1、2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1设全集U1，0，1，2，3，若集合A1，0，2，则 2不等式0的解集为 3函数f（x）的定义域是 4设a0且a1，b0，若logablog5a3，则b 5函数yx21，x（，0）的反函数为y 6不等式log2x+2x2的解集为 7函数y的值域是 8若函数f（x）的值域为（，1，则实数m的取值范围是 9函数yf（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数yex的图像关于y轴对称，则f（x） 10设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）2x+2x+b（b为常数），则f（1）的值为 11已知
2、定义在R上的偶函数yf（x）在0，+）是严格增函数，如果f（ax+1）f（2）对于任意x1，2恒成立，则实数a的取值范围是 12设f（x）x1，g（x），若存在x1，x2，xn，4，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn）成立，则正整数n的最大值为 二、选择题13若函数yf（x）的反函数为yf1（x），则方程f1（x）0（）A有且只有一个实数解B至少一个实数解C至多有一个实数解D可能有两个实数解14设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2Bab2a2bCD15若函数yf（x）在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲
3、线，则下列说法正确的是（）A若f（a）f（b）0，不存在实数c（a，b）使得f（c）0B若f（a）f（b）0，有可能存在实数c（a，b）使得f（c）0C若f（a）f（b）0，存在且只存在一个实数c（a，b）使得f（c）0D若f（a）f（b）0，有可能不存在实数c（a，b）使得f（c）016已知函数yf（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在aR且a0，对任意的xR，均有f（x+a）f（x）+f（a）恒成立，命题q1：yf（x）在R上是严格减函数，且f（x）0恒成立；命题q2：yf（x）在R上是严格增函数，且存在x00使得f（x）0则下列说法正确的是（）Aq1、q2都是p的充分条件B只有
4、q1是p的充分条件C只有q2是p的充分条件Dq1、q2都不是p的充分条件三、解答题17设m为实数，f（x）（m2m1）x2m，已知幂函数yf（x）在区间（0，+）上是严格增函数，试求满足f（x）的x的取值范围18设f（x）2x+a2x，其中aR（1）若函数yf（x）的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；（2）若函数yf（x）在（，2上是严格减函数，求a的取值范围19设f（x）lg（2ax），其中a为实数（1）设集合Ax|yf（x），集合By|y2x，x0，若BA，求实数a的取值范围；（2）若集合Cx|lg（x1）+lg（3x）f（x）中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围20食品安全问题越
5、来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P80+4，Qa+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？21对于函数yf（x），若定义域中存在实数a、b满足ba0且，则称函数yf（x）为“P函数”（1
6、）判断是否为“P函数”，并说明理由；（2）设nN且n0，若函数为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围参考答案一、填空题：1设全集U1，0，1，2，3，若集合A1，0，2，则1，3解：全集U1，0，1，2，3，集合A1，0，2，1，3故答案为：1，32不等式0的解集为（3，2）解：不等式0可化为，或，解得3x2，或；不等式的解集为（3，2）故答案为：（3，2）3函数f（x）的定义域是x|x2且x1解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x1且x2；故函数的定义域为：x|x2且x1，故答案为：x|x2且x14设a0且a1，b0，若logablog5a3，则b125解：logablog5a
7、3，3，3，lgb3lg5lg125，b125，故答案为：1255函数yx21，x（，0）的反函数为y，x（1，+）解：由yx1，x（，0），可得y1，且可得x，x，y互换，可得其反函数为y，x（1，+）故答案为：y，x（1，+）6不等式log2x+2x2的解集为 （0，1）解：由题意，设f（x）log2x+2x2，x（0，+）；则f（x）在定义域（0，+）上是单调增函数，且f（1）log21+220，所以f（x）在定义域（0，+）有唯一的零点是1，所以f（x）0的解集为（0，1），即不等式的解集为（0，1）故答案为：（0，1）7函数y的值域是 （，1）（0，+）解：由于2x（0，+），故2x
