1、云南省昆明市官渡区第一中学2020-2021学年高一数学12月月考试题（含解析）试卷满分150分，考试时间120分钟一单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. A分析：先分别化简两集合，再求交集，即可得出结果.解答：因为集合，集合，所以.故选：A.点拨：本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.2. 计算sin(1380)的值为（ ）A. B. C. D. D分析：根据诱导公式以及特殊角三角函数值求结果.解答：sin(1380) =sin(1380+1440)= sin(60)= 故选：D点拨：本题考查诱导公式
2、以及特殊角三角函数值，考查基本求解能力，属基础题.3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A分析：利用正弦函数的图象性质分析.解答：当,可以得到,反过来若，有或，.所以为充分不必要条件，故选：A.点拨：本题考查充分条件、必要条件的判断问题，属于简单题.4. 若幂函数在区间上是减函数，则实数m的值（ ）A. B. C. 或2D. 或1B分析：首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证.解答：因为函数是幂函数，所以，解得：或，当时，不满足函数在区间是减函数，当时，满足条件，故选：B.点拨：本题考查幂函数，重点考查函数定义，计
3、算，属于基础题型.5. 若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（ ）A. 2B. C. 2D. A分析：根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.解答：因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点，因为点在角的终边上，所以.故选：A.点拨：本题考查了指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，考查了三角函数的定义，属于基础题.6. 已知，则a, b, c的大小关系为（ ）A. B. C. D. A解答：试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，因此,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数
4、的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.7. 函数f（x）=，则不等式f（x）2的解集为（ ）A. B. （，-2 ）（，2 ）C. （1，2）（，+）D. （，+）C解答：当时，有，又因为，所以为增函数，则有，故有；当时，有，因为是增函数，所以有，解得，故有综上故选C8. 掷铁饼者取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是
5、一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）A. 1.012米B. 1.768米C. 2.043米D. 2.945米B分析：由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长解答：解：由题得：弓所在的弧长为：；所以其所对的圆心角；两手之间的距离故选：点拨：本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，本题的关键在于读懂题目，能提取出有效信息9. 已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则（
6、 ）A. B. C. D. B分析：先求出时，的解析式，即可求得时，再利用是奇函数，即可求解.解答：因为时，的图象与函数的图象关于对称，所以时，所以时，又因为是奇函数，所以，故选：B点拨：本题主要考查了利用函数的奇偶性和反函数求函数解析式，以及求函数值，属于中档题.10. 已知实数、满足，其中，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12A分析：化简得到，结合基本不等式，即可求解.解答：由题意，实数、满足，其中，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.点拨：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2
7、）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11. 给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ）函数图象恒在轴的下方；将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像；若函数的值域为，则实数的取值范围是；函数的图像关于对称的函数解析式为A. 1B. 2C. 3D. 4C分析：对于根据复合函数的单调性求得最值即可判断;对于根据函数图像的翻折、平移变化即可判断;对于根据对数函数值域为R
8、时,判别式满足的条件,即可求得的取值范围;对于根据关于对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断.解答：对于函数,由复合函数的单调性判断方法可知,函数在时单调递增,在时单调递减.即在处取得最大值.所以,所以函数图像恒在轴的下方,所以正确;对于的图像经过先关于轴对称,可得;再向右平移1个单位可得,所以正确;对于函数的值域为,则满足能取到所有的正数.即满足,解不等式可得或,所以错误.对于函数的图像关于对称的函数为的反函数,根据指数函数与对数函数互为反函数可知,其反函数为,所以正确.综上可知,正确的有故选:C点拨：本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数图像的平移变换和反函数的概念,综合性强,属
9、于中档题.12. 已知函数是奇函数且当时是减函数，若，则函数的零点共有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个D解答：根据题意，函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，当x（0，+）时是减函数，且f（1）=0，则函数在（0，+）上只有一个零点，若函数y=f（x）是奇函数且当x（0，+）时是减函数，则f（x）在（-，0）为减函数，又由f（1）=0，则f（-1）=-f（1）=0，则函数在（-，0）上只有一个零点，故函数y=f（x）共有3个零点，依次为-1、0、1，对于函数，当时，解得，当时，解得或， 当时，解得或. 故函数的零点共有7个.故选D点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的
