1、第四节函数的图象1描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)(3)描点，连线2图象变换(1)平移变换yf(x)的图象yf(xa)的图象；yf(x)的图象yf(x)b的图象(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0且a1)的图象ylogax(a0且a1)的图象(3)伸缩变换yf(x)的图象yf(x)的图象yaf(x)的图象(4)翻转变换yf(x)的图象y|f(
2、x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象小题体验1f(x)的图象如图所示，则f(x)_.答案：f(x)2函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)_.解析：与曲线yex关于y轴对称的图象对应的解析式为yex，将函数yex的图象向左平移1个单位长度即得yf(x)的图象，所以f(x)e(x1)ex1.答案：ex13(2018扬州期末)若函数yf(x)的图象经过点(1,2)，则函数yf(x)1的图象必经过的点的坐标是_解析：把函数yf(x)的图象关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得函数yf(x)1的图象把函数yf(x)的图象上的点(1,2)关于y
3、轴对称，再向上平移1个单位，可得点(1,3)，故函数yf(x)1的图象必定经过的点的坐标是(1,3)答案：(1,3)1函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(2x)的图象到f(2x1)的图象是向右平移个单位，其中是把x变成x.2明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系如函数yf(|x|)的图象属于自身对称，而yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称是两个函数小题纠偏1函数y5x与函数y的图象关于_对称答案：原点2把函数yf(2x)的图象向右平移_个单位得到函数yf(2x3)的图象答案：题组练透分别画出下
4、列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解：(1)y图象如图1.(2)将y2x的图象向左平移2个单位图象如图2.(3)y图象如图3.谨记通法作函数图象的3种常用方法典例引领1若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)_.解析：由图象可得ab3，ln(1a)0，得a2，b5，所以f(x)故f(3)2(3)51.答案：12(2019启东检测)若函数f(x)|axb|(a0，a1，bR)的图象如图所示，则ab的取值范围是_解析：由图可得，函数f(x)的零点为，即b0.由图可得，当x时，函数f(x)为增函数，故a1，所以aba2(0，)答案：(0，)由题悟法识图3种常
5、用的方法即时应用1已知yf(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为_解析：由图象易知f(x)的值域为(，1(1,3)答案：(，1(1,3)2如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f_.解析：由图象知f(3)1，所以1，所以ff(1)2.答案：2锁定考向函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性常见的命题角度有：(1)研究函数的性质；(2)求参数的值或范围；(3)研究不等式；(4)确定方程根(零点)的个数(详见本章第八节考点二)题点全练角度一：研究函数的性质1已知函数f(x)|
6、x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根解：f(x)作出函数f(x)的图象如图所示(1)由图知函数f(x)的单调递增区间为1,2和3，)，单调递减区间为(，1和2,3(2)由图象可知，若yf(x)与ym图象有四个不同的交点，则0m1，所以集合Mm|0m1角度二：求参数的值或范围2(2019苏州实验中学测试)定义mina，b已知函数f(x)minx，x24x44，若动直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为_解析：设g(x)minx，x24x4，则f(x)g(x)4，故把g(x)的图象向上平移4个单位
7、长度，可得f(x)的图象，函数f(x)minx，x24x44的图象如图所示，由直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点，可得m的取值范围为(4,5)答案：(4,5)角度三：研究不等式3(2018启东中学测试)如图所示，函数yf(x)的图象是圆x2y22上的两段弧，则不等式f(x)f(x)2x的解集是_解析：由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)x，在同一平面直角坐标系中分别作出yf(x)与yx的图象，由图象可知不等式的解集为(1,0)(1，答案：(1,0)(1，4若不等式(x1)2logax(a0，且a1)在x(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为_解析：要使当x(
8、1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需函数y(x1)2在(1,2)上的图象在ylogax的图象的下方即可当0a1时，显然不成立；当a1时，如图，要使x(1,2)时，y(x1)2的图象在ylogax的图象的下方，只需(21)2loga2，即loga21，解得1a2，故实数a的取值范围是(1,2答案：(1,2通法在握函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值从图象的对称性，分析函数的奇偶性从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参
9、数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解(3)研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解演练冲关1已知函数f(x)若f(3a2)f(2a)，则实数a的取值范围是_解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，因为f(3a2)f(2a)，所以3a22a，解得3a1.答案：(3,1)2(2019扬州中学高三调研)已知函数f(x)的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是_解析：若x0，则x0，x0时，f(x