8、1（1，0）（0，+）；故答案为：（，1）（0，+）8若函数f（x）的值域为（，1，则实数m的取值范围是（0，1解：x0时：f（x）2x（0，1x0时，f（x）x2+m，函数的对称轴x0，f（x）在（，0）递增，f（x）x2+mm，函数f（x）的值域为（，1，故0m1，故答案为：（0，19函数yf（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数yex的图像关于y轴对称，则f（x）ex1解：根据题意，函数y2x的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：yex，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为：ye（x+1）ex1，即f（x）ex1，故答案为：ex110设函数f（x）为定义在R上的奇函
9、数，当x0时，f（x）2x+2x+b（b为常数），则f（1）的值为3解：函数f（x）为定义在R上的奇函数，f（0）1+b0，解得b1，则当x0时，f（x）2x+2x1，f（1）f（1）（2+21）3，故答案为：311已知定义在R上的偶函数yf（x）在0，+）是严格增函数，如果f（ax+1）f（2）对于任意x1，2恒成立，则实数a的取值范围是 ，解：f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，由f（ax+1）f（2）对于任意x1，2恒成立，可得|ax+1|2在x1，2恒成立，即2ax+12在x1，2恒成立，即a在x1，2恒成立，由y在x1，2上单调递增，可得y的最大值为；y在x
10、1，2上单调递减，可得y的最小值为，则a，即实数a的取值范围是，故答案为：，12设f（x）x1，g（x），若存在x1，x2，xn，4，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn）成立，则正整数n的最大值为 6解：由题意知，存在x1，x2，xn，4，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn）成立，即f（x1）g（x1）+f（x2）g（x2）+f（xn1）g（xn1）f（xn）g（xn）成立而f（xn）g（xn），当且仅当xn2，4时等号成立，又f（x1）g（x1）+f（x2）g（x2
11、）+f（xn1）g（xn1）f（xn）g（xn），f（xn）g（xn）3（n1），而xn，4，即f（xn）g（xn）3，仅需3（n1）成立即可，有n，故正整数n的最大值为6故答案为：6二、选择题13若函数yf（x）的反函数为yf1（x），则方程f1（x）0（）A有且只有一个实数解B至少一个实数解C至多有一个实数解D可能有两个实数解解：因为函数yf（x）有反函数为yf1（x），所以yf（x）是一个单射函数，设其定义域为I，故若0I，设f（0）aR，由函数定义知a有唯一值，故f1（a）0只有一实数a，若0I，f（0）无意义，故不存在x，使得f1（x）0，故方程f1（x）0无解，综上：f1（x）0至
12、多有一个实数解，故选：C14设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2Bab2a2bCD解：A选项不正确，因为a2，b1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a1，b2时，不等式就不成立；C选项正确，因为ab，故当ab时一定有；D选项不正确，因为a1，b2时，不等式就不成立；故选：C15若函数yf（x）在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A若f（a）f（b）0，不存在实数c（a，b）使得f（c）0B若f（a）f（b）0，有可能存在实数c（a，b）使得f（c）0C若f（a）f（b）0，存在且只存在一个实数c（a，b）使得f（c）0D若f（a）f（b
13、）0，有可能不存在实数c（a，b）使得f（c）0解：首先，设函数yf（x）在区间a，b上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）0，有可能存在实数c（a，b）使得f（c）0，故A错误，B正确；其次，设函数yf（x）在区间a，b上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）0，但C都错误，D、根据零点存在定理，一定存在实数c（a，b）使得f（c）0，所以D错误，故选：B16已知函数yf（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在aR且a0，对任意的xR，均有f（x+a）f（x）+f（a）恒成立，命题q1：yf（x）在R上是严格减函数，且f（x）0恒成立；命题q2：yf（x）在R上是严格增函数，且存在
