1、抛物线的定义与性质强化训练（学生版）1、(2022安徽蚌埠三模)设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且|10，则x1x2()A6 B5 C4 D32、(2022亳州市检测)过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A圆 B椭圆C直线 D抛物线3、(2022哈尔滨六中期末)过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1y26，则|P1P2|()A5 B6C8 D104、(多选)(2022武汉模拟)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C
2、上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若ABF的面积为9，则()A.|BF|3B.ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y26x5、(2022济南期末)直线yxb交抛物线yx2于A，B两点，O为抛物线顶点，OAOB，则b的值为()A1B0 C1D26、(多选)(2022青岛质检)设F是抛物线C：y24x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A.|AB|4B.|OA|OB|8C.若点P(2，2)，则|PA|AF|的最小值是3D.OAB面积的最小值是27、已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一
3、点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若NRF60，则下列结论错误的是()AFQP60 B|QM|1 C|FP|4 D|FR|28、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D89、(2020高考全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A. B.C(1，0) D(2，0)10、(2022陕西省咸阳市质检)已知点M(3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的
4、一动点，则|MQ|QF|的最小值是()A.B3 C.D211、(2022盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C：y24x的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段PF与抛物线交于点M，则下列判断正确的是()AOMF可能是等边三角形BOMF可能是等腰直角三角形C.1D.|PF|112、(2020全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A. B. C.(1，0) D.(2，0)13、(多选)(2021烟台调研)已知F是抛物线C：y216x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()A.C的准线方程为x4B.
5、F点的坐标为(0，4)C.|FN|12D.三角形ONF的面积为16(O为坐标原点)14、设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A.1 B.2 C.3 D.415、设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.16、(2021新高考卷)若抛物线y22px(p0)的焦点到直线yx1的距离为，则p()A1 B2 C2 D417、已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y22px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有()APMF周长的最小值
6、为2B若，则最小值为2C若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为2D若POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为18、(2021吉林省吉林市调研)已知抛物线y24x的焦点F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长取最小值时，线段PF的长为()A1BC5D19、(2021上海虹口区二模)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为()ABC2D20、(2022重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A，若|AF|1
7、，则抛物线C的方程为()Ay2xBy22xCy23xDy24x21、(2021安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为()Ax28yBx24yCx24yDx28y22、(2021广西四校联考)已知抛物线y22px(p0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A4B9C10D1823、(2021天津河西区质检)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k()ABCD24、(2021湖北荆州模拟)从抛物线y24x在第一象限内的一点P
8、引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()ABCD25、(2022蚌埠模拟)直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p_，_26、点P为抛物线y24x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|PA|PF|的最小值为_；(2)|PA|PF|的最小值为_，最大值为_27、在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_28、(2022安徽省宿州市高三调研)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，
9、B两点，以AF为直径的圆过点，则直线AB的斜率为_29、(2022湖南名校大联考)已知P为抛物线C：yx2上一动点，直线l：y2x4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，4)，且，则的最小值为_30、(2021新高考卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若|FQ|6，则C的准线方程为_.31、(2021山西大学附中模拟)已知点Q(2，0)及抛物线y上一动点P(x，y)，则y|PQ|的最小值是_.32、(2021广东茂名五校联考)设抛物线y22px(p0)的焦点为F(1,0)，过焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|
10、AF|4|BF|，则|AB|_.33、(2022龙岩一模)已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则的值等于_.34、(2022广州模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|PF|，则y0_，p_.35、设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_36、(2022沈阳质量检测)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y23x上，则AOB的边长是_37、(2022北京昌平区模拟)已知抛物线C：y22px过点