10、)sin1，f(x)sin1sin1，则若f(x)sin1，x0关于y轴对称，则f(x)sin1f(x)，设g(x)sin1，x0，作出函数g(x)的大致图象如图所示要满足题意，则须使g(x)sin1，x0与f(x)logax，x0的图象恰有9个交点，则0a1，且满足f(17)g(17)2，f(21)g(21)2，即2loga17，loga212，解得a.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知函数f(x)x21，若0x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为_解析：作出函数图象(图略)，知f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x1)f(x2)答案：f(x2)f(x1)2(2018常州一
11、中期末)将函数yex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为_解析：将函数yex的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得ye2x，再向右平移2个单位，可得ye2(x2)e2x4.答案：ye2x43(2018前黄中学月考)设函数yf(x1)是定义在(，0)(0，)的偶函数，在区间(，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x1)f(x)0的解集为_解析：yf(x1)向右平移1个单位得到yf(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x1，过定点(2,0)，且函数在(，1)上递减，在(1，)上递增，则f(x)的大致图象如图所示不等式(x1)f(x)0
12、可化为或由图可知符合条件的解集为(，0(1,2答案：(，0(1,24使log2(x)x1成立的x的取值范围是_解析：在同一坐标系内作出ylog2(x)，yx1的图象，知满足条件的x(1,0)答案：(1,0)5若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_解析：由题意a|x|x令y|x|x图象如图所示，故要使a|x|x只有一解，则a0.答案：(0，)6设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)的图象如图所示，令tf(a)，则f(t)2，由图象知t2，所以f(a)2，当a0时，由a2a2，即a2a20恒成立，当a0时，由a22，得0a，故a.答案：(， 二
13、保高考，全练题型做到高考达标1已知f(x)x，若f(x)的图象关于直线x1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为_解析：设g(x)上的任意一点A(x，y)，则该点关于直线x1的对称点为B(2x，y)，而该点在f(x)的图象上所以y2x3x2，即g(x)3x2.答案：g(x)3x22如图，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_解析：当1x0时，设解析式为f(x)kxb(k0)，则解得当1x0时，f(x)x1.当x0时，设解析式为f(x)a(x2)21(a0)，图象过点(4,0)，0a(42)21，a，当x0时，f(x)(x2)21x
14、2x.故函数f(x)的解析式为f(x)答案：f(x)3(2019江阴中学检测)方程x2|x|a1有四个不同的实数解，则a的取值范围是_解析：方程解的个数可转化为函数yx2|x|的图象与直线y1a交点的个数，作出两函数的图象如图，易知1a0，所以1a.答案：4(2019启东中学期中)设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图，则不等式0的解集为_解析：不等式0，等价于或由图象可知：当1x5时，由f(x)0，解得2x5.当0x1时，由f(x)0，解得0x1，因为f(x)为奇函数，当2x0时，由f(x)0，此时无解，当5x2时，由f(x)0，解得5x2，故不等式的解集为5，
15、20,1)2,5答案：5，20,1)2,55已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)若方程f(x)xa有两个不同实根，则a的取值范围为_解析：x0时，f(x)2x1，0x1时，1x10，f(x)f(x1)2(x1)1.故x0时，f(x)是周期函数，如图所示若方程f(x)xa有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同交点，故a1，即a的取值范围是(，1)答案：(，1)6(2019镇江中学测试)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_解析：作出函数f(x)的图象如图所示，不妨设abc，则bc21224，a(1,10)，则abc24
16、a(25,34)答案：(25,34)7(2019徐州调研)设函数f(x)其中x表示不超过x的最大整数，如1.22，1.21，若直线ykxk(k0)与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是_解析：函数f(x)作出函数f(x)的图象如图所示ykxkk(x1)，故该直线的图象一定过点(1,0)，若ykxk与yf(x)的图象有三个不同的交点，则f(x)kxk有三个不同的根，k0，当ykxk过点(2,1)时，k，当ykxk过点(3,1)时，k，要使f(x)kxk有三个不同的根，则实数k的取值范围是.答案：8(2019金陵中学月考)已知yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域均
17、为，且它们在x0，上的图象如图所示，则不等式f(x)g(x)0的解集是_解析：f(x)g(x)0f(x)与g(x)在同一区间内符号相反，由图可知，当x0，时，两者异号的区间为.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，当x，0)时，两者异号的区间为，f(x)g(x)0的解集是.答案：9(2018盐城一中测试)已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求集合Mm|使方程f(x)m有三个不相等的实根解：(1)因为f(4)0，所以4|m4|0
18、，即m4.(2)因为f(x)x|4x|即f(x)所以函数f(x)的图象如图所示由图象知函数f(x)有两个零点(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为2,4(4)从图象上观察可知：不等式f(x)0的解集为x|0x4或x4(5)由图象可知若yf(x)与ym的图象有三个不同的交点，则0m4，所以集合Mm|0m410已知函数f(x)2x，xR.(1)当m取何值时方程|f(x)2|m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)f(x)m0在R上恒成立，求m的取值范围解：(1)令F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出F(x)的图象如图所示由图象可知，当m0或m2时，函数F(x)与G(x)的