10、奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f（x）的零点，注意计算的准确性.二填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 命题，则为_.，分析：由全称命题的否定即可得解.解答：因为命题为全称命题，所以为“，”.故答案为：，.14. 已知：，其中是第一象限角的为_(填序号).分析：利用终边相同的角转化到判断.解答：因为，.所以，是第一象限角，故答案为：点拨：本题主要考查象限角以及终边相同的角的应用，属于基础题15. 函数的单调递增区间为_，值域为_. (1). (2). 分析：由对数真数大于零可求得定义域，利用复合函数单调性可确定的单调递增区间；根据的范围可求得的值域.解答：由
11、得：，定义域为；令，在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，的单调递增区间为，单调递减区间为；，.故答案为：；.点拨：易错点点睛：本题考查对数型复合函数的单调区间和值域的求解，易错点是忽略对数函数定义域的要求，造成单调区间求解错误.16. 已知函数，则_；设，若函数存在2个零点，则实数的取值范围是_ (1). (2). 分析：先计算出的值，然后将的值代入并根据值所在范围求解出；作出的图象，将问题转化为的图象有两个交点时求的取值范围，由此得到结果.解答：因为，所以；因为有个零点，所以的图象有两个交点，作出的图象如下图所示：当有两个交点时，可知，所以，即，故答案为：；.点拨：思路点睛：根据函数
12、零点个数求解参数范围的问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.三解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. （1）计算的值；（2）计算：（1） ；（2）分析：（1）利用指数幂运算法则，进行求值运算；（2）利用对数运算法则，进行求值运算.解答：（1）原式（2）原式点拨：本题考查指数幂运算法则和对数运算法则的应用，考查基本运算求解能力.18. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.（1）若，且和都是真命题，
13、求实数取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.（1）；（2）.分析：（1）若，利用为真，求实数的取值范围即可；（2）由是的充分不必要条件有，即可求的取值范围.解答：由，得，则：，.由，解得，即：.（1）若，则：，若为真，则，同时为真，即，解得，实数的取值范围.（2）若是的充分不必要条件，即，解得.19. 已知，函数.（1）当时，解不等式.（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值.（1）；（2）或.分析：（1）当时，不等式化为：，因此，解出并且验证即可得出（2）方程即方程有一个根，对分类讨论解出即可得出解答：（1）当时，不等式化为：，化为：，解得，经过验证满足条件，因此不等
14、式的解集为（2）方程即，化为：，若，化为，解得，经过验证满足：关于的方程的解集中恰有一个元素1若，令，解得经过验证满足：关于的方程的解集中恰有一个元素综上可得：或点拨：本题考查对数不等式求解、根据方程根的个数求参数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对参数值进行验证.20. 已知函数为奇函数.（1）求实数a的值并证明是增函数；（2）若实数满足不等式，求t的取值范围.（1），证明见解析；（2）.分析：（1）依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变
15、量的不等式，再解分式不等式即可；解答：（1）因为是定义域为R奇函数，由定义，所以所以，.所以证明：任取，即在定义域上为增函数（2）由（1）得是定义域为R奇函数和增函数所以.点拨：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性21. 已知函数，.（1）求方程的解集；（2）定义：.已知定义在上的函数.作出的图象，并写出单调区间；若关于的方
16、程有两个实数解，求的取值范围.（1）；（2）图象见解析；单调递增区间为；单调递减区间为；.分析：（1）将方程等价为，解方程求得结果；（2）由定义可确定图象，根据图象可得单调区间；将问题转化为与有两个不同的交点，利用数形结合的方法可得结果.详解】（1）由得：，解得：或，方程的解集为.（2）由的定义可得图象如下图所示：结合图象可知：的单调递增区间为；单调递减区间为.有两个实数解等价于与有两个不同的交点，由图象可知：当时，与有两个不同的交点，的取值范围为.点拨：方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（
17、2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合的方法求解22. 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到元
18、公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价（1）40；（2）10.2，30元分析：（1）根据条件列出关于的一元二次不等式，求解出解集即可确定出定价最多时对应的数值；（2）明年的销售收入等于销量乘以单价，原收入和总投入之和为，由此列出不等式，根据不等式有解结合基本不等式求解出的最小值，同时计算出的值.解答：（1）设每件定价为元，依题意得，整理得，解得所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2）依题意知当时，不等式成立等价于时，有解，由于，当且仅当，即时等号成立，所以当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元点拨：关键点点睛：本题中的第二问，解答的关键有两点：（1）根据条件列出满足的不等式并对不等式进行参变分离；（2）使用基本不等式求解出最值.
