1、第一章 三角函数 1 数列1.5 函数yAsin(x)的图象学 习 目 标1.理解参数 A、对函数 yAsin(x)的图象的影响(重点)2会用“五点法”画函数 yAsin(x)的简图；能根据 yAsin(x)的部分图象确定解析式(重点)3掌握 ysin x 与 yAsin(x)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤(重点、易混点)核 心 素 养 1.通过观察参数 A、对函数 yAsin(x)图象变化的影响，提升学生直观想象素养2通过对函数 yAsin(x)图象和性质的研究，提升数学抽象素养.自 主 预 习 探 新 知 1 对 ysin(x)，xR 的图象的影响2(0)对 ysin(x)的图
2、象的影响3A(A0)对 yAsin(x)的图象的影响4由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”先平移后伸缩ysin x 的图象向左0或向右0平移个单位长度的图象的图象纵坐标变为原来的_倍横坐标不变yAsin(x)的图象|ysin(x)ysin(x)A先伸缩后平移ysin x 的图象的图象向左(0)或 向 右(0),平 移 个 单 位 长 度 y sin(x )的 图 象纵坐标变为原来的_倍横坐标不变yAsin(x)的图象|Aysin x思考：由函数 ysin x 的图象平移多少个单位得到 ysin(x)个单位？为什么？提
3、示 平移|个单位，而不是平移|单位，原因是图象的变换是针对 x 而言，并非针对 x 而言 5函数 yAsin(x)，A0，0 中参数的物理意义1函数 ysin 4x 的图象可由函数 ysin x 的图象经过怎样的变换得到()A所有点的横坐标变为原来的 4 倍B所有点的横坐标变为原来的14C所有点的纵坐标变为原来的 4 倍D所有点的纵坐标变为原来的14B ysin x 图象上所有点的横坐标变为原来的14后变为 ysin 4x 的图象2要得到函数 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象()A向左平移 12个单位长度B向右平移 12个单位长度C向左平移3个单位长度D向右平移3个单
4、位长度B ysin4x3 sin 4x 12，故只需将 ysin 4x 图象向右平移 12个单位即可得到3函数 yAsin(x)1(A0，0)的最大值为 5，则 A.4 由已知得 A15，故 A4.4函数 y3sin12x6 的频率为，相位为，初相为14 12x6 6 频率为1T122 14，相位为12x6，初相为6.合 作 探 究 释 疑 难 作函数yAsin(x)的图象【例 1】用“五点法”画函数 y2sin3x6 在一个周期内的简图思路点拨：列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令 3x6取 0，2，32，2 即可找到五点 解 先画函数在一个周期内的图象令 X3x6，则
5、x13X6，列表如下：X02322 x 189518491118 y02020 1本例中把“一个周期内”改为“0，23”，又如何作图？解 x0，23，3x66，136，列表如下：3x662322136 x0951849111823 y120201 描点，连线 2本例中，把“五点法”改为“图象变换法”，怎样画法？解 法一：(先平移再伸缩)法二：(先伸缩再平移)1确定函数yAsin(x)的图象一般有两种方法：(1)“五点法”；(2)图象变换法2用“五点法”作函数yAsin(x)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点3用“五点法”作函数 yAsin(x)图象的步骤是：第一步
6、：列表：x02322 x2322 y0A0A0 第二步：在同一坐标系中描出各点第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象跟进训练 1已知 f(x)1 2sin2x4，画出 f(x)在2，2 上的图象解 列表：x23888382 2x45420234 f(x)211 211 22三角函数图象之间的变换【例 2】(1)将函数 y 2cos2x3 的图象向左平移3个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则所得图象的解析式为(2)将ysin x的图象怎样变换可得到函数y2sin2x4 1的图象？思路点拨：(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式(2)法一：ysin x纵坐标伸缩横坐标伸缩和平移向上平移
7、 法二：左右平移横坐标伸缩纵坐标伸缩上下平移(1)y 2cos 2x3 y 2cos2x3 的图象向左平移3个单位长度，得 y 2cos2x3 3 2cos(2x)2cos 2x，再向下平移 3 个单位长度得 y 2cos 2x3 的图象(2)解 法一：(先伸缩法)把 ysin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 y2sin x 的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得 y2sin 2x 的图象；将所得图象沿 x 轴向左平移8个单位，得 y2sin 2x8 的图象；将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，得 y2sin2x4 1 的图象 法二：(先平移法)将
8、 ysin x 的图象沿 x 轴向左平移4个单位，得 ysinx4 的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得 ysin2x4 的图象；把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来 2 倍，得到 y2sin2x4 的图象；将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，得 y2sin2x4 1 的图象1本例(2)中，若两个函数若互换，那么将函数 y2sin2x4 1 图象怎样变换可得到函数 ysin x 的图象？2本例(2)中把“ysin x”改为“ycos x”，该怎样变换？由 ysin x 的图象，通过变换可得到函数 yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条：(1)ysin x
