1、一元二次不等式专题知识点一一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)(2)计算相应的 .(3)当 时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与x轴的 确定一元二次不等式的解集不含参数的不等式例1解不等式3x22x20 跟踪练习解下列不等式(1)2x25x30；(4)x26x100. (5) x22x30； (6)x23x40；(7)4x220x25；(8)(x3)(x7)0； (9)3x25x40；(10)x(1x)x(2x3)1. (11)9x26x10, (12)x23x40；(13) x22x150；
2、(14)x23x50； (15)4(2x22x1)x(4x).含参数的不等式例2 解下列关于x的不等式：(1)ax2(a1)x10(a0)；(2)x22ax20(aR)；跟踪练习解下列不等式（1）ax2(a1)x10) （2）12x2axa2(aR) （3）x2(a1)xa0 （4）x22ax20(aR) （5）ax222xax(a0) （6）ax2(a1)x10. (8)x2ax2a2a2(aR) （10）x2ax2a2000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有 实根x1，x2(x10(a0)的解集 x|xR且_xx1_ _ax2bxc0)的解集x|_x1x0的解集是，求不等式x
3、2bxa0的解集.解：(1)不等式ax2bx10的解集是，ax2bx10的解是x1和x2，且a0，解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.跟踪练习1.一元二次方程ax2bxc0的根为2，1，则当a0时，不等式ax2bxc0的解集()Ax|x2 Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|1x22.若不等式ax25x20的解集是，则a的值为( )AB2 C2 D3.方程x2(m3)xm0有两个正实根，则m的取值范围是( )A0m1 B0m1C00的解集为，则a，c的值分别为()Aa6，c1 Ba6，c1Ca1，c1 Da1，c65.在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实
4、数x的取值范围为()A(0，2) B(2，1) C(，2)(1，) D(1，2)6.关于x的不等式(axb)(x3)0的解集为( )A(，1) B(1，)C(，1) D(1，)7.若不等式mx22mx42x24x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是( )Am2或m2B2m2C20的解集为R，则实数m的取值范围是( )A(2，) B(，2)C(，0)(2，) D(0，2)10.若不等式ax2bx20的解集为x|x，则( )A B C D11.已知关于x的不等式ax25xb0的解集为x|3x2，则关于x的不等式bx25xa0的解集为( )A. B.Cx|3x2 Dx|x3或x212.满足关于x
5、的不等式(axb)(x2)0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是( )A(2，1) B(3，6) C(2，4) D13.已知关于x的不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，则实数a的取值范围是( )A2a B2a C2a0，则关于x的不等式(mx)(nx)0的解集是( )Ax|xm Bx|nxmCx|xn Dx|mx0的解集是，则ab_ _.16.若关于x的不等式0的解集为(，1)(4，)，则实数a_ _.17.不等式(m1)x2(1m)xm0对任意实数x都成立，求实数m的取值范围_ _18.若不等式x2mx10的解集为R，则m的取值范围是_ _19.已知x1在不等
6、式k2x26kx80的解集内，则k的取值范围是_ _20.若1a0，则关于x的不等式(ax)0的解集是_21.已知定义在R上的运算“”： xyx(1y)，关于x的不等式(xa)(xa)0.(1)当a2时，不等式的解集为_；(2)若任意x0，1，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_22.若不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则x的取值范围为_25已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B(1)求AB；(2)若不等式x2axb0的解集为AB，求不等式ax2xb0的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax25xa210的解集27.若关于x的一元二次不等式ax2bxc0的
