1、第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理双基自测知识点一平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_两点_在一个平面内，那么这条直线在这个平面内公理2：过_不共线_的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_有且只有一条_过该点的公共直线知识点二空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a知识点三异面直线所成角、平行公理及等角定理(1)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_锐角
2、或直角_叫做异面直线a与b所成的角范围：(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线_平行_(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_相等或互补_异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线用符号可表示为：若l，A，B，Bl，则直线AB与l是异面直线(如图)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)经过两条相交直线，有
3、且只有一个平面()(5)两两相交的三条直线共面()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()题组二走进教材2(必修2P52B组T1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(C)A30B45C60D90解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角又B1D1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60故选C3(必修2P45例2)如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA上的点，(1)若且，则E、F、G、H是否共面_共面_(2)若E、F、G、
4、H分别为棱AB、BC、CD、DA的中点，当AC，BD满足条件_ACBD_时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足条件_ACBD且ACBD_时，四边形EFGH为正方形题组三走向高考4(2019新课标)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则(B)ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线解析点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，M是线段ED的中点，BM平面BDE，EN平面BDE，BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE
5、中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，设DE a，则BDa，平面ECD平面ABCD，BEa，BMa，ENa，BMEN，故选B5(2017新课标)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(C)ABCD解析解法一：如图所示，补成四棱柱ABCDA1B1C1D1，连DC1、BD，则DC1AB1，BC1D即为异面直线AB1与BC1所成的角，由题意知BC1，BD，C1D，BCBD2C1D2，DBC190，cosBC1D故选C解法二：如图所示，分别延长CB，C1B1至D，D1，使BDBC，B1D1B1C1，连接DD1，B1D由题意知
6、，C1B綊B1D，则AB1D即为异面直线AB1与BC1所成的角连接AD，在ABD中，由AD2AB2BD22ABBDcosABD，得AD又B1DBC1，AB1，cosAB1D解法三：(理)(向量法)如图建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,0,1)，C1，从而(2,0,1)，记异面直线AB1与BC1所成角为，则cos ，故选C考点突破互动探究考点一平面基本性质的应用自主练透例1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三
7、点共线解析(1)证明：E，F分别为AB，AD的中点，EFBD在BCD中，GHBD，EFGHE，F，G，H四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC同理P平面ADCP为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线注：本题(2)可改为：求证GE、HF、AC三线共点名师点拨1证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线
8、在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合3证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点变式训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点解析(1)如图，连接EF，CD1，A1B因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EFA1B又A1BCD1，所以EFCD1，所以E，C，D1，F四点共面(2)因为EFCD1，EFCD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD同理
9、P平面ADD1A1又平面ABCD平面ADD1A1DA，所以P直线DA所以CE，D1F，DA三线共点考点二空间两条直线的位置关系师生共研例2 (1)(2019上海)已知平面、两两垂直，直线a、b、c满足：a，b，c，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系(B)A两两垂直B两两平行C两两相交D两两异面(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)解析(1)如图1，可得a、b、c可能
10、两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故选B(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错；取DD1中点E，连接AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填名师点拨1异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判
11、定中经常用到(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线2判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质(2)平行四边形的对边平行(3)平行线分线段成比例定理(4)公理：若ab，bc，则ac变式训练2(1)(2021甘肃诊断)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_3_对(2)(2021湘潭调研改编)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(C)ABCD解析(1)画出该正方体的直观图如图所示，其中异面直线有(AB，GH)，
12、(AB，GD)，(GH，EB)故共有3对故答案为3(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NHG，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H平面GMN，GMN因此GH与MN异面，故选C考点三异面直线所成的角师生共研例3 (1)(2021广西玉林模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点，则异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为(A)ABCD(2)(2021山东泰安模拟)如图，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，C
13、M所成的角的余弦值是(C)ABCD(3)若两条异面直线a、b所成角为60，则过空间一点O与两异面直线a、b所成角都为60的直线有_3_条解析(1)解法一：(平移法)如图，连接BE，BF、D1F，由题意知BED1F为平行四边形，D1EBF，异面直线D1E与A1F所成角为A1F与BF所成锐角，即A1FB，连接A1B，设AB2，则在A1BF中，A1B2，BF，A1F3，cosA1FB异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为故选A解法二：(理)(向量法)如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，异面直线D1E与A1F所成角为，则(2,1,0)，(2,1，2)，cos 故选A(2)连接ND，取ND
14、的中点E，连接ME，则MEAN，异面直线AN，CM所成的角就是EMC，AN2，MEEN，MC2，又ENNC，EC，cosEMC故选C(3)如图，过O分别作aa，bb，则a，b所成角为60，如图易知过O与a、b所成角都为60的直线有3条，即与a，b所成角都为60的直线有3条引申1本例(2)中MN与BD所成角的余弦值为_解析取CD的中点H，连DN，NH，MH，则NHBD，HNM为异面直线MN与BD所成的角，由题意知AN2，从而MN，又NHMH，cosHNM引申2本例(3)中与异面直线a、b所成角都为75的直线有_4_条注：与异面直线所成角都为，则(1)0时，0条；(2)时，1条；(3)时，2条；(
15、4)时，4条；(5)时，1条名师点拨求异面直线所成角的方法1平移法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角(3)三求：解三角形，求出所作的角注：为便于作出异面直线所成角，可用补形法，如将三棱柱补成四棱柱；注意余弦定理的应用2(理)向量法建立空间直角坐标系，利用公式|cos |求出异面直线的方向向量的夹角若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角变式训练3(1)(2021山西运城调研)如图，等边ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为(C)A
16、BCD(2)(2021黑龙江师大附中期中)直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABACAA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为(B)A30B60C90D120解析(1)取BC的中点O，连接OE，OD，D为AB的中点，ODAC，EDO即为DE与AC所成的角，由E为的中点得OEBC，又平面ABC平面BCE，OE平面ABC，从而OEOD，设正ABC的边长为2a，则ODaOE，cosEDOcos ，故选C(2)解法一：(平移法)在直三棱柱ABCA1B1C1中，连接A1C，A1CAC1O，则O为A1C的中点，取BC的中点H，连接OH，则OHA1B，AOH或其补角即为直线A1B与AC1所成的角设AB
17、ACAA11，则BC，易得AOAHOH，三角形AOH是正三角形，AOH60，即异面直线所成角为60故选B解法二：(理)(向量法)如图建立空间直角坐标系，不妨设AB1，A1B与AC1所成角为，则(1,0，1)，(0,1,1)，cos 60，故选B名师讲坛素养提升空间几何体的截面问题例4 (原创)E、F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，若AB6，则过A、E、F三点的截面的面积为_ 解析作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q，连AP交BC于M，连AQ交A1D1于N，连接NF、ME则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面由题意易知APAQ，PQ9，SAPQ，又M
18、EAQ，且，SMPESQNFSAPQ，SAMEFNSAPQ名师点拨作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理变式训练4(2021百师联盟联考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，用一个平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是_(1)(4)_(1)这两部分的表面积也相等(2)截面可以是三角形(3)截面可以是五边形(4)截面可以是正六边形解析平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则平面一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积也相等，根据对称性，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形(如图)故选(1)(4)
