1、2015-2016学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=1，0，1，B=x|1x1，则AB=（）A0B1，0C0，1D1，0，12若1+（a2）i是实数，则等于（）A12iB1+2iC1+2iD2+i3已知=（2x，1），=（4，2），若，则x的值为（）ABC1D14已知等差数列an的前n项和为Sn，a1+a5=0，且a9=20则S11=（）A260B220C130D1105记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2ax+2b=0有两个不同实根的概率为（）ABCD6下列四个命题中，正确的有（）（注：表示存在，表示任意）
2、两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；命题p：“x0R，xx010”的否定p：“xR，x2x10”；在ABC中，“A60”是“cosA”的充要条件若a=0.32，b=20.3，c=log0.32，则cabABCD7设函数f（x）=，若f（x）1成立，则实数x的取值范围是（）A（，2）B（，+）C（2，）D（，2）（，+）8如图，定义某种运算S=ab，运算原理如图所示，则式子（2tan）lne+lg100（）1的值为（）A11B13C8D49已知函数y=tanx（0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为，则函数f（x）=3sin（x）的单调增区间是（）Ak，k（
3、kZ）B2k，2k（kZ）Ck+，k（kZ）D2k，2k（kZ）10若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）ABCD611已知抛物线y2=4x与椭圆x2+=1（a1）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若AFB=120，则椭圆的离心率为（）ABCD12定义域为a，b的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1）b，0，1已知向量=+（1），若不等式|k恒成立，则称函数f（x）在a，b上“k阶线性近似”，若函数y=x在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）A1，+）B+1，+）C32，+）
4、D3+2，+）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若数列an满足：a1=1，an+1=2an（nN+），则其前7项的和S7=14已知变量x，y满足线性约束条件，若线性目标函数z=axy（a1）的最大值为5，则实数a的值为15已知函数f（x）=x（xa）（xb）+sinx的导函数为f（x），且曲线y=f（x）在x=0处的切线斜率为3，则a2+2b2的最小值为16抛物线C：x2=ay（a0）的焦点与双曲线E：x22y2=2的右焦点的连线交C于第一象限内的点M，若C在点M处的切线平行于E的一条渐近线，则实数a=三、解答题（共6小题，满分70分）17设函数f（x）=|x3|+|x+7|（
5、1）解不等式：f（x）16；（2）若存在x0R，使f（x0）a，求实数a的取值范围18在ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足2bccosA=a2（b+c）2（）求角A的大小；（）若，ABC的面积为；求b，c19为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15，25）a0.5第2组25，35）18x第3组35，45）b0.9第4组45，55）90.36第5组55，653y（）分别求出a，b，x，y的值；（）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样
6、的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（）在（）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率20如图所示，圆柱的高为2，底面半径为，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC，四边形ABCD是正方形，EOAB（）求证BCBE；（）求四棱锥EABCD的体积21如图所示：已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B（1）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；（2）设点O为坐标原点，问是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）=exkx（1）若k0，且对
7、于任意x0，+），f（x）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）设函数F（x）=f（x）+f（x）， 求证：lnF（1）+lnF（2）+lnF（n）（en+1+2）（nN+）2015-2016学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=1，0，1，B=x|1x1，则AB=（）A0B1，0C0，1D1，0，1【考点】交集及其运算【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集【解答】解：A=1，0，1，B=x|1x1，AB=1，0故选B2若1+（a2）i是实数，则等于（）A12iB1+2iC1+2iD2+i【
8、考点】复数代数形式的混合运算【分析】根据复数的四则运算进行计算即可【解答】解：1+（a2）i是实数，a2=0，即a=2=，故选：A3已知=（2x，1），=（4，2），若，则x的值为（）ABC1D1【考点】平行向量与共线向量【分析】利用向量共线列出方程求解即可【解答】解： =（2x，1），=（4，2），若，可得4=4x，解得x=1故选：C4已知等差数列an的前n项和为Sn，a1+a5=0，且a9=20则S11=（）A260B220C130D110【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1+a5=0，且a9=20，解得
