1、2015-2016学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合P=x|x21，M=a若PM=P，则a的取值范围是( )A（，1B1，+）C1，1D（，11，+）2设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于( )A13B35C49D633函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则( )Ap是q的充分必要条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分条件，也不
2、是q的必要条件4要得到函数g（x）=，只需将f（x）=cos2x的图象( )A左移个单位B右移个单位C左移个单位D右移个单位5已知定义域在R上的奇函数f（x）当x0时，f（x）=，则ff（3）=( )A1B1C7D76如图所示，M，N是函数y=2sin（wx+）（0）图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当MPN面积最大时=0，则=( )ABCD87已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则 的值为( )ABCD8已知函数f（x）=logax（a0且a1）满足，则的解是( )A0x1Bx1Cx0Dx19已知f（x）=x2+（sincos）x+sin（R）的图象关于y轴对
3、称，则sin2+cos2的值为( )AB2CD110已知函数y=f（x）是R上的减函数，且函数y=f（x1）的图象关于点A（1，0）对称设动点M（x，y），若实数x，y满足不等式 f（x28y+24）+f（y26x）0恒成立，则的取值范围是( )A（，+）B1，1C2，4D3，511已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为( )A（，）B（，11）C（，12）D（6，l2）12已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）0，f（x）g（x）f（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a0，且a1），若数列的前n项和大于62，则n
4、的最小值为( )A6B7C8D9二、坟空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为_14函数f（x）=3x|x|1的零点个数为_15ABC为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB上的高，P为线段OC的中点，则=_16已知数列an为等差数列，若1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn0的n的最大值为_三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x），xR，设函数f（x）=（）求f（x）的单调递增区间；（）求f（x）在0，上
5、的最大值和最小值18已知数列log2（an1）（nN*）为等差数列，且a1=3，a3=9（）求数列an的通项公式；（）证明+119ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值20已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1（）求a=时，讨论f（x）的单调性；（）若x2，+）时，f（x）0，求a的取值范围21直线Ln：y=x与圆Cn：x2+y2=2an+n交于不同的两点An，Bn数列an满足：a1=1，a n+1=|AnBn|2（1）求数列an的通项公式，（2）若bn=，求bn的前n项和Tn22设函数f（x）=ax2lnx+b（x
6、1）（x0），曲线y=f（x）过点（e，e2e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0（）求a，b的值；（）证明：当x1时，f（x）（x1）2；（）若当x1时，f（x）m（x1）2恒成立，求实数m的取值范围2015-2016学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合P=x|x21，M=a若PM=P，则a的取值范围是( )A（，1B1，+）C1，1D（，11，+）【考点】集合关系中的参数取值问题 【专题】集合【分析】通过解不等式化简集合P；利用PM=PMP；求出a的范围【解答
7、】解：P=x|x21，P=x|1x1PM=PMPaP1a1故选：C【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件PM=PMP是解题关键2设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于( )A13B35C49D63【考点】等差数列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一
8、道基础题3函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则( )Ap是q的充分必要条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f（x）=3x2，由f（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f（x0）=0成立，即
9、必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础4要得到函数g（x）=，只需将f（x）=cos2x的图象( )A左移个单位B右移个单位C左移个单位D右移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用诱导公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数g（x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x），故将f（x）=cos2x的图象向右平移个单位，可得到函数g（x）=的图象，故选：D【点评
