1、重庆市2014届高三考前模拟数学（文）试题满分150分。考试时间120分钟。注意事项： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。【试卷综析】本试卷是高三考前模拟文科数学试卷，命题模式与高考一致，紧扣考纲，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生基本数学素养的考查。
2、知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题。试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量等，涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论等，试题题目新颖，导向性强，非常适合备战高考的高三学生使用。一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知i为虚数单位，复数的虚部是 （A） （B）一 （C）一i （D）i【知识点】复数的代数形式；复数的除法运算【答案解析】A 解析：，其虚部为，故选：A【思路点拨】根据复数的除法运算把复数化成一般形式，再根据虚部的定义即可得到答案。（2）重庆市教
3、委为配合教育部公布高考改革新方案，拟定在重庆彳中学进行调研，广泛征求高三年级学生的意见重庆么中学高三年级共有700名学生，其中理科生500人，文科生200人，现采用分层抽样的方法从中抽取14名学生参加调研，则抽取的理科生的人数为 （A）2 （B）4 （C）5 （D）10【知识点】分层抽样【答案解析】D 解析：抽样比例为：，所以应应抽取的理科生人数为：人，故答案为：D【思路点拨】根据分层抽样的定义，先确定抽样比例，然后按比例抽取即可。（3）下列函数中，既是偶函数，又在区间-1，0上是减函数的是 （A）y=cosx （B）y=x2（C）y=log2x （D）y=exe-x。【知识点】函数的单调性和
4、奇偶性【答案解析】B 解析：函数y=cosx的图象关于y轴对称，是偶函数，但在区间-1，0上为增函数，故A不满足要求；函数y=log2x既不是偶函数，也不是奇函数，故C不满足要求；函数y=exe-x 中，=，是奇函数 ，故D不满足要求，故答案为：B 【思路点拨】根据余弦函数、对数函数图象和性质，结合函数的奇偶性的定义，分别判断四个答案中函数的奇偶性和单调性可得答案。（4）设集合A= -1，0，2），集合，则B= （A）1 （B）一2 （C）-1，-2（D）-1，0【知识点】元素与集合的关系【答案解析】A 解析：当时，所以满足题意，此时；当时，所以不满足题意；当时，所以不满足题意，所以=，故选：
5、A【思路点拨】根据已知知集合B中的元素属于集合A，因为集合A中的元素不多，可以把各个元素分别代入检验，从中选出符合条件的元素即可。（5）若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是【知识点】充分条件和必要条件；推理与证明【答案解析】C 解析：解：因为p是q的必要条件，s是q的充分条件所以qp，sq，所以sp,所以故选：C【思路点拨】因为p是q的必要条件，s是q的充分条件，所以qp，sq，所以sp，再由逆否命题与原命题的真假一致得到答案。（6）执行如题（6）图所示的程序框图，则输出的a为 （A） 20 （B） 14 （C） 10 （D）7【知识点】含循环结构的程序框图【答案解析
6、】A 解析：第一次循环：成立，10不是奇数，所以，进入下一次循环；第二次循环：成立，5是奇数，所以，进入下一次循环；第三次循环：成立，14不是奇数，所以，进入下一次循环；第四次循环：成立，7是奇数，所以，进入下一次循环第五次循环：成立，20不是奇数，所以，进入下一次循环第六次循环：成立，10不是奇数，所以，进入下一次循环从中可以发现的值成周期性变化，周期为5，当不成立即时，循环停止，此时循环已经进行了2014次，2014除以5余数为4，所以最后输出的的值与第四次循环里的值一致，所以输出的的值为20，故选：A【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是
7、反复计算变量的值，对前几次循环中各变量的值进行分析，从中可以发现的值成周期性变化，周期为5，根据周期计算停止循环时的与第几次循环一致，就可得到正确答案。（7）某几何体的三视图如题（7）图所示，其侧视图是一个边长为l的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成，则此几何体的体积为 【知识点】由三视图求几何体的体积、表面积【答案解析】C 解析：由几何体的三视图可知：此几何体是两个相同的三棱锥拼接而成的，由侧视图知三棱锥的高为，底面三角形是正三角形，边长就是侧视图三角形的底边长，即1，所以底面三角形的面积为，所以所求几何体的体积为，故选：C【思路点拨】先由三视图想象几何体的结构特征，由正视图和侧视图可知几