9、a1=，d=则S11=+=110故选：D5记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2ax+2b=0有两个不同实根的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】所有的（a，b）共有66=36个，用列举法求得故满足条件的（a，b）有9个，由此求得方程x2ax+2b=0有两个不同实根的概率【解答】解：所有的（a，b）共有66=36个，方程x2ax+2b=0有两个不同实根，等价于=a28b0，故满足条件的（a，b）有（3，1）、（4，1）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），共9个，故方程x2ax+2b=0有两个不同实根的概率为=，故
10、选B6下列四个命题中，正确的有（）（注：表示存在，表示任意）两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；命题p：“x0R，xx010”的否定p：“xR，x2x10”；在ABC中，“A60”是“cosA”的充要条件若a=0.32，b=20.3，c=log0.32，则cabABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据相关系数的定义可判断；存在命题的否定，存在改为任意，再否定结论即可；根据函数的单调性判断即可；a=0.321，b=20.31，c=log0.320，直接判断【解答】解：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故错误；命题p：“x0R，xx0
11、10”的否定p：“xR，x2x10”，故错误；在ABC中，0A，余弦函数递减，故A60”是“cosA”的充要条件，故正确；若a=0.321，b=20.31，c=log0.320，则cab，故正确故选：C7设函数f（x）=，若f（x）1成立，则实数x的取值范围是（）A（，2）B（，+）C（2，）D（，2）（，+）【考点】一元二次不等式的应用【分析】根据函数f（x）是分段函数的形式，对x进行分类讨论：当x1时，f（x）=（x+1）2，当x1时，f（x）=2x+2，分别解f（x）1最后综合得实数x的取值范围【解答】解：当x1时，f（x）=（x+1）2，f（x）1即：（x+1）21，解得：x0或x2，
12、故x2；当x1时，f（x）=2x+2，f（x）1即：2x+21，解得：x，故x；综上所述，实数x的取值范围是（，2）（，+）故选D8如图，定义某种运算S=ab，运算原理如图所示，则式子（2tan）lne+lg100（）1的值为（）A11B13C8D4【考点】程序框图【分析】根据程序框图可得，当ab时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），比较2tan与lne，lg100与（）1的大小，即可求解得到答案【解答】解：2tan=2，而lne=1，（2tan）lne=（2tan）（lne+1）=22=4，lg100=2，（）1=3，lg100（）1=（）1（lg100+1）=33=9，故（2t
13、an）lne+lg100（）1的值为4+9=13故选：B9已知函数y=tanx（0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为，则函数f（x）=3sin（x）的单调增区间是（）Ak，k（kZ）B2k，2k（kZ）Ck+，k（kZ）D2k，2k（kZ）【考点】正弦函数的单调性【分析】由条件利用正切函数的周期性求得，再根据正弦函数的增区间，求得f（x）的增区间【解答】解：由题意可得=，=1，函数f（x）=3sin（x）令2kx2k+，求得x2k，2k，kZ，故选：B10若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）ABCD6【考点】由三视图求面积、体积【
14、分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高、底面正三角形的边长已知，故可求体积【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的边长是故三棱柱体积V=故选B11已知抛物线y2=4x与椭圆x2+=1（a1）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若AFB=120，则椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质【分析】先根据题意画出图形，再由椭圆和抛物线的对称性，求出AFD=60，由抛物线y2=4x（p0）求焦点F坐标，再设AF=2m，利用三角函数用m表示出AD和FD，再根据点F得位置进行分类，表示出A的坐标，代入抛物线和椭圆方程求出m和a的值，再由a、b
15、、c和定义求得椭圆的离心率【解答】解：由题意画出如图形如下：设AB于x轴的交点是D，y2=4x，焦点F（1，0），由椭圆和抛物线的对称性得，ABx轴，AFD=60，设AF=2m（m0），在RTAFD中，FD=m，AD=m，（1）当点F在椭圆的内部时，由图得A（1+m， m），代入y2=4x得，3m24m4=0，解得，m=2或（舍去），则A（3，2），把点A代入x2+=1，解得：无解；（2）当点F在椭圆的外部时，由图得有A（1m， m），代入y2=4x得，3m2+4m4=0，解得，m=或2（舍去），则A（，），把点A代入x2+=1，解得a2=，故c2=a21=，e=故选A12定义域为a，b的函数
16、y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1）b，0，1已知向量=+（1），若不等式|k恒成立，则称函数f（x）在a，b上“k阶线性近似”，若函数y=x在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）A1，+）B+1，+）C32，+）D3+2，+）【考点】函数与方程的综合运用【分析】先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，|k恒成立，即|maxk，由N在AB线段上，得A（1，1），B（2，1），直线AB方程为y=2（x1）1|=|y1y2|=|x2（x1）+1|=|x+3|，x1，2，x