10、】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题5已知定义域在R上的奇函数f（x）当x0时，f（x）=，则ff（3）=( )A1B1C7D7【考点】函数的值 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由f（x）是定义域在R上的奇函数知f（x）=f（x），再结合分段函数f（x）=求解即可【解答】解：f（x）=，又f（x）是定义域在R上的奇函数，ff（3）=ff（3）=f（32）2）=f（1）=f（1）=1；故选：B【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用及分段函数的应用，属于基础题6如图所示，M，N是函数y=2sin（wx+）（0
11、）图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当MPN面积最大时=0，则=( )ABCD8【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【专题】平面向量及应用【分析】由图形可以看出当P位于M、N之间函数y=2sin（wx+）（0）图象的最高点时，MPN面积最大，再根据此时=0得到MPN为等腰直角三角形，由三角函数的最大值求出周期，然后利用周期公式求解的值【解答】解：由图象可知，当P位于M、N之间函数y=2sin（wx+）（0）图象的最高点时，MPN面积最大又此时=0，MPN为等腰直角三角形，过P作PQx轴于Q，|PQ|=2，则|MN|=2|PQ|=
12、4，周期T=2|MN|=8=故选A【点评】本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了y=Asin（x+）的图象，训练了三角函数周期公式的应用，是基础题7已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=，则 的值为( )ABCD【考点】向量在几何中的应用 【专题】平面向量及应用【分析】先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，容易化简出要求的结果【解答】解：因为3+4+5=，所以，所以，因为A，B，C在圆上，所以代入原式得，所以=故选：A【点评】本题考查了平面向量在几何问题中的应用要利用向量的运算结合基底意识，将结论
13、进行化归，从而将问题转化为基底间的数量积及其它运算问题8已知函数f（x）=logax（a0且a1）满足，则的解是( )A0x1Bx1Cx0Dx1【考点】对数函数的单调性与特殊点 【专题】计算题【分析】先由条件，得到logaloga从而求出a的取值范围，利用对数函数的单调性与特殊点化简不等式为整式不等式即可求解【解答】解：满足，logalogaloga2loga30a1，则x1故选D【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的单调性与特殊点、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于基础题9已知f（x）=x2+（sincos）x+sin（R）的图象关于y轴对称，则sin2+co
14、s2的值为( )AB2CD1【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦 【专题】计算题；三角函数的求值【分析】依题意，f（x）=f（x），于是可得sincos=0，利用二倍角公式即可求得sin2+cos2的值【解答】解：f（x）=x2+（sincos）x+sin（R）的图象关于y轴对称，y=f（x）为偶函数，即f（x）=f（x），（x）2+（sincos）（x）+sin=x2+（sincos）x+sin，sincos=0，即sin=cos，sin2+cos2=2sincos+2cos21=2sin2+2cos21=21=1故选：D【点评】本题考查偶函数性质的应用，突出考查二倍
15、角的正弦与余弦，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题10已知函数y=f（x）是R上的减函数，且函数y=f（x1）的图象关于点A（1，0）对称设动点M（x，y），若实数x，y满足不等式 f（x28y+24）+f（y26x）0恒成立，则的取值范围是( )A（，+）B1，1C2，4D3，5【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质 【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】根据函数y=f（x1）的图象关于点 （1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，化简不等式 f（x28y+24）+f（y26x）0，即有x2+y26
16、x8y+240，即有（x3）2+（y4）21，运用向量的数量积的坐标表示可得范围【解答】解：函数y=f（x1）的图象关于点 （1，0）对称，函数y=f（x）的图象关于点 （0，0）对称，即函数是奇函数，不等式 f（x28y+24）+f（y26x）0等价于不等式f（x28y+24）f（6xy2），函数y=f（x）是定义在R上的减函数，x28y+246xy2，即为x2+y26x8y+240，即有（x3）2+（y4）21，则=1x+0y=x，由可得，|x3|1，解得2x4故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11已知函数f（x）=，
