1、考点规范练13导数的概念及运算一、基础巩固1.已知函数f(x)=3x+1,则limx0f(1-x)-f(1)x的值为 ()A.-13B.13C.23D.02.已知f(x)=12x2+2xf(2 018)+2 018ln x,则f(2 018)等于()A.2 018B.-2 019C.2 019D.-2 0183.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+34.如图,已知y=f(x)是可导函数,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线.若g(x)=xf(x),
2、g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=()A.-1B.0C.2D.45.已知曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于()A.-8B.-6C.-1D.57.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x38.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+1
3、54x-9都相切,则a等于()A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或79.已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1,其导函数记为f(x),则f(2 018)+f(2 018)+f(-2 018)-f(-2 018)=.10.已知直线ax-by-3=0与曲线f(x)=xex在点P(1,e)处的切线垂直,则ab=.11.若曲线y=aln x(a0)在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则a=.12.若曲线f(x)=12x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.二、能力提升13.若函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如
4、图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是()14.若点P是曲线y=x2-ln x上的任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为()A.1B.2C.22D.315.已知函数f(x)在区间(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(2 018)=()A.1B.2C.12 018D.2 0192 01816.设函数f(x)=ax-2-ln x(aR),若曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线为x-ey+b=0,则a=,b=.17.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.三、高考预测18.曲线y=e12x在点(4,e2)处的切线与
5、坐标轴所围成的三角形的面积为()A.92e2B.4e2C.2e2D.e2考点规范练13导数的概念及运算1.A解析 limx0f(1-x)-f(1)x=-limx0f(1-x)-f(1)-x=-f(1)=-131-23=-13.2.B解析 因为f(x)=12x2+2xf(2 018)+2 018ln x,所以f(x)=x+2f(2 018)+2 018x,所以f(2 018)=2 018+2f(2 018)+2 0182 018.即f(2 018)=-(2 018+1)=-2 019.3.C解析 令x=1,得f(1)=1.令2-x=t,可得x=2-t,将其代入f(2-x)=2x2-7x+6,得f
6、(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,f(x)=4x-1,f(1)=1,f(1)=3,所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.4.B解析 由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,故f(3)=-13.g(x)=xf(x),g(x)=f(x)+xf(x),g(3)=f(3)+3f(3).又由题图可知f(3)=1,g(3)=1+3-13=0.5.C解析 f(x)=x3-x+3,f(x)=3x2-1.设点P(x,y),则f(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).经检验,点
7、(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.6.A解析 由题意得直线y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.y=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),k=3+a,即1=3+a,a=-2.将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,即ab=(-2)3=-8.故选A.7.A解析 设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),由导数的几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f(x1),k2=f(x2).若函数具有T性质,则k1k2=f(x1)f(x2)=-1.A项,f(x)=cos x,显然k1k2=co
8、s x1cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B项,f(x)=1x(x0),显然k1k2=1x11x2=-1无解,故该函数不具有性质T;C项,f(x)=ex0,显然k1k2=ex1ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;D项,f(x)=3x20,显然k1k2=3x123x22=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.8.A解析 因为y=x3,所以y=3x2.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),则在该点处的切线斜率为k=3x02,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32.当x
9、0=0时,由y=0与y=ax2+154x-9相切,可得a=-2564;当x0=32时,由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切,可得a=-1.9.2解析 f(x)=1+2x+sinxx2+1,f(x)=2x2+2+x2cosx+cosx-4x2-2xsinx(x2+1)2,可知f(x)是偶函数,f(2 018)-f(-2 018)=0.又f(2 018)+f(-2 018)=(2 018+1)2+sin2 0182 0182+1+(1-2 018)2+sin(-2 018)(-2 018)2+1=2(2 0182+1)2 0182+1=2,f(2 018)+f(2 018)+f(-
10、2 018)-f(-2 018)=2.10.-12e解析 对函数f(x)=xex求导可得f(x)=xex+x(ex)=ex(x+1),则函数f(x)=xex在点P(1,e)处的切线的斜率为k=f(1)=e1(1+1)=2e.又直线ax-by-3=0与切线垂直,则有ab=-12e.11.8解析 由y=aln x,可得y=ax.故曲线y=aln x在x=1处的切线的斜率k=a.又f(1)=aln 1=0,所以切点为(1,0),所以切线方程为y=a(x-1).令y=0,得x=1;令x=0,得y=-a.故围成的三角形的面积S=12a1=4,解得a=8.12.2,+)解析 f(x)=12x2-ax+ln
11、 x,f(x)=x-a+1x.曲线f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存在零点,x+1x-a=0有解,a=x+1x2(x0).13.D解析 由y=f(x)的图象知y=f(x)在(0,+)内单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+)内也单调递减,故可排除A,C.又由题图知y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.14.B解析 因为定义域为(0,+),所以y=2x-1x.令2x-1x=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=22=2.故所求的
12、最小值为2.15.D解析 令ex=t,则x=ln t,所以f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x.所以f(x)=1x+1.所以f(2 018)=12 018+1=2 0192 018.故选D.16.2e-2e解析 f(x)=ax-2-ln x(aR),f(x)=a-1x=ax-1x.又曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线的斜率为1e,f(e)=ae-1e=1e.a=2e.f(e)=ae-2-ln e=-1.由切点(e,-1)在切线上,可得b=-2e.17.1-ln 2解析 对函数y=ln x+2求导,得y=1x.对函数y=ln(x+1)求导,得y=1x+1.设直线y=kx+b与
13、曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=1x1(x-x1).由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=ln x1+x2x2+1+1,解得x1=12,x2=-12.所以k=1x1=2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.18.D解析 y=12e12x,切线斜率k=12e124=12e2.切线方程为y-e2=12e2(x-4).令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=2.故所求三角形的面积为S=122|-e2|=e2.
