1、3.2.2 双曲线的简单几何性质题型一 双曲线的离心率或渐近线【例1】（1）（北京牛栏山一中高二期中）双曲线的渐近线方程是_；离心率是_.（2）（全国高二课时练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）AB2C或2D【题型专练】1（富宁县第一中学高二月考（文）若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD2（山西晋中（理）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另外一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD3（全国高二课时练习）设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）ABC
2、D题型二 直线与双曲线的位置关系【例2】（1）（全国高二课时练习）等轴双曲线x2y2a2与直线yax(a0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）Aa1B0a1Da1（2）（河北邢台高二开学考试）已知双曲线和直线至多只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）ABCD-1，1【题型专练】1（江苏高二期末）直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有（ ）个ABCD2（陕西高二期末（理）如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有（ ）A1条B2条C3条D4条3（浙江宁波高二期末）在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不
3、充分也不必要条件4（湖北黄石二中高二期末）已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）ABCD题型三 弦长【例3】（1）（全国高二课前预习）过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|_.（2）（多选）（全国高二课时练习）已知直线ykx1与双曲线交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为（ ）ABCD【题型专练】1（全国高二课时练习）双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则的面积为_2（西藏山南二中高二期中（理）已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于A、B
4、两点（）求线段的长；（）求的周长题型四 点差法【例4】（1）（上海杨浦区复旦附中高二期末）已知双曲线，方向向量为的直线与交于两点，若线段的中点为，则双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD（2）（全国高二专题练习）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）ABCD2（3）（四川仁寿一中高二月考（理）已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【题型专练】1（安徽省宣城市第二中学高二月考（理）已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）AB2CD2（陕西安康高二期末（理）已
5、知直线l与双曲线交于A，B两点，且AB的中点坐标为（1，2），则直线l的斜率为（ ）ABC1D23（全国高二（文）已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（ ）ABCD4（全国）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：y21相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|（ ）A2B2C3D4题型五 最值问题【例5】（1）（青铜峡市第一中学（理）已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（ ）ABCD（2）（四川成都实外高二月考（理）设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的
6、最小值为（ ）A4B8C16D32【题型专练】1（全国高二课时练习）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）ABCD2（全国高二课时练习）若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为（ ）ABCD3（全国）设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为ABCD4（全国高二课时练习）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ）A3-,）B3+,）C,）D,）3
7、.2.2 双曲线的简单几何性质题型一 双曲线的离心率或渐近线【例1】（1）（北京牛栏山一中高二期中）双曲线的渐近线方程是_；离心率是_.（2）（全国高二课时练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）AB2C或2D【答案】（1） （2）A【解析】（1）因为双曲线的标准方程为，所以，所以，所以渐近线方程为；离心率.故答案为：；.（2）依题意，双曲线的渐近线方程为，因两条渐近线的夹角为，于是得直线的倾斜角是或，即或，解得或，而，则，又，则有，所以双曲线的离心率.故选：A【题型专练】1（富宁县第一中学高二月考（文）若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）ABC
8、D【答案】D【解析】渐近线为，即，.，.故选：D2（山西晋中（理）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另外一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，因为直线经过右焦点且与渐近线垂直，所以直线的方程为，由可得，由可得，因为，所以，即即，因为，所以，解得，故选：B.3（全国高二课时练习）设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】设，则，又，则，即所以=又的面积为，所以，即，故双曲线的离心率为故选:D题型二 直线与双曲线的位置关系【例2】（1）（全国高二课时练习）等轴双
9、曲线x2y2a2与直线yax(a0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）Aa1B0a1Da1（2）（河北邢台高二开学考试）已知双曲线和直线至多只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）ABCD-1，1【答案】（1）D（2）C【解析】（1）等轴双曲线x2y2a2的渐近线方程为yx，且双曲线x2y2a2与直线yax(a0)没有公共点，.故选：D（2）将双曲线和直线的方程联立，消去得：当双曲线和直线至多只有一个公共点时，关于的方程有一个实数解或两个相等的实数解)或无解.当，即时，双曲线和直线只有一个公共点；当且即或时，双曲线和直线至多只有一个公共点.实数的取值范围是故选：C【题型专练】1（江苏高二期末）
10、直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有（ ）个ABCD【答案】D【解析】联立，消去并整理得，由于直线与双曲线有且只有一个公共点，所以，或，解得或，对于方程，判别式为，方程有两个不等的实数解.显然不满足方程.综上所述，的取值有个.故选：D.2（陕西高二期末（理）如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有（ ）A1条B2条C3条D4条【答案】D【解析】由，得，若，即，时，方程组只有一解；时，方程组只有一解；时，此时方程组也只有一解方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点因此这样的直线有4条故选：D3（浙江宁波高二期末）在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的