8、何体为椎体，再结合俯视图可判断其为两个相同的三棱锥拼接而成，求出一个三棱锥的底面积和高，带入三棱锥的体积公式中，再乘以2就是所求几何体的体积。（8）设A、P是椭圆两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP、BP分别交x轴于点M、N，则（A）0（B）1（C） （D）2【知识点】椭圆的性质；向量的数量积运算【答案解析】D 解析：不妨设点P是椭圆的右顶点，即P，因为A,B关于x轴对称，所以直线AP、BP与x轴的交点都是点P，即M,N,P重合，则=，故选：D【思路点拨】本题若用常规方法来解，需要大量的运算，故可采取“特殊值”法，给点P一个特殊位置，即可快速的解出的值。（9）对任意的实数x，
9、y，定义运算值是（A）a （B）b（C）c（D）不确定【知识点】函数的单调性与导数；单调性的应用【答案解析】A 解析：由运算的规则知：的作用是取两个实数中较大的值，所以就是取三个数中的最大值，令，则，当即时，函数单调递减，所以，即是中的最大值，所以的值是，故选：A【思路点拨】先读懂新运算的意思，再将转化成求三个数中的最大值，接下来就是比较的大小，观察三个数的特点，可构造一个函数，通过函数的单调性比较大小。（10）已知ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，若的最小值是（A）1 （B） （C）（D）【知识点】向量的加法；共线向量定理；基本不等式【答案解析】A 解析
10、：由已知得：，, 所以,即, 因为D,E,F三点共线， 所以， 又，由基本不等式可得： 所以，即的最小值是1，故选：A 【思路点拨】由D是BC的中点可得，然后转化成，再由共线向量定理得，由基本不等式“和定积最大”可得的最大值为，从而的最小值是1。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相对应位置上（11）已知 。【知识点】三角函数的诱导公式；同角三角函数的基本关系式【答案解析】 解析：， ， ， 故答案为：【思路点拨】由三角函数的引导公式可求出的值，再根据同角三角函数的基本关系式先计算出，进而计算出。（12）若正项等比数列满足： 。【知识点】等比数列的定义、通项公式【
11、答案解析】2 解析：由已知得：，因为均不是0，两边约去并整理得：，解得：或，又数列是正项等比数列，所以，所以，故答案为：2【思路点拨】依据等比数列的通项公式化简已知条件，可得到一个关于公比q的一元二次方程，解出q，舍去不符合条件的答案，即可得到正确的答案。（13）已知函数f（x）的导函数为 。【知识点】函数的导数；求导公式和法则【答案解析】 解析：，所以， 则，所以，故答案为：【思路点拨】由导数的定义可知：是一个常数，利用导数的求导公式和求导法则可求得，从而，再将带入函数中即可解得。（14）若关于x的不等式axb的解集为，则关于x的不等式的解集为 。【知识点】一元一次不等式；一元二次不等式【答
12、案解析】 解析： axb的解集为， ，且， 且， 所以不等式可化为：， 即：，解得：，故答案为：【思路点拨】由已知可得，且，将a替换成b，代入要解的一元二次不等式中，约去b，但依据不等式的性质，不等号方向改变为，再根据一元二次不等式的解法求解即可。（15）已知平面区域，直线有两个不同的交点，直线l与曲线C围成的平面区域为M，向区域内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数所的取值范围是 。【知识点】几何概型；函数的单调性【答案解析】 解析：如右图所示，设直线与曲线交于两点，的大小 为，的面积扇形的面积阴影部分面积显然，且关于递增，易得当时，此时；当时，此时；故答案为：【思路点
13、拨】根据题意可判断这是一个几何概型，画出图示，确定区域M和区域的形状，计算出各自的面积，即可得到，根据的范围即可得到m的范围。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（16）（本小题满分13分） 为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了聊位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为10，15），15，20），20，25），25，30），30，35，得到如题（16）图所示的频率分布直方图已知生产的产品数量在20，25）之间的工人有6位 （I）求m； （II）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，求这2位工人不在同一
14、组的概率【知识点】频率分布直方图；古典概型的概率【答案解析】解：（）由题得，这一组的频率为 （）由题得，这一组的工人有人，这一组的工人有人从这两组中抽取位工人共有种不同的结果，其中位工人不同组的结果有种， 位工人不同组的概率为【思路点拨】（）由频率分布直方图可得这一组的频率，再由该组的频数即可计算出m的值；（）分别计算出，的工人数，对两组人编不同的号，列举出从这两组中抽取位工人总的结果数，以及其中位工人不同组的结果数，用古典概型的概率计算公式计算即可。（17）（本小题满分13分）已知向量的最小正周期为 （I）求的值； （II）设ABC的三边a、b、c满足：b2=ac，且边b所对的角为x，若关于