17、若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为( )A（，）B（，11）C（，12）D（6，l2）【考点】分段函数的应用 【专题】函数的性质及应用【分析】画出函数f（x）=的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨abc，结合图象求出a+b+c的范围即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设abc，a（，1）b（1，3），c（3，9），由图象可知，当a变大时，b变小，c也变大，a+b+c=1+1+9=11当a变小时，b变大，c也变小，=故a+b+c的取值范围为（，11）故选：B【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力
18、解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题12已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）0，f（x）g（x）f（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a0，且a1），若数列的前n项和大于62，则n的最小值为( )A6B7C8D9【考点】简单复合函数的导数；数列的函数特性 【专题】计算题；压轴题【分析】由f（x）g（x）f（x）g（x）可得单调递增，从而可得a1，结合，可求a利用等比数列的求和公式可求，从而可求【解答】解：f（x）g（x）f（x）g（x），f（x）g（x）f（x）g（x）0，从而可得单调递增，从而可得a1，a=2故=2+22+2n=2n+164，
19、即n+16，n5，nN*n=6故选：A【点评】本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增二、坟空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】计算题【分析】首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解【解答】解：|4+3i|=由（34i）z=|4+3i|，得（34i）z=5，即z=z的虚部为故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题14函数f（x）=3x|
20、x|1的零点个数为2【考点】函数零点的判定定理 【专题】综合题；数形结合；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由f（x）=3x|x|1=0得|x|=3x，分别作出函数y=|x|与y=3x的图象，利用图象判断函数的交点个数即可【解答】解：由f（x）=3x|x|1=0，得|x|=3x，分别作出函数y=|x|与y=3x的图象，如图：由图象可知两个函数的交点个数为2个，即函数f（x）=3x|x|1的零点个数为2故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合是解决此类问题的基本方法15ABC为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB上的高，P为线段OC的中点，则=【考点】平面
21、向量数量积的运算 【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】可分别以CB，CA两直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件容易求出CA=CB=，从而可确定图形上各点的坐标，从而得出向量的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可【解答】解：如图，分别以边CB，CA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系；根据条件知CA=CB=；A（0，），B（，0），O（），P（）；故答案为：【点评】考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，建立完坐标系能够求出图形上点的坐标，从而求出向量的坐标，向量数量积的坐标运算16已知数列an为等差数列，若1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn
22、0的n的最大值为11【考点】等差数列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】根据数列an为等差数列，若1，且它们的前n项和Sn有最大值，得到a10，d0，然后根据等差数列的性质进行计算即可【解答】解：在等差数列中，1，且它们的前n项和Sn有最大值，a10，d0，且a60，a70，且a6+a70，则，使Sn0的n的最大值为11故答案为：11【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的计算，利用等差数列的性质若p+q=m+k，则ap+aq=am+ak的性质是解决等差数列的关键三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知向量=（cosx，），
23、=（sinx，cos2x），xR，设函数f（x）=（）求f（x）的单调递增区间；（）求f（x）在0，上的最大值和最小值【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【专题】平面向量及应用【分析】（）利用数量积运算可得函数f（x）=再利用正弦函数的单调性即可得出（）当x时，可得即可得出【解答】解：（） 函数f（x）=cos2x=由，解得，的单调递增区间为（）当x时，f （x） 在上的最大值和最小值分别为1，【点评】本题考查了数量积运算、正弦函数的单调性、倍角公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知数列log2（an1）（nN*）为等差数列，且a1=3，a3
24、=9（）求数列an的通项公式；（）证明+1【考点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；不等式的证明 【专题】计算题；证明题【分析】（1）设等差数列log2（an1）的公差为d根据a1和a3的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列log2（an1）的通项公式，进而求得an（2）把（1）中求得的an代入+中，进而根据等比数列的求和公式求得+=1原式得证【解答】（I）解：设等差数列log2（an1）的公差为d由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1所以log2（an1）=1+（n1）1=n，即an=2n+1（II）证明：因为=，所以+=+=11，即得证【