11、（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行，此时，“直线与双曲线相切”不成立反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件故选：4（湖北黄石二中高二期末）已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】联立直线方程和双曲线方程，化为，因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以，且，解得，所以实数的取值
12、范围为，故选：D题型三 弦长【例3】（1）（全国高二课前预习）过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|_.（2）（多选）（全国高二课时练习）已知直线ykx1与双曲线交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为（ ）ABCD【答案】（1）3（2）BD【解析】（1）易得双曲线的左焦点F1(2，0)，直线AB的方程为y (x2)，与双曲线方程联立，得8x24x130.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|3.（2）由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入得：(4k2)x22kx50，则4k24(4k2)50，即k25.设A(x1,y1)，B(
13、x2,y2)，则，解得或.故选：BD【题型专练】1（全国高二课时练习）双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则的面积为_【答案】【解析】双曲线的右顶点，右焦点，所以渐近线方程为，不妨设直线FB的方程为，将代入双曲线方程整理，得，解得，所以，所以故答案为：.2（西藏山南二中高二期中（理）已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点（）求线段的长；（）求的周长【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由双曲线的方程得，设直线的方程为将其代入双曲线方程消去y得，得，；（2）由题意不妨设点A在双曲线的左支上，则的周长可表示为：根
14、据双曲线的定义，由方程解得点A的坐标为（-3，），所以题型四 点差法【例4】（1）（上海杨浦区复旦附中高二期末）已知双曲线，方向向量为的直线与交于两点，若线段的中点为，则双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD（2）（全国高二专题练习）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）ABCD2（3）（四川仁寿一中高二月考（理）已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】（1）B（2）B（3）A【解析】（1）由题意知直线的方程为，即，设，则，作差得，即，又因为，则，即，即，且，消去，得，则，当时，所以直
15、线与双曲线有两个交点，符合题意，所以双曲线的渐近线方程是，即，故选：B.（2）设弦的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则， 两式作差整理得：斜率为1，弦的中点为（4，2）， ， ，即，. 故.故选：B（3）设点、，则，由题意，得，两式相减，得，整理得，所以，因此，双曲线的离心率为，故选：A.【题型专练】1（安徽省宣城市第二中学高二月考（理）已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）AB2CD【答案】D【解析】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式，可得，又由直线:的斜率为，所以.因为两点在双曲线上，可得，两式相减并化简得，所以，所以.故选：D2（陕西安康
16、高二期末（理）已知直线l与双曲线交于A，B两点，且AB的中点坐标为（1，2），则直线l的斜率为（ ）ABC1D2【答案】C【解析】设，由AB的中点坐标为（1，2），则 ，且 所以又A，B两点在双曲线上，所以，由两式相减可得，即所以，即,所以此时直线l的方程为： 由，得，满足条件.故选：C3（全国高二（文）已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，两式做差得整理得，而，代入有，即可得故选：A.4（全国）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：y21相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|（ ）A2B2C3D4【答案】D【解
17、析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x4)2.由消去y并整理，得(12k2)x28k(2k1)x32k232k100.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，解得k1.所以x1x210.所以|AB|4.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，.得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，y1y24.所以4(x1x2)4(y1y2)0，即x1x2y1y2，所以直线AB的斜率k1.则直线AB的方程为yx2.由消去y并整理
18、，得x28x100，所以x1x28，x1x210.所以|AB|4.故选：D题型五 最值问题【例5】（1）（青铜峡市第一中学（理）已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（ ）ABCD（2）（四川成都实外高二月考（理）设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（ ）A4B8C16D32【答案】（1）A（2）C【解析】（1），即，即，又，所以，所以 ，可得，故选：A（2）设右焦点，其中一条渐近线设为，即，右焦点到渐近线的距离，即，的面积的最小值为16，即，即的最小值是，那么焦距的最小值是，当时等号成立
19、.故选：C【题型专练】1（全国高二课时练习）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为直线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，而双曲线的离心率，当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，则双曲线的方程为，设、，则，两式相减得：，即，即，又，故选：A.2（全国高二课时练习）若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，点，点，设点，则，所以，所以，所以当时，取最小值.故选：B.3（全国）设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为ABCD【答案】C【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，当渐近线的斜率满足，即时，直线l与双曲线左、右支均相交，所以.故选:C.4（全国高二课时练习）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ）A3-,）B3+,）C,）D,）【答案】B【解析】由题意可得,故.设,则.关于对称,故在上是增函数,当时有最小值为,无最大值,故的取值范围为,故选B