7、解集28.已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|x，其中0，a0的解集29.已知一元二次函数yax2(b8)xaab，且y0的解集为x|3x2(1)求一元二次函数的解析式；(2)当关于x的不等式ax2bxc0的解集为R时，求c的取值范围30.已知函数yx22axa2，aR.(1)若方程y0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；(2)若不等式y1ax对任意的xR恒成立，求实数a的取值范围31.对于不等式(2tt2)x23x23t2，试求对区间0,2上的任意x都成立的实数t的取值范围32.若不等式(1a)x24x60的解集是x|3x1(1)解不等式2x2(2a)xa0；(2)b为何值时
8、，ax2bx30的解集为R?三、分式不等式的解法分式不等式的解法(1)0(0(0).(2)0(0)解下列不等式(1).0； (2)1. (3)0；（4）2 （6）0.（7） 3 （8）2 (9)2 (11)0 （12）20四、高次不等式的解法解一元高次不等式f(x)0(或f(x)0x0，x40x20等)；(4)写解集：记数轴上方为正，下方为负，根据不等号的方向，写出不等式的解集解下列不等式(1) 0 (2)(x2)(x2x12)0(2) (x22x3)(x1)(8x24)0 （4） (5) (6)（7） （8）(9) (10)0一元二次不等式专题知识点一一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边
9、化为零，左边化为二次项系数_大于_零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)(2)计算相应的_判别式_.(3)当_0_时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与x轴的_交点_确定一元二次不等式的解集不含参数的不等式例1解不等式3x22x20解：令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为.跟踪练习解下列不等式(1)2x25x30；(4)x26x100. (5) x22x30； (6)x23x40；(7)4x220x25；(8)(x3)(x7)0； (9)3x25x40；(10)x(1x)x(2x3)1. (11)9x26x10, (12)x23x40；(14)
10、x22x150；(14)x23x50； (15)4(2x22x1)x(4x).答案：(1). (2). (3). (4)(5)R, (6)x|4x1, (7)，(8)x|3x7，(9)R, (10),(11)(12)x|4x1, (13)x|x3;(14)R, (15).含参数的不等式例2 解下列关于x的不等式：(1)ax2(a1)x10(a0)；(2)x22ax20(aR)；解：(1)若a0，则原不等式等价于(x1)0，解得x或x1.解集为(1，)(2)对于方程x22ax20，因为4a28，所以当0，即a时，x22ax20无实根又二次函数yx22ax2的图象开口向上，所以原不等式的解集为；当
11、0，即a时，x22ax20有两个相等的实根，当a时，原不等式的解集为x|x，当a时，原不等式的解集为x|x；当0，即a或a时，x22ax20有两个不相等的实根，分别为x1a，x2a，且x1x2，所以原不等式的解集为x|axa综上，当a或a时，解集为x|axa；当a时，解集为x|x；当a时，解集为x|x；当a时，解集为.跟踪练习解下列不等式（1）ax2(a1)x10) （2）12x2axa2(aR) （3）x2(a1)xa0 （4）x22ax20(aR) （5）ax222xax(a0) （6）ax2(a1)x10. (8)x2ax2a2a2(aR) （10）x2ax2a20.答案：（1）当0a1
12、时，不等式的解集为（2）当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为（3）当a1时，不等式的解集为x|1xa，当a1时，不等式的解集为x|ax1，当a1时，不等式的解集为（4）当a时，原不等式的解集为；当a时，原不等式的解集为x|x；当a时，原不等式的解集为x|x；当a或a时，原不等式的解集为x|axa（5）当2a0时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为x|x1；当a2时，原不等式的解集为.（6）当a1；当0a1时，不等式的解集为.（7）当a0时，不等式的解集为x|x；当1a0时，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为；当a0
13、时，x|ax2a；当a0时，x|2ax0时，不等式的解集为x或x；当a0时，不等式的解集为x|xR，且x0；当a0，则ax2a，此时不等式的解集为x|ax2a; 若a0，则2axa，此时不等式的解集为x|2axa; 若a0，则原不等式即为x2000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有_两相异_实根x1，x2(x10(a0)的解集x|_xx2或xx1_x|xR且_xx1_R_ax2bxc0)的解集x|_x1x0的解集是，求不等式x2bxa0的解集.解：(1)不等式ax2bx10的解集是，ax2bx10的解是x1和x2，且a0，解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.