19、图象只有一个交点，原方程有一个解；当0m2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解(2)令f(x)t(t0)，H(t)t2t，因为H(t)2在区间(0，)上是增函数，所以H(t)H(0)0.因此要使t2tm在区间(0，)上恒成立，应有m0，即所求m的取值范围为(，0三上台阶，自主选做志在冲刺名校1对于函数f(x)lg(|x2|1)，给出如下三个命题：f(x2)是偶函数；f(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数；f(x)没有最小值其中正确命题的个数为_解析：因为函数f(x)lg(|x2|1)，所以函数f(x2)lg(|x|1)是偶函数；由ylg xylg(x1
20、)ylg(|x|1)ylg(|x2|1)，如图，可知f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以正确答案：22已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，且g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数a的取值范围解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P(x,2y)在h(x)的图象上，即2yx2，所以yf(x)x(x0)(2)g(x)f(x)x，g(x)1.因为g(x)在(0,2上为减函数，所以10在(0,2上恒成立，即a1x2在(0,2上恒成立
21、，所以a14，即a3，故实数a的取值范围是3，)命题点一函数的概念及其表示1(2018江苏高考)函数f(x)的定义域为_解析：由log2x10，即log2xlog22，解得x2，所以函数f(x)的定义域为x|x2答案：x|x22(2016江苏高考)函数y的定义域是_解析：要使函数有意义，需32xx20，即x22x30，得(x1)(x3)0，即3x1，故所求函数的定义域为3,1答案：3,13(2016浙江高考)设函数f(x)x33x21，已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数a_，b_.解析：因为f(x)x33x21，所以f(a)a33a21，所以f(x)f(a)(xb)(
22、xa)2(xb)(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx33x2a33a2.由此可得因为a0，所以由得a2b，代入式得b1，a2.答案：214(2018全国卷改编)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是_解析：法一：当即x1时，f(x1)f(2x)，即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)，即为122x，解得x0.因此不等式的解集为(1,0)当即x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)法二：f(x)函数f(x)的图象如图所
23、示结合图象知，要使f(x1)f(2x)，则需或x0.答案：(，0)命题点二函数的基本性质1.(2016江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)其中aR.若ff，则f(5a)的值是_解析：因为函数f(x)的周期为2，结合在1,1)上f(x)的解析式，得fffa，fff.由ff，得a，解得a.所以f(5a)f(3)f(41)f(1)1.答案：2(2013江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_解析：由于f(x)为R上的奇函数，所以当x0时，f(0)0；当x0时，x0，所以f(x)x24xf(x)
24、，即f(x)x24x，所以f(x)由f(x)x，可得或解得x5或5x0，所以原不等式的解集为(5,0)(5，)答案：(5,0)(5，)3(2018全国卷改编)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_.解析：法一：f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x)，得f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数得f(0)0.又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1
25、)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.法二：由题意可设f(x)2sin，作出f(x)的部分图象如图所示由图可知，f(x)的一个周期为4，f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)120f(1)f(2)2.答案：24(2017全国卷改编)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是_解析：由x22x80，得x4或x2.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是 (，2)(4，)注意到函数
26、yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)答案：(4，)5(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.解析：由已知得，f(2)2(2)3(2)212，又函数f(x)是奇函数，所以f(2)f(2)12.答案：126(2017山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x 3,0时，f(x)6x，则f(919)_.解析：因为f(x4)f(x2)，所以f(x6)f(x)，所以f(x)的周期为6，因为91915361，所以f(919)f(1)又f(x)
27、为偶函数，所以f(919)f(1)f(1)6.答案：6命题点三函数的图象1.(2016全国卷改编)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)_.解析：因为f(x)2f(x)，所以f(x)f(x)2.因为0，1，所以函数yf(x)的图象关于点(0,1)对称函数y1，故其图象也关于点(0,1)对称所以函数y与yf(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i0，i2m，所以(xiyi)m.答案：m2(2015全国卷)已知函数f(x)ax32x的图象过点(1,4)，则a_.解析：因为f(x)ax32x的图象过点(1,4)，所以4a(1)32(1)，解得a2.答案：2