9、相位变换 ysin(x)周期变换 ysin(x)振幅变换 yAsin(x)提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|个单位(2)是先周期变换后相位变换，平移|个单位，这是很易出错的地方，应特别注意跟进训练 2(1)要得到 ycos2x4 的图象，只要将 ysin 2x 的图象()A向左平移8个单位 B向右平移8个单位C向左平移4个单位D向右平移4个单位(2)把函数 yf(x)的图象上各点向右平移6个单位，再把横坐标伸长到原来的 2 倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是 y2sin12x3，则 f(x)的解析式是()Af(x)3co
10、s x Bf(x)3sin xCf(x)3cos x3Df(x)sin 3x(1)A(2)A(1)因为 ycos2x4 sin2x4 2 sin2x4 sin 2x8，所以将 ysin 2x 的图象向左平移8个单位，得到 ycos2x4 的图象 已知函数图象求解析式【例 3】(1)已知函数 f(x)Acos(x)BA0，0，|2的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为()Ay2cosx24 4By2cosx24 4Cy4cosx24 2Dy4cosx24 2(2)函数 f(x)Asin(x)中 A0，0，|2，且图象如图所示，求其解析式思路点拨：由最大(小)值求 A 和 B，由周期求，由
11、特殊点坐标解方程求.(1)A 由函数 f(x)的最大值和最小值得 AB6，AB2，所以 A2，B4，函数 f(x)的周期为22 44.又 0，所以 12，又因为点2，6 在函数 f(x)的图象上，所以 62cos122 4，所以 cos4 1，所以42k，kZ，所以 2k4，kZ，又|2，所以 4，所以 f(x)2cos12x4 4.(2)解 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅 A3，T56 6，所以 2，又由点6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)620 得 3，所以 f(x)3sin2x3.法二：(方程法)由图象知，振幅 A3，T56 6，所以 2，又图象过点6，0，所
12、以 f6 3sin26 0，所以 sin3 0，3k(kZ)又因为|2，所以 k0，3，所以 f(x)3sin2x3.法三：(变换法)由图象知，振幅 A3，T56 6，所以 2，且 f(x)Asin(x)是由 y3sin 2x 向左平移6个单位而得到的，解析式为 f(x)3sin2x6 3sin2x3.确定函数 yAsin(x)的解析式的关键是 的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，已知)或代入图象与 x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)(2)五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点，0 作为突破口“五点”的 x 的值具体
13、如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为 x2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 x；“第四点”(即图象的“谷点”)为 x32；“第五点”为 x2.跟进训练 3已知函数 f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的表达式为()Af(x)2sin32x4Bf(x)2sin23x29Cf(x)2sin32x54Df(x)2sin23x2518C 根据图象得 A2，34T56 6，可得 T43，2T 32，又 f(x)过点6，0，可得 2sin326 0，由五点作图法可得326，解得 54，所以 f(x)2sin32x54.故
14、选 C.三角函数图象与性质的综合应用 探究问题1如何求函数 yAsin(x)与 yAcos(x)的对称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于 x 轴 函数 yAsin(x)对称轴方程的求法：令 sin(x)1，得xk2(kZ)，则 x2k122(kZ)，所以函数 yAsin(x)的图象的对称轴方程为 x2k122(kZ)；函数 yAcos(x)对称轴方程的求法：令 cos(x)1，得xk(kZ)，则 xk(kZ)，所以函数 yAcos(x)的图象的对称轴方程为 xk(kZ)2如何求函数 yAsin(x)与 y
15、Acos(x)的对称中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数 yAsin(x)和 yAcos(x)图象的对称中心即函数图象与 x 轴的交点 函数 yAsin(x)对称中心的求法：令 sin(x)0，得 xk(kZ)，则 xk(kZ)，所以函数 yAsin(x)的图象关于点k，0(kZ)成中心对称；函数 yAcos(x)对称中心的求法：令 cos(x)0，得 xk2(kZ)，则 x2k122(kZ)，所以函数 yAcos(x)的图象关于点2k122，0(kZ)成中心对称【例 4】(1)已知函数 f(x)sinx3(0)，若 f6 f3，且f(x)在区间6，3 上有最小值，无最大值，则()A.2
16、3 B.143 C.263 D.383(2)已知函数 f(x)sin(x)(0,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M34，0 对称，且在区间0，2 上是单调函数，求 和 的值思路点拨：(1)先由题目条件分析函数 f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求 的值(2)先由奇偶性求，再由图象的对称性和单调性求.(1)B 因为 f6 f3，所以直线 x632 4是函数 f(x)图象的一条对称轴 又因为 f(x)在区间6，3 上有最小值，无最大值，所以当 x4时，f(x)取得最小值 所以432k2，kZ，解得 8k103(kZ)又因为 T2 366，所以 12.又因为 0，所以 k1，即 8
