1、一、填空题1.直线xym0与圆x2y22x20相切，则实数m_.解析圆的方程(x1)2y23，圆心(1，0)到直线的距离等于半径|m|2m或m3.答案3或2.已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1，1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数是_.解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数.又f(x)lg x，则x(0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案93.函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_.解析f(x)2转化为f(x)20，构造函数F(x)f(x)2x，得F(
2、x)在R上是增函数.又F(1)f(1)2(1)4，f(x)2x4，即F(x)4F(1)，所以x1.答案(1，)4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_.解析如图，设a，b，c，则ac，bc.由题意知，O，A，C，B四点共圆.当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.答案5.已知函数f(x)x22ax3在区间1，2上具有单调性，则实数a的取值范围为_.解析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示.由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1，2上具有单调性，只需a1或a2，从
3、而a(，12，).答案(，12，)6.(2015全国卷改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为_.解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则AB2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1，0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，BMAB2a，MBN60，y1MNBMsinMBN2asin 60a，x1OBBNa2acos 602a.将点M(2a，a)的坐标代入1，可得a2b2，e.答案7.已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|2，be11，be21，则对于
4、任意x，yR，|b(xe1ye2)|的最小值为_.解析|b(xe1ye2)|2b2x2ey2e2xbe12ybe22xye1e24x2y22x2y(x1)2(y1)222，当且仅当x1，y1时，|b(xe1ye2)|2取得最小值2，此时|b(xe1ye2)|取得最小值.答案8.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆C：(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.解析设直线l的方程为xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l的方程代入抛物线方程y24x并整理得y24ty4m0，则16t216m0，y1y24t，y1y
5、24m，那么x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，则线段AB的中点M(2t2m，2t).由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C(5，0).当t0时，有kMCkAB1，即1，整理得m32t2，把m32t2代入16t216m0，可得3t20，即0t23.由于圆心C到直线AB的距离等于半径，即d2r，所以2r4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条.当t0时，这样的直线l恰有2条，即x5r，所以0r5.综上，可得若这样的直线恰有4条，则2r4.答案(2，4)二、解答题9.已知数列an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值.解(1)设an的公
6、差为d，由已知条件，解得a13，d2.所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn取到最大值4.10.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且3.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围.解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，设c0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21.即y22x21.(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2
7、)，由得(k22)x22kmxm210，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)解上述方程后易得：x1x2，x1x2.因为3 ，所以x13x2.所以所以3(x1x2)24x1x20.所以340.整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)(2m22)0.当m2时，上式不成立；当m2时，k2，由(*)式，得k22m22，又k0，所以k20.解得1m或m1.综上，所求m的取值范围为.11.设函数f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在x1处的切线互相平行.(1)求b的值；(2)若函数F(x)且方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围
8、.解函数g(x)bx2ln x的定义域为(0，)，(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依题意得2b10，所以b.(2)x(0，1)时，g(x)x0，即g(x)在(0，1)上单调递减，x(1，)时，g(x)x0，即g(x)在(1，)上单调递增，所以当x1时，g(x)取得极小值g(1)；当a0时，方程F(x)a2不可能有四个解；当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(，1)上单调递减，x(1，0)时，f(x)0，即f(x)在(1，0)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解.当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(，1)上单调递增，x(1，0)时，f(x)0，即f(x)在(1，0)上单调递减，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F(x)a2有四个解，则a22a，得a2，所以，实数a的取值范围是.
