1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时奇偶性的应用学 习 目 标核 心 素 养1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式2能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养2借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.用奇偶性求解析式【例1】(教材改编题)(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)，求函数f(x)，g(x)的解析式思路点拨：(1)(2)解(1)设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x
2、1，当x0”改为“x0”，再求f(x)的解析式解设x0，则x0，则f(x)x1.又f(x)f(x)，所以f(x)x1.故f(x)的解析式为f(x)2把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式解f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，又f(x)g(x)，用x代替上式中的x，得f(x)g(x)，即f(x)g(x).联立得f(x)，g(x).利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就设在那个区间.(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x
3、)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x).提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为偶函数，未必有f(0)0.函数单调性和奇偶性的综合问题探究问题1如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(b，a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(b，a)上的单调性如何？提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(b，a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(b，a)上单调递增2你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称
4、的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反3若偶函数f(x)在(，0)上单调递增，那么f(3)和f(2)的大小关系如何？若f(a)f(b)，你能得到什么结论？提示：f(2)f(3)，若f(a)f(b)，则|a|b|.角度一比较大小问题【例2】函数yf(x)在0,2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()Af(1)ffBff(1)fCfff(1)Dff(1)f思路点拨：B函数f(x2)是偶函数，函数f(x)的图象关于直线x2对称，ff，ff，又f(x)在0,2上单调递增，ff(1)f，即ff(1)f.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同
5、一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.1设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)A由偶函数与单调性的关系知，若x0，)时，f(x)是增函数，则x(，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，|2|3|，f()f(3)f(2)，故选A.角度二解不等式问题【例3】已知定义在2,2上的奇函数f(x)
6、在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解因为f(x)在区间2,2上为奇函数，且在区间0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上为减函数又f(1m)f(m)，所以即解得1m.故实数m的取值范围是1m.解有关奇函数f(x)的不等式f(a)f(b)0，先将f(a)f(b)0变形为f(a)f(b)f(b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)f(|x|)f(|x|)将f(g(x)中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使
7、不等式得解.2.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在0，)上是增函数，f(3)1Ba1或a2D1a2C因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)f(2a1)，所以f(3)f(|2a1|)，又函数f(x)在0，)上是增函数，所以31或a0时的解析式与xf(2)Bf(1)f(2)，故选A.3定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()AabC|a|b|D0ab0Cf(x)是R上的偶函数，且在0，)上是增函数，由f(a)f(b)可得|a|b|.4已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的表达式解f(x)g(x)x2x2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)g(x)x2x2，又f(x)g(x)x2x2，两式联立得f(x)x22，g(x)x.- 6 - 版权所有高考资源网