14、跟踪练习1.一元二次方程ax2bxc0的根为2，1，则当a0时，不等式ax2bxc0的解集(D)Ax|x2 Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|1x22.若不等式ax25x20的解集是，则a的值为(C)AB2C2 D3.方程x2(m3)xm0有两个正实根，则m的取值范围是(C)A0m1 B0m1C00的解集为，则a，c的值分别为(B)Aa6，c1Ba6，c1Ca1，c1Da1，c65.在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为(B)A(0，2) B(2，1) C(，2)(1，) D(1，2)6.关于x的不等式(axb)(x3)0的解集为(A)A(，1) B(1，)C
15、(，1) D(1，)7.若不等式mx22mx42x24x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是(C)Am2或m2B2m2C20的解集为R，则实数m的取值范围是(D)A(2，) B(，2)C(，0)(2，) D(0，2)10.若不等式ax2bx20的解集为x|x，则(A)A B C D11.已知关于x的不等式ax25xb0的解集为x|3x2，则关于x的不等式bx25xa0的解集为(A)A. B.Cx|3x2 Dx|x3或x212.满足关于x的不等式(axb)(x2)0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(D)A(2，1) B(3，6) C(2，4) D13.已知关于x的不等
16、式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，则实数a的取值范围是(A)A2a B2a C2a0，则关于x的不等式(mx)(nx)0的解集是(B)Ax|xm Bx|nxmCx|xn Dx|mx0的解集是，则ab_-14_.16.若关于x的不等式0的解集为(，1)(4，)，则实数a_4_.17.不等式(m1)x2(1m)xm0对任意实数x都成立，求实数m的取值范围_m1_18.若不等式x2mx10的解集为R，则m的取值范围是_2m0.(1)当a2时，不等式的解集为_x|1x2_；(2)若任意x0，1，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_a1_22.若不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则x的
17、取值范围为_x3_25已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B(1)求AB；(2)若不等式x2axb0的解集为AB，求不等式ax2xb0的解集解：(1)由x22x30，得1x3，A(1,3)由x2x60，得3x2，B(3,2)，AB(1,2)(2)由题意，得，解得.x2x20，不等式x2x20的解集为R.26.若不等式ax25x20的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax25xa210的解集解：(1)由题意知a0，即为2x25x30，即2x25x30，解得3x0的解集为.27.若关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集解：由题意知所以代入不等式cx2bxa0中得a
18、x2axa0(a0).即x2x10，化简得x25x60，所以所求不等式的解集为x|3x0的解集为x|x，其中0，a0的解集解、为方程ax2bxc0的两根，.a0同解变形为x2x10.由根与系数的关系将、代入，得x2()x10.即0，由0.所以不等式cx2bxa0的解集为.29.已知一元二次函数yax2(b8)xaab，且y0的解集为x|3x2(1)求一元二次函数的解析式；(2)当关于x的不等式ax2bxc0的解集为R时，求c的取值范围解：(1)因为y0的解集为x|3x2，所以3，2是方程ax2(b8)xaab0的两根，所以解得所以y3x23x18.(2)因为a30，所以一元二次函数y3x25x
19、c的图象开口向下，要使3x25xc0的解集为R，只需0，即2512c0，所以c.所以当c时，3x25xc0的解集为R.30.已知函数yx22axa2，aR.(1)若方程y0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；(2)若不等式y1ax对任意的xR恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为方程y0，即x22axa20有两个小于2的不等实根，所以即所以a1，故实数a的取值范围为(，1)(2)由y1ax可得x22axa21ax，所以x2axa30对任意xR恒成立，所以a24(a3)0，即a24a120，解得2a6.故实数a的取值范围为2，631.对于不等式(2tt2)x23x23t2，试求对区间0
20、,2上的任意x都成立的实数t的取值范围解：设yx23x2，x0,2y2，x0,2当x时，ymin；当x0时，ymax2.不等式(2tt2)x23x23t2对一切x0,2恒成立等价于：，即.化简得，解得1t1.32.若不等式(1a)x24x60的解集是x|3x1(1)解不等式2x2(2a)xa0；(2)b为何值时，ax2bx30的解集为R?解：(1)由题意知1a0，且3和1是方程(1a)x24x60的两根，解得a3.不等式2x2(2a)xa0，即为2x2x30解得x1或x.所求不等式的解集为.(2)ax2bx30，即为3x2bx30，若此不等式解集为R，则b24330，6b6.三、解分式不等式答案：（1）x|2x3 (4)x|1x1,(5)(1，0)(1，)（6）(，3)(2，)（7）（8）x|x2 (9)，（10）x|1x4,(11)1，3)，（12）四、高次不等式的解法答案：（1）x|x2（2）x|3x4（3）x|x3或x1或x3（4）x|（5）x|（6）x|-1x5（7）（8）x|（9）x|（10）
