1、第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例课后训练巩固提升一、A组1.已知轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120,轮船A的航行速度是25 n mile/h,轮船B的航行速度是15 n mile/h,下午2时两船之间的距离是()A.35 n mileB.35 n mileC.35 n mileD.70 n mile解析:由题可知C=120,AC=50,BC=30,由余弦定理,得AB2=302+502-25030=4 900,得AB=70.答案:D2.如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为m,BAC=
2、,ACB=,则A,B两点间的距离为()ABCD解析:在ABC中,AC=m,BAC=,BCA=.则ABC=-.即sinABC=sin(-)=sin(+).由正弦定理,得,得AB=答案:C3.某人在点C测得某塔底B在南偏西80方向,塔顶A的仰角为45,此人沿南偏东40方向前进10 m到D,测得塔顶A的仰角为30,则塔高为()A.15 mB.5 mC.10 mD.12 m解析:如图,设塔高为h m,则AB=h,BC=h,BD=h,BCD=120,CD=10,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos 120,解得h=10.答案:C4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别
3、为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.30(+1)mB.120(-1)mC.180(-1)mD.240(-1)m解析:由题可知,BC=60tan 60-60tan(90-75)=60()=60()=120(-1)(m).答案:B5.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使点C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高度为()A.10 mB.10 mC.10 mD.10 m解析:依题意,在BCD中,CD=10 m,BCD=105,BDC=45,则DBC=180-45-105=30,
4、由正弦定理,得,得BC=10(m).在RtABC中,BCA=60,即AB=BCtanBCA=10=10(m).故塔AB的高度为10 m.答案:D6.某观测站C与两灯塔A,B的距离分别为300 m和500 m,测得灯塔A在观测站C北偏东30方向,灯塔B在观测站C南偏东30方向,则两灯塔A,B之间的距离为.解析:如图所示,在ABC中,AC=300 m,BC=500 m,ACB=120.由余弦定理,得AB=700(m).答案:700 m7.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角=60,在塔底C处测得点A的俯角=45.已知塔高为60 m,则山高为.解析:在ABC中,BC=60 m,
5、BAC=15,ABC=30.由正弦定理,得AC=30()(m),即CD=ACsin 45=30(+1)(m).答案:30(+1)m8.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一座建筑物CD的顶端C对于山坡的坡度为15,向山顶前进100 m到达B处,测得点C对于山坡的坡度为45,假设建筑物CD的高为50 m,设山坡对于地平面的坡度为,则cos =.解析:在ABC中,AB=100,CAB=15,ACB=45-15=30.由正弦定理,得,故BC=200sin 15.在DBC中,CD=50,CBD=45,CDB=90+.由正弦定理,得,故cos =-1.答案:-19.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏
6、东75方向,距离为12 n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30方向,距离为8 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120,求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.解:由题意画出示意图.(1)在ABD中,由已知得ADB=60,B=45,AB=12 n mile.由正弦定理,得AD=24(n mile).(2)在ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30=242+(8)2-2248=192,故CD=8(n mile).二、B组1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将
7、它的倾斜角改为30,则坡底要延长()A.5 mB.10 mC.10 mD.10 m解析:如图,设将坡底加长到B时,倾斜角为30,在ABB中,B=30,BAB=75-30=45,AB=10 m.在ABB中,由正弦定理,得BB=10(m).故坡底延长10 m时,斜坡的倾斜角将变为30.答案:C2.如图,某炮兵阵地位于点A,两个观察所分别位于C,D两点.已知ACD为等边三角形,且DC= km,当目标出现在点B时,测得CDB=45,BCD=75,则炮兵阵地与目标的距离约是()A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km解析:CBD=180-BCD-CDB=60.在BCD中,由正弦定
8、理,得BD=在ABD中,ADB=45+60=105.由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos 105=3+2=5+2则AB=2.9(km).故炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.答案:C3.(多选题)如图,在海岸上有两个观测点C,D,C在D的正西方向,距离为2 km,在某天10:00观察到某航船在A处,此时测得ADC=30,5分钟后该船行驶至B处,此时测得ACB=60,BCD=45,ADB=60,则()A.当天10:00时,该船位于观测点C的北偏西15方向B.当天10:00时,该船距离观测点C kmC.当船行驶至B处时,该船距观测点C kmD.该船在由A行驶至B的这5 min内
9、行驶了 km解析:A项中,ACD=ACB+BCD=60+45=105,因为C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15方向,故A正确.B项中,在ACD中,ACD=105,ADC=30,则CAD=45.由正弦定理,得AC=,故B正确.C项中,在BCD中,BCD=45,CDB=ADC+ADB=30+60=90,即CBD=45,则BD=CD=2,于是BC=2,故C不正确.D项中,在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=2+8-22=6,即AB= km,故D正确.答案:ABD4.如图,在山脚测得山顶仰角CAB=45,沿倾斜角为30的斜坡走1 000 m至点S,又测得山顶仰
10、角DSB=75,则山高BC为m.解析:SAB=45-30=15,且SBD=15,ABS=30,AS=1 000.由正弦定理,可知,即BS=2 000sin 15,则BD=BSsin 75=2 000sin 15cos 15=1 000sin 30=500(m),且DC=1 000sin 30=500(m).从而BC=DC+BD=1 000(m).答案:1 0005.如图,位于A处的海上观测站获悉,在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,并在原地等待营救,在A处南偏西30且相距20 n mile的C处有一艘救援船,该船接到观测站通告后立即前往B处援助,则sinACB=.解析:在A
11、BC中,AB=40,AC=20,BAC=120.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,得BC=20由正弦定理,得sinACB=答案:6.如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75的方向航行20()n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15的方向航行40 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,那么此船应沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?解:在ABC中,AB=20(),BC=40,ABC=180-75+15=120.由余弦定理可得AC= =40由正弦定理,得,得sinBAC=即BAC=45,75-BAC=30.故此船应沿北偏东30方向航行,需要航行40 n mile.7.如图,某观测站C在城A的南偏西20的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40的公路,在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离为21 km,这时此车距离A城多少千米?解:在BCD中,BC=31,BD=20,CD=21,由余弦定理,得cosBDC=-,即cosADC=,sinADC=在ACD中,由条件知CD=21,A=60,则sinACD=sin(60+ADC)=由正弦定理,得,解得AD=15.故这时此车距离A城15 km.
