1、2015年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷(理工农医类)一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分1设全集若集合,则 2若复数满足,其中为虚数单位,则 3若线性方程组的增广矩阵为、解为,则 4若正三棱柱的所有棱长均为,且其体积为,则 5抛物线()上的动点到焦点的距离的最小值为,则 6若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为,则其母线与轴的夹角的大小为 7.方程的解为 8.在报名的名男教师和名女教师中,选取人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示)9.已知点和的横坐标相同,的纵
2、坐标是的纵坐标的倍,和的轨迹分别为双曲线和若的渐近线方程为,则的渐近线方程为 10.设为,的反函数,则的最大值为 11.在的展开式中,项的系数为 (结果用数值表示)12.赌博有陷阱某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有,的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金(单位:元)若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则 (元)13.已知函数若存在,满足,且(,),则的最小值为 14.在锐角三角形中,为边上的点,与的面积分别为和过作于,于,则 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个
3、正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分15设,则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件16已知点的坐标为,将绕坐标原点逆时针旋转至,则点的纵坐标为( )A B C D17记方程:,方程:,方程:,其中,是正实数当,成等比数列时,下列选项中,能推出方程无实根的是( )A方程有实根,且有实根 B方程有实根,且无实根C方程无实根,且有实根 D方程无实根,且无实根18设是直线()与圆在第一象限的交点,则极限( )A B C D三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题
4、必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.(本题满分12分)如图,在长方体中,、分别是、的中点证明、四点共面,并求直线与平面所成的角的大小.20.(本题满分14分)本题共有2小题,第小题满分6分,第小题满分8分如图,三地有直道相通,千米,千米,千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地,经过小时,他们之间的距离为(单位:千米).甲的路线是,速度为千米/小时,乙的路线是,速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.(1)求与的值;(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时,求的表达式,并判断在上得最大值是否超过?说明理由.21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题
5、6分,第2小题8分.已知椭圆,过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、,记得到的平行四边形的面积为.(1)设,用、的坐标表示点到直线的距离,并证明;(2)设与的斜率之积为,求面积的值.22.(本题满分16分)本题共有3个小题.第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 已知数列与满足,.(1)若,且,求数列的通项公式;(2)设的第项是最大项,即(),求证:数列的第项是最大项;(3)设,(),求的取值范围,使得有最大值与最小值,且.23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为的函数,若存在正常数,使得是以为周期的函数,则称为余弦周期函数,且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数,其值域为.设单调递增,.(1)验证是以为余弦周期的余弦周期函数;(2)设证明对任意,存在,使得;(3)证明:“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”,并证明对任意都有.