17、+2，3x+323，0|max=32k32故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若数列an满足：a1=1，an+1=2an（nN+），则其前7项的和S7=127【考点】等比数列的前n项和【分析】判断数列是等比数列，然后求解其前7项的和S7【解答】解：数列an满足：a1=1，an+1=2an（nN+），数列是等比数列，公比为2前7项的和S7=127故答案为：12714已知变量x，y满足线性约束条件，若线性目标函数z=axy（a1）的最大值为5，则实数a的值为2【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出A的坐标，由z=axy得：y=axz，结合函数的图象显然直线y
18、=axz过A（4，3）时，z最大，求出a的值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：，由z=axy得：y=axz，显然直线y=axz过A（4，3）时，z最大，此时，5=4a3，解得：z=2，故答案为：215已知函数f（x）=x（xa）（xb）+sinx的导函数为f（x），且曲线y=f（x）在x=0处的切线斜率为3，则a2+2b2的最小值为4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，可得ab=2，再由基本不等式计算即可得到所求最小值【解答】解：函数f（x）=x（xa）（xb）+sinx的导函数为：f（x）=3x22（a+b）x+ab+cos
19、x，y=f（x）在x=0处的导数为ab+cos0=ab+1，由题意可得ab+1=3，即ab=2，则a2+2b22=4，当且仅当a=b时取得最小值4故答案为：416抛物线C：x2=ay（a0）的焦点与双曲线E：x22y2=2的右焦点的连线交C于第一象限内的点M，若C在点M处的切线平行于E的一条渐近线，则实数a=【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与a的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得a的值【解答】解：由抛
20、物线C：x2=ay（a0），可得焦点坐标为F（0，）由双曲线E：x22y2=2得a=，b=1，c=1所以双曲线的右焦点为（1，0）则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为ax+4ya=0设该直线交抛物线于M（x0，），则C在点M处的切线的斜率为由题意可知=，得x0=a，代入M点得M（a， a）把M点代入得：aa+4aa=0解得a=故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分）17设函数f（x）=|x3|+|x+7|（1）解不等式：f（x）16；（2）若存在x0R，使f（x0）a，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）根据绝对值的意义求出方程的根即可；（2）将f（x）
21、写成分段函数的形式，从而求出f（x）的最小值，进而求出a的范围即可【解答】解：（1）利用数形结合易知：方程|x3|+|x+7|=16的两根为x1=10，x2=6，不等式f（x）=|x3|+|x+7|16的解集为（10，6），注：用零点分段法亦可（2）f（x）=|x3|+|x+7|=，当x7，3时，f（x）min=10；依题意知：实数a的取值范围为a10，即a（10，+）18在ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足2bccosA=a2（b+c）2（）求角A的大小；（）若，ABC的面积为；求b，c【考点】余弦定理【分析】（）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式中变形，求角A的大小；（）
22、利用三角形的面积公式列出关系式，将sinA以及已知面积代入求bc的值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，将a，bc及cosA的值代入求出b+c的值，联立即可求出b与c的值【解答】解：（）由余弦定理得a2=b2+c22bccosA，代入2bccosA=a2（b+c）2，得：2bccosA=b2+c22bccosA（b+c）2，整理得：4bccosA=2bc，cosA=，0A，A=；（）a=4，S=4，S=bcsinA=bc=4，即bc=16，利用余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即48=b2+c2+16，b2+c2=32，（b+c）2=b2+c2+2bc=64，即b+c=
23、8，联立，解得：b=c=419为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15，25）a0.5第2组25，35）18x第3组35，45）b0.9第4组45，55）90.36第5组55，653y（）分别求出a，b，x，y的值；（）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（）在（）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图【分析】（I）由频率表中
24、第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（III）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算【解答】解：（）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，a=1000.01100.5=5，b=1000.03100.9=27，；（）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第