17、103 143.(2)解 由 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)，即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，f(x)在 x0 时取得最值，即 sin 1 或1.依题设 0，解得 2.由 f(x)的图象关于点 M 对称，可知 sin34 2 0，即34 2k，解得 4k3 23，kZ.又 f(x)在0，2 上是单调函数，所以 T，即2.2，又 0，k1 时，23；k2 时，2.故 2，2 或23.1将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点 M34，0 对称，且在区间0，2 上是单调函数”改为“在区间32，2 上为增函数”，试求 的最大值解 因为f(x)是奇函数，所以f(0)sin 0，又
18、0，所以0.因为f(x)sin x在 2，2 上是增函数 所以32，2 2，2，于是0，32 22 2，解得013，所以的最大值为13.2本例(2)中增加条件“1”，求函数 yf2(x)sin 2x，x8，8 的最大值解 由条件知 f(x)sin2x2 cos 2x.由 x8，8 得 2x4，4，sin 2x 22，22，y f2(x)sin 2x cos22x sin 2x 1 sin22x sin 2x sin 2x12254.所以当 sin 2x12时，ymax54.1正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数 yAsin(x)和余弦型函数 yAcos(x)不一定具备奇偶性对于函数 yA
19、sin(x)，当 k(kZ)时为奇函数，当 k2(kZ)时为偶函数；对于函数 yAcos(x)，当 k(kZ)时为偶函数，当 k2(kZ)时为奇函数2与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)确定函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将 x 看作一个整体，可令“zx”，即通过求 yAsin z 的单调区间而求出函数的单调区间若 0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间课 堂 小 结 提 素 养 1利用“五点”作图法作函数 yAsin(x)的图象时，要先令“x”这一个整体依次取 0、2、
20、32、2，再求出 x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定 x 的值，后求“x”的值2由函数 yAsin(x)的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A、的值(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为 T2，所以往往通过求得周期 T 来确定，可通过已知曲线与 x 轴的交点从而确定 T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 T.(3)从寻找“五点法”中的第一个零点，0(也叫初始点)作为突破口，以 yAsin(x)(A0，0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点3在研究 yAsin(
21、x)(A0，0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如，它在 x22k(kZ)时取得最大值，在 x32 2k(kZ)时取得最小值1下列判断正确的是()A将函数 ysinx8 的图象向右平移8个单位可得到函数 ysin x 的图象B将函数 ysin 3x 的图象上所有点的横坐标变为原来的 3 倍即可得到函数 ysin x 的图象C将函数 ysinx6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，得到函数 ysin12x 12 的图象D函数 ysin4x6 的图象是由函数 ysin 4x 的图象向右平移6个单位得到的B A 错，应该向左平移8个单位；C 错，横坐标伸长到原来的2 倍，得到 ysin12x
22、6；D 错，应该向右平移 24个单位，只有 B 正确2函数 y13sin13x6 的周期、振幅、初相分别是()A3，13，6 B6，13，6C3，3，6D6，3，6B y13sin13x6 的周期 T2136，振幅为13，初相为6.3函数 f(x)sin(x)1(0，|2)的部分图象如图所示，将 f(x)的图象向右平移4个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则 g(x)()Asin2x23 Bsin2x3Csin2x23 1Dsin2x3 1D 由函数 f(x)sin(x)1 的部分图象知，f(0)sin 132，sin 12，|2，6，又 f6 sin66 12，sin66 1，0，2；f(
23、x)sin2x6 1；将 f(x)的图象向右平移4个单位长度，得函数 g(x)的图象，则 g(x)sin2x4 6 1sin2x3 1.故选 D.4已知函数 y2sin(2x)02 的一条对称轴为 x6，则 的值为_6 x6是函数 y2sin(2x)02 的一条对称轴，262k，kZ.则 6k，kZ.又 02，取 k0，得 6.故答案为6.5已知函数 f(x)3sinx26 3(xR)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象解(1)列表：x3235383113 x2602322 f(x)36303(2)描点画图：点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