15、x的方程f（x）=k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围【知识点】向量的数量积；三角恒等变换；三角函数的图像和性质【答案解析】解：（）；（） 所以 ，由函数的图象知，要有两个不同的实数解，需，即【思路点拨】（）利用平面向量的数量积运算列出关系式，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期公式，由已知周期即可求出的值； （）利用余弦定理表示出cosx，将b2=ac代入并利用基本不等式化简求出cosx的范围，进而确定出x的范围，求出的范围，根据f（x）=k，得到，利用正弦函数图象即可确定出k的范围。（18）（本小题满分13分）设Sn为等差数列an的前n项和
16、，已知（I）求an。 （II）设，数列的前n行和记为Tn，求证：【知识点】等差数列的通项公式；前n项和公式；裂项相消法【答案解析】解：（）设数列的公差为，由题得解得， （）由（）得，故【思路点拨】（）先设等差数列的公差为d，根据条件和等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程求解，再代入等差数列的通项公式化简即可；（）由（）求出的公差，代入等差数列的前n项和公式化简，再求出并且裂项，再代入前n项和Tn化简，根据式子和n的取值范围进行证明即可（19）（本小题满分12分）已知直四棱柱的底面ABCD为正方形，E为棱的中点（I）求证：；（II）设F为AD中点，G为棱上一点，且 求证：FG平面BDE【知识
17、点】线面垂直的判定；线面平行的判定【答案解析】解：（）连接、，题得由，即 同理，平面（）过点作交于点，为等腰直角三角形，又，四边形为平行四边形，又平面，平面【思路点拨】（）要证平面，只需证明，即可，已知条件中有线段的长度，故可考虑用勾股定理证明，；（）过点作交于点,通过证明，即可证明，再依据线面平行的判定定理，即可证明平面。（20）（本小题满分12分）已知函数 （I）若函数内单调递增，求a的取值范围； （II）若函数处取得极小值，求a的取值范围【知识点】函数的单调性与导数；函数的极值与导数【答案解析】解：（）在内单调递增，在内恒成立，即在内恒成立，即在内恒成立又函数在上单调递增，（）考查的单调
18、性，令，即或，即 或（）单调递增，设方程的根为若，则不等式组（）的解集为和，此时在和上单调递增，在上单调递减，与在处取极小值矛盾；若，则不等式组（）的解集为和，此时在上单调递增，与 在处取极小值矛盾；若，则不等式组（）的解集为和，此时在和上单调递增，在上单调递减，满足在处取极小值，由单调性，综上所述，【思路点拨】（）在内单调递增等价于在内恒成立，根据导数的求导公式及法则求得，则在内恒成立，即在内恒成立，求出的最小值，即可；（）在出取得极小值，则在左侧为负，右侧为正，考察的解集，由单调递增，讨论的根的情况，当或时，都不符合条件，所以，由单调性得。（21）（本小题满分12分） 如题（21）图所示，
19、离心率为的椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆内一点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足，其中为常数，过点P作AB的平行线交椭圆于M、N两点 （I）求椭圆的方程； （）若点P（l，1），求直线MN的方程，并证明点P平分线段MN【知识点】椭圆的性质和标准方程；直线和椭圆的位置关系【答案解析】解：（）由题得，联立 解得，椭圆方程为（）方法一：设，由可得.点在椭圆上，故整理得：又点在椭圆上可知，故有由，同理可得 -得：，即又，故直线的方程为：，即.由可得：是的中点，即点平分线段（）方法二：，即在梯形中，设中点为，中点为，过作的平行线交于点与面积相等，三点共线设， 两式相减得
20、，显然，（否则垂直于轴，因不在轴上，此时不可能垂直于轴保持与平行）且（否则平行于轴或经过原点，此时，三点不可能共线）设直线斜率为，直线斜率为，即 设直线斜率为，直线斜率为同理，又，即三点共线四点共线，代入得 直线的方程为 即联立得点平分线段【思路点拨】（）由离心率为得，由椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3，得，再联立，解出即可；（）方法一：设，由，可得C的坐标利用C，A在椭圆上，可得，同理，两式联立，求出AB的斜率，可得MN的斜率与方程，与椭圆方程联立，即可得到结论；方法二：由，可得，设，由A,B在椭圆上，可得，设中点为，中点为，可证，三点共线，设直线斜率为，直线斜率为，则，同理，所以，即三点共线，所以四点共线，代回可得，求出AB的斜率，可得MN的斜率与方程，与椭圆方程联立，即可得到结论