25、3组：人；第4组：人（）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：20如图所示，圆柱的高为2，底面半径为，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC，四边形ABCD是正方形，
26、EOAB（）求证BCBE；（）求四棱锥EABCD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）根据线面垂直的性质证明BC面ABE，即可得到BCBE；（）根据锥体的体积公式即可求四棱锥EABCD的体积【解答】解：（）AE是圆柱的母线，AE下底面，又BC下底面，AEBC又截面ABCD是正方形，BCAB，又ABAE=ABC面ABE，又BC面ABE，BCBE （）母线AE垂直于底面，AE是三棱锥ABCE的高，由（）知BC面ABE，BC面ABCD，面ABCD面ABE，又面ABCD面ABE=AB，EO面ABE，EOAB，E0面ABCD，即EO就是四棱锥EABCD的高设正方
27、形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，BE=，又BCBE，EC为直径，即EC=2，在RtBEC中，EC2=BE2+BC2，即，x=4SABCD=44=16，VEABCD=21如图所示：已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B（1）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；（2）设点O为坐标原点，问是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】（1）圆N的圆心N为（2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），设l的方程，利用直线l是圆N的切线，求得m的值，从而可得直线l
28、的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长|AB|；（2）假设存在符合题意的直线l，依题意可设直线l的方程为x=ty+n（n0），利用直线与圆相切，结合韦达定理，即可得出结论【解答】解：因为圆N：（x+2）2+y2=8，所以圆心N为（2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）当直线l的斜率为1时，设l的方程为y=x+m即xy+m=0因为直线l是圆N的切线，所以=2，解得m=2或m=6（舍），此时直线l的方程为y=x2，由消去x得y22y4=0，所以0，y1+y2=2，y1y2=4，所以弦长|AB|=2（2）假设存在符合题意的直线l，依题意可设直线l的方程为x=
29、ty+n（n0）直线l与圆N相切，=2，（n+2）2=8（1+t2），x1x2+y1y2=0而x1=ty1+n，x2=ty2+n（1+t2）y1y2+tn（y1+y2）+n2=0由，y22ty2n=0，y1+y2=2t，y1y2=2n把代人得：2n（1+t2）+tn2t+n2=0又n0，n=2把n=2代人得：t=1；此时l的方程为：x=y+2故存在符合题意的直线l的方程为xy2=022已知函数f（x）=exkx（1）若k0，且对于任意x0，+），f（x）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）设函数F（x）=f（x）+f（x）， 求证：lnF（1）+lnF（2）+lnF（n）（en+1+2）（
30、nN+）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）方法一、求出f（x）的导数和极值点，讨论当k（0，1时，当k（1，+）时，求出单调性和极值、最值，结合恒成立思想，即可判断k的范围；方法二、当x=0时，不等式显然成立；当x0时，运用参数分离，可得k在x0恒成立求出y=的导数和单调区间，可得最小值，即可得到k的范围；（2）求出F（x）的解析式，可得lnF（x1）+lnF（x2）=ln（ex1+ex1）（ex2+ex2），运用基本不等式和不等式的性质可得（ex1+ex1）（ex2+ex2）e+2，即有lnF（1）+lnF（n）ln（en+1+2），lnF（2）+lnF（n1）ln（en
31、+1+2），lnF（n）+lnF（1）ln（en+1+2），再相加，即可得证【解答】解：（1）方法一、由f（x）=exkx的导数为f（x）=exk，由f（x）=0，可得x=lnk，当k（0，1时，f（x）=exk1k0（x0）此时f（x）在0，+）上单调递增故f（x）f（0）=10，符合题意当k（1，+）时，lnk0当x变化时f（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+）f（x）0+f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在0，+）上，f（x）f（lnk）=kklnk依题意，kklnk0，又k1，即1ke综合，得，实数k的取值范围是0ke方法二、由 k0，且对于任意x
32、0，+），f（x）0恒成立，可得exkx0对x0，+）恒成立当x=0时，10显然成立；当x0时，有k恒成立由y=的导数为y=，当x1时，函数y=递增；当0x1时，函数y=递减可得x=1处，函数y=取得最小值，且为e即有0ke综上可得k的范围是（0，e）（2）证明：由F（x）=f（x）+f（x）=ex+ex0，可得lnF（x1）+lnF（x2）=ln（ex1+ex1）（ex2+ex2），又（ex1+ex1）（ex2+ex2）=e+e+e+ee+e+2e+2，即有lnF（1）+lnF（n）ln（en+1+2），lnF（2）+lnF（n1）ln（en+1+2），lnF（n）+lnF（1）ln（en+1+2），相加可得：2lnF（1）+lnF（2）+lnF（n）=lnF（1）+lnF（n）+lnF（2）+lnF（n）+lnF（n）+lnF（1）nln（en+1+2），故lnF（1）+lnF（2）+lnF（n）（en+1+2）（nN+）成立2016年9月5日