14、x00使得f（x）0则下列说法正确的是（）Aq1、q2都是p的充分条件B只有q1是p的充分条件C只有q2是p的充分条件Dq1、q2都不是p的充分条件解：命题q1成立，即yf（x）在R上是严格减函数，且f（x）0恒成立，故取a0时，对任意的xR，x+ax，则f（x+a）f（x），f（a）0 即0f（a），故f（x+a）f（x）+f（a），即命题q1可推出命题p，即q1是p的充分条件；命题q2成立，yf（x）在R上是严格增函数，且存在x00使得f（x0）0，故取ax00时，对任意的xR，x+ax，则f（x+a）f（x），f（a）f（x0）0，f （x+a）f（x）+f（a），即命题q2可推出命题p
15、，即q2是p的充分条件；故q1、q2都是p的充分条件故选：A三、解答题17设m为实数，f（x）（m2m1）x2m，已知幂函数yf（x）在区间（0，+）上是严格增函数，试求满足f（x）的x的取值范围解：设m为实数，f（x）（m2m1）x2m，幂函数yf（x）在区间（0，+）上是严格增函数，解得m1f（x）x2，f（x），当x0时，x1；当x0时，成立，满足f（x）的x的取值范围是（，0）（1，+）18设f（x）2x+a2x，其中aR（1）若函数yf（x）的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；（2）若函数yf（x）在（，2上是严格减函数，求a的取值范围解：（1）因为函数yf（x）的图像关于原点成
16、中心对称图形，所以f（x）为奇函数，所以f（x）f（x），即2x+a2x2xa2x，即（a+1）（2x+2x）0，因为2x+2x0，解得a1（2）函数yf（x）在（，2上是严格减函数，所以对任意的x1x22，都有f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）（）（1）0恒成立，由0，知10恒成立，即a恒成立，由于当x1x22时，（）max16，所以a16，即a的取值范围是16，+）19设f（x）lg（2ax），其中a为实数（1）设集合Ax|yf（x），集合By|y2x，x0，若BA，求实数a的取值范围；（2）若集合Cx|lg（x1）+lg（3x）f（x）中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围
17、解：（1）Ax|yf（x）x|ylg（2ax）x|x2a，By|y2x，x0y|1y0，又BA，2a0，a0，a的取值范围为0，+）（2）由Cx|lg（x1）+lg（3x）f（x），得2ax2+5x3，且1x3，设g（x）x2+5x3，对称轴x，则g（x）在（1，）上单调递增，在（，3）上单调递减，且g（），g（1）1，g（3）3，若直线y2a与函数g（x）x2+5x3在（1，3）上恰有两个交点时，则32a，aa的取值范围为（，）20食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无
18、公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P80+4，Qa+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？解：（1）甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，万元（2），依题意得，故令，则，当，即x128时，f（x）max282万元所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元21对于函数yf（x），若定义域中存在
19、实数a、b满足ba0且，则称函数yf（x）为“P函数”（1）判断是否为“P函数”，并说明理由；（2）设nN且n0，若函数为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围解：（1）若是“P函数”，则满足，两式相减得2a+2ab+2b4b+20，即abab+10（b1）（a1）0，则b1或a1，与f（a）f（b）0矛盾，故不是“P函数”；（2）是“P函数”若k0，则0，则在x（0，n）上单调递减，故不满足存在实数a、b满足ba1且f（a）f（b），不合题意；若k0，g（x），x（0，n）单调递减，且g（）0，故x（0，）时，f（x）|单调递减，x（，+）时，f（x）|单调递增，故a（0，），b（，+），f（a）f（b）k2f（），则k，f（a），则2f（）2|2|若2，则，整理可得a2+3b24ab0，得a3b，不合题意；若2，则，整理可得3a2+b24ab0，得b3a，故k，a由（0，n）中存在实数a、b满足ba1且，n的最小值为5，故在（0，5）中存在a满足f（a）f（3a）2f（2a），且43a5，故45，得k1综上所述，实数k的取值范围是（，1