25、点评】本题主要考查了等差数列的通项公式属基础题19ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数 【专题】解三角形【分析】利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；利用正弦定理解之【解答】解：因为ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，得27sin2A6sinA16=0，解得sinA=或者sinA=（舍去）；
26、由正弦定理，由可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识20已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1（）求a=时，讨论f（x）的单调性；（）若x2，+）时，f（x）0，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】（I）把代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=或x=1，判断函数在区间（，1），（1，），（，+）的正负可得单调性；（II）由f（2）0，可得a，当x（2，+）时，由不等式的证明方法可得
27、f（x）0，可得单调性，进而可得当x2，+）时，有f（x）f（2）0成立，进而可得a的范围【解答】解：（I）当时，f（x）=x33x2+3x+1，f（x）=3x26x+3，令f（x）=0，可得x=或x=1，当x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（1，）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；（II）由f（2）0，可解得a，当a，x（2，+）时，f（x）=3（x2+2ax+1）3（x2+1）=3（x）（x2）0，所以函数f（x）在（2，+）单调递增，于是当x2，+）时，f（x）f（2）0，综上可得，a的取值范围是，+）【点评】本题考查利用导数研
28、究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题21直线Ln：y=x与圆Cn：x2+y2=2an+n交于不同的两点An，Bn数列an满足：a1=1，a n+1=|AnBn|2（1）求数列an的通项公式，（2）若bn=，求bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；直线与圆的位置关系 【专题】分类讨论；分类法；等差数列与等比数列；直线与圆【分析】（1）运用点到直线的距离公式和弦长公式，求得，再由等比数列的通项公式即可得到所求；（2）求出bn=，讨论n为奇数、偶数，运用分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求【解答】解：（1）圆心（0，0）到直线Ln的距离为dn=，半径，即，an
29、是以1为首项，2为公比的等比数列，；（2）bn=，n为偶数时，前n项和Tn=（b1+b3+bn1）+（b2+b4+bn）=1+5+7+（2n3）+（2+23+25+2n1）=（2n2）+=+；n为奇数时，综上可得，Tn=【点评】本题考查数列的通项的求法及数列的求和的方法，考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，同时考查直线和圆相交的弦长公式，考查分类讨论的思想方法，属于中档题22设函数f（x）=ax2lnx+b（x1）（x0），曲线y=f（x）过点（e，e2e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0（）求a，b的值；（）证明：当x1时，f（x）（x1）2；（）若当x1时，f（x）m（x1）
30、2恒成立，求实数m的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题 【专题】导数的综合应用【分析】（）求出函数的f（x），通过f（1）=a+b=0，f（e）=e2e+1，求出a，b（）求出f（x）的解析式，设g（x）=x2lnx+xx2，（x1），求出导数，二次求导，判断g（x）的单调性，然后证明f（x）（x1）2（）设h（x）=x2lnxxm（x1）2+1，求出h（x），利用（） 中知x2lnx（x1）2+x1=x（x1），推出h（x）3（x1）2m（x1），当时，当时，求解m的范围【解答】解：（）函数f（x）=ax2lnx+b（x1）（x0），可得f（x）=2alnx+a
31、x+b，f（1）=a+b=0，f（e）=ae2+b（e1）=a（e2e+1）=e2e+1a=1，b=1（）f（x）=x2lnxx+1，设g（x）=x2lnx+xx2，（x1），g（x）=2xlnxx+1（g（x）=2lnx0，g（x）在0，+）上单调递增，g（x）g（1）=0，g（x）在0，+）上单调递增，g（x）g（1）=0f（x）（x1）2（）设h（x）=x2lnxxm（x1）2+1，h（x）=2xlnx+x2m（x1）1，（） 中知x2lnx（x1）2+x1=x（x1），xlnxx1，h（x）3（x1）2m（x1），当32m0即时，h（x）0，h（x）在1，+）单调递增，h（x）h（1）=0，成立当3m0即时，h（x）=2xlnx（12m）（x1），（h（x）=2lnx+32m，令（h（x）=0，得，当x1，x0）时，h（x）h（1）=0，h（x）在1，x0）上单调递减h（x）h（1）=0，不成立综上，【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断参数的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力
