-1)a+hb,又=k=k(+)=k(-a+b)=-ka+b,所以(h-1)a+hb=-ka+b,所以解得答案:16.已知正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为_.【解析】因为a+b=1,所以+=2a+2b+=2+,因为+=(a+b)=1+4+5+2=5+4=9,当且仅当=时即a=,b=时取等号,故+2+9=11.答案:11四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证
9、明过程或演算步骤)17.(10分)关于x的不等式x2-2ax-8a20(aR).(1)若不等式的解集为(x1,x2),且x2-x1=,求实数a的值.(2)若a0,解关于x的不等式.【解析】(1)根据题意,不等式的解集为(x1,x2),则方程x2-2ax-8a2=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,又由x2-x1=,则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=36a2=6,解得a=.(2)根据题意,方程x2-2ax-8a2=0的两根为x=4a,或x=-2a,若a0,则4a-2a,则x2-2ax-8a20的解集为(4a,-2a).18.(12分)(2020达州模拟)
10、已知等差数列an的前n项和为Sn,关于x的不等式a1x2-S3x+50的解集为(1,5).(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足bn=,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设公差为d,关于x的不等式a1x2-S3x+50的解集为(1,5).即:1和5为关于x的方程a1x2-S3x+5=0的解,所以=5,=1+5=6,解得a1=1,S3=6,所以d=1,故an=1+n-1=n.(2)由于an=n,所以数列bn满足bn=2n,则Tn=21+22+23+2n=2n+1-2.19.(12分)(2019六安模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bc
11、os A.(1)求角B的大小.(2)若ABC为锐角三角形,且c=2,求ABC面积的取值范围.【解析】(1)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A,可得2sin Ccos B-sin Acos B=sin Bcos A,即2sin Ccos B-sin(A+B)=0,可得cos B=,所以B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.由正弦定理得a=+1.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90,由(1)知A+C=120,所以30C90,故1a4,从而SABC2.因此,ABC面积的取值范围是.20.(12分)设公差不为零的等差数列a
12、n的前5项和为55,且a2,a4-9成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn.【解析】(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,则解得,或(舍去),故数列an的通项公式为an=7+(n-1)2=2n+5.(2)由an=2n+5,得bn=,所以Sn=+=0),当x(0,1)时,f(x)0,当x(1,+)时,f(x)0),若a0,则f(x)0,f(x)在2,3上为增函数,由f(x)max=f(3)=ln 3-3a+1=2,得a=,与a0矛盾;若a0,由f(x)=0,得x=.所以f(x)在上为增函数,在上为减函数.若02,即a,则f(x)在2,3
13、上单调递减,f(x)max=f(2)=ln 2-2a+1=2,即a=(舍去);若3,即0a,则f(x)在2,3上单调递增,f(x)max=f(3)=ln 3-3a+1=2,即a=;若23,即a0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1x2),都有|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”.(1)判断函数f(x)=log2x是否是“2-利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由.(2)若函数f(x)=(1x4)是“k-利普希兹条件函数”,求常数k的最小值.(3)若y=f(x)(xR)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”,证
14、明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|1.【解析】(1)函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数”;理由如下:f(x)=log2x的定义域为(0,+),令x1=,x2=,则=|-1-(-2)|=1,而2|x1-x2|=,所以|f(x1)-f(x2)|2|x1-x2|,所以函数f(x)=log2x 不是“2-利普希兹条件函数”.(2)若函数f(x)=(1x4)是“k-利普希兹条件函数”,则对于定义域1,4上任意两个x1,x2(x1x2),均有|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|成立, 不妨设x1x2,则k=恒成立.因为1x2x14,所以1,不妨设ab,则0b+2-a1,所以|f(x1)-f(x2)|M-m=f(a)-f(b+2)|a-b-2|1.综上,对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|1.