11、P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.抛物线的定义与性质强化训练（解析版）1、(2022安徽蚌埠三模)设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且|10，则x1x2()A6 B5 C4 D3解析：根据抛物线的定义，知|，|，|分别等于点A，B，C到准线x1的距离，所以由|10，可得2x11x2110，即x1x26.故选A.2、(2022亳州市检测
12、)过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A圆 B椭圆C直线 D抛物线解析：选D.如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离|PA|等于点P到y轴的距离|PB|，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线3、(2022哈尔滨六中期末)过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1y26，则|P1P2|()A5 B6C8 D10解析：选C.抛物线x24y的准线为y1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的
13、距离分别是y11，y21，所以|P1P2|y1y228.4、(多选)(2022武汉模拟)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若ABF的面积为9，则()A.|BF|3B.ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y26x解析：因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|FB|；又|BF|FD|FA|，所以ABD90，|FA|AB|，可得ABF为等边三角形，B正确；过F作FCAB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，代入抛物线可得y3p2，|yA|p，ABF的
14、面积为9，即(xAxB)|yA|p9，解得p3，所以抛物线的方程为y26x，D正确；焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为23，C正确；此时点A的横坐标为，所以|BF|AF|AB|6，A不正确.5、(2022济南期末)直线yxb交抛物线yx2于A，B两点，O为抛物线顶点，OAOB，则b的值为()A1B0 C1D2解析：D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将yxb代入yx2，化简可得x22x2b0，故x1x22，x1x22b，所以y1y2x1x2b(x1x2)b2b2又OAOB，所以x1x2y1y20，即2bb20，则b2或b0，经检验b0时，不符合题意，故b26、(多选)(2022青岛质检)设
15、F是抛物线C：y24x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A.|AB|4B.|OA|OB|8C.若点P(2，2)，则|PA|AF|的最小值是3D.OAB面积的最小值是2解析：由题意知F(1，0)，不妨设A在第一象限，(1)若直线l斜率不存在，则A(1，2)，B(1，2)，则|AB|4，|OA|OB|2|OA|2，SOAB412，显然B错误；(2)若直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，显然k0，联立方程组消元得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，|AB|x1x2244，原
16、点O到直线l的距离d，SOAB|AB|d22，综上，|AB|4，SOAB2，故A正确，D正确.过点A向准线作垂线，垂足为N，则|PA|AF|PA|AN|.又P(2，2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|AF|取得最小值3，故C正确.故选ACD.7、已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若NRF60，则下列结论错误的是()AFQP60 B|QM|1C|FP|4 D|FR|2解析：选B.如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MNFQ，又PQx轴，NRF60，所以FQ
17、P60，由抛物线的定义知，|PQ|PF|，所以FQP为等边三角形，则FMPQ，|QM|2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|PQ|4，|FN|PF|2，则FRN为等边三角形，所以|FR|2.故选B. 8、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：选B.如图，不妨设抛物线C：y22px(p0)，A(x1，2)，则x1，由题意知|OA|OD|，所以85，解得p4.9、(2020高考全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A
18、. B.C(1，0) D(2，0)解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y2，不妨设D(2，2)，E(2，2)，由ODOE，可得44p0，解得p1，所以抛物线C的方程为y22x，其焦点坐标为.10、(2022陕西省咸阳市质检)已知点M(3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()A.B3 C.D2解析：选C.如图，抛物线的准线方程为x，过点Q作QQ垂直准线于点Q，|MQ|QF|MQ|QQ|，显然当MQx轴时，|MQ|QF|取得最小值，此时|MQ|QF|23|.11、(2022盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C：y24x
19、的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段PF与抛物线交于点M，则下列判断正确的是()AOMF可能是等边三角形BOMF可能是等腰直角三角形C.1D.|PF|1解析：选C.若OMF是等边三角形，则边长为1，且点M的横坐标为，纵坐标为，此时|OM|1，所以OMF不可能是等边三角形，故A不正确；若OMF是等腰直角三角形，则只可能是OMF90，|OM|FM|，所以|OM|2|FM|2|OF|2，故B不正确；过点M作准线的垂线交准线于点N，则|MF|MN|，111，故C正确，D不正确12、(2020全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()
20、A. B. C.(1，0) D.(2，0)解析：将x2与抛物线方程y22px联立，可得y2，不妨设D(2，2)，E(2，2)，由ODOE，可得44p0，解得p1，所以抛物线C的方程为y22x.其焦点坐标为.13、(多选)(2021烟台调研)已知F是抛物线C：y216x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()A.C的准线方程为x4B.F点的坐标为(0，4)C.|FN|12D.三角形ONF的面积为16(O为坐标原点)解析：不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F，作MBl于点B，NAl于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x4，F点的坐标为(4，0)，
21、A正确，B错误.故|AN|4，|FF|8，在直角梯形ANFF中，中位线|BM|6，由抛物线的定义有|MF|MB|6，结合题意，有|MN|MF|6，故|FN|FM|NM|6612，C正确，而|ON|8，SONF8416，D正确.14、设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1x2x33，则|(x1x2x3)3.15、设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.
22、C. D.解析：由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.方法一：联立直线方程与抛物线方程化简得4y212y90，则yAyB3，yAyB，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二：联立直线方程与抛物线方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为d，因此SOAB|AB|d.16、(2021新高考卷)若抛物线y22px(p0)的焦点到直线yx1的距离为，则p()A1 B2 C2 D4解析：选B.抛物线的焦点坐标为，其到直线xy10的距离d，解得p2(p6舍去)故选B.17、已知O为坐标原点，M(2，2)，P，
23、Q是抛物线C：y22px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有()APMF周长的最小值为2B若，则最小值为2C若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为2D若POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为解析：选D.因为F到准线的距离为2，所以p2，所以抛物线C：y24x，F(1，0)，|MF|，准线l：x1，对于A，过P作PNl，垂足为N，则|PF|PM|PN|PM|MN|213，所以PMF周长的最小值为3，故A不正确；对于B，若，则弦PQ过F，过P作l的垂线，垂足为P，过Q作l的垂线，垂足为Q，设PQ的中点为G，过G作GGl，垂足为G，则|PQ|PF|QF|PP
24、|QQ|2|GG|224，即最小值为4，故B不正确；对于C，若直线PQ过点F，设直线PQ：xmy1，联立消去x得y24my40，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y24m，y1y24，所以kOPkOQ4，故C不正确；对于D，因为OF为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，因为POF外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为1，所以该圆面积为()2，故D正确18、(2021吉林省吉林市调研)已知抛物线y24x的焦点F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长取最小值时，线段PF的长为()A1BC5D解析：求PAF周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值，设点P在准线
25、上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|PD|，因此，|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|PD|最小，此时P，且|PF|1，故选B19、(2021上海虹口区二模)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为()ABC2D解析：直线l2：x1是抛物线y24x的准线，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，则点P到直线l2：x1的距离等于|PF|，过点F作直线l1：4x3y60的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：4x3y60的距离和到直线l2：x1的距离之和的
26、最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值为2，故选C20、(2022重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A，若|AF|1，则抛物线C的方程为()Ay2xBy22xCy23xDy24x解析：由题意知xAp，又|AF|xA1，p，抛物线C的方程为y2x，故选A21、(2021安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为()Ax28yBx24yCx24yDx28y解析：由题意可知抛物线的焦点在y轴负半轴上，故设其方程为x22
27、py(p0)，所以35，即p4，所以所求抛物线方程为x28y，故选D22、(2021广西四校联考)已知抛物线y22px(p0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A4B9C10D18解析：抛物线y22px的焦点为，准线方程为x.由题意可得49，解得p10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.故选C23、(2021天津河西区质检)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k()ABCD解析：设抛物线C：y28x的准线为l：x2，直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)，如图过A、B分别作A
28、Ml于M，BNl于N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，k.24、(2021湖北荆州模拟)从抛物线y24x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()ABCD解析：设P(x0，y0)，由抛物线y24x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故|PM|x019，解得x08，故P点坐标为(8,4)，所以kPF.故选C25、(2022蚌埠模拟)直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p_，_
29、解析：由题意知1，从而p2，所以抛物线方程为y24x.当直线AB的斜率不存在时，将x1代入抛物线方程，解得|AF|BF|2，从而1.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为yk(x1)，联立整理，得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则从而1.综上，1.为x.26、点P为抛物线y24x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|PA|PF|的最小值为_；(2)|PA|PF|的最小值为_，最大值为_解析：(1)如图，由抛物线定义可知，|PF|PH|，|PA|PF|PA|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3如图，当P，A，F三点共线，且P在FA
30、延长线上时，|PA|PF|有最小值为|AF|当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|PF|有最大值为|AF|故|PA|PF|最小值为，最大值为27、在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_解析：线段OA的垂直平分线方程是y2x，且交x轴于点，该点为抛物线y22px(p0)的焦点，故该抛物线的准线方程为x.28、(2022安徽省宿州市高三调研)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，以AF为直径的圆过点，则直线AB的斜率为_解析：由抛物线C：y24x可得焦点为F，设A，由
31、抛物线的定义可得x1x11，AF的中点为，所以AF为直径的圆的方程为222，因为以AF为直径的圆过点，所以，可得y14，所以x14，所以点A，所以直线AB的斜率为.29、(2022湖南名校大联考)已知P为抛物线C：yx2上一动点，直线l：y2x4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，4)，且，则的最小值为_解析：由题意得M(2，0)，N(0，4)，设P(x，y)，由得(x2，y4)(0，4)(2，0)所以x22，y44.因此2，故的最小值为.30、(2021新高考卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若|FQ|6
32、，则C的准线方程为_.解析：由题意易得|OF|，|PF|p，OPFPQF，所以tanOPFtanPQF，所以，即，解得p3，所以C的准线方程为x.法二由题意易得|OF|，|PF|p，|PF|2|OF|FQ|，即p26，解得p3或p0(舍去)，所以C的准线方程为x.31、(2021山西大学附中模拟)已知点Q(2，0)及抛物线y上一动点P(x，y)，则y|PQ|的最小值是_.解析：抛物线y即x24y，其焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y1.因为点Q的坐标为(2，0)，所以|FQ|3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示结合抛物线的定义，有y|PQ|PD|PQ|PH|PQ|1|PF|PQ
33、|1|FQ|1312，即y|PQ|的最小值是2.32、(2021广东茂名五校联考)设抛物线y22px(p0)的焦点为F(1,0)，过焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AF|4|BF|，则|AB|_.解析：解法一：如图，设抛物线的准线为l，ACl于C，BDl于D，BMAC于M，交x轴于N，l交x轴于H，则|FH|2，设|BF|a，则|AB|5a，由BNFBMA得，即，解得a，|AB|.解法二：1，p2，不妨设直线AB方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得y24my40，y1y24，又|AF|4|BF|，y14y2，y21，从而x2，|BF|1，|AB|5|BF|.33、(2
34、022龙岩一模)已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则的值等于_.解析：设B(x0，y0).由方程组消去y并整理，得x24x10(x0)，解得x02.由题意，得F(1，0)，A(1，0)，(2，0)，(x01，y0).(2，0)(x01，y0)2(x01)22x022(2)62.34、(2022广州模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|PF|，则y0_，p_.解析：作PMl，垂足为M，由抛物线定义知|PM|PF|，又知|PK|PF|，在RtPKM中，sinPKM
35、，PKM45，PMK为等腰直角三角形，|PM|MK|4，又知点P在抛物线x22py(p0)上，解得35、设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.36、(2022沈阳质量检测)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y23x上，则AOB的边长是_解析：如图，设AOB的边长为a，则A，因为点A在抛物线y23x上，所以a23a，所以a6.37、(2022北京昌平区模拟)已知抛物线
36、C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.(1)解把P(1，1)代入y22px得p，抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明BMx轴，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，根据题意显然有x10.若要证A为BM的中点，只需证2yAyBy1即可，左右同除以x1有，即只需证明2kOAkOBkOM成立，其中kOAkOP1，kOBkON.当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零.设直线MN：ykx(k0)，联立消y得，k2x2(k1)x0，考虑(k1)24k212k，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k.由根与系数关系可知：x1x2，x1x2.kOBkOMkONkOM2k.将代入上式，有2k2k2k2(1k)2，即kONkOMkOBkOM22kOA，2yAyBy1恒成立，A为BM的中点，得证.
