1、第4讲不等式的证明及著名不等式 分层A级基础达标演练(时间：40分钟满分：80分)1已知x0，求函数yx(1x2)的最大值解yx(1x2)，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).2x2(1x2)(1x2)2，y23.当且仅当2x21x2，即x时取等号y.y的最大值为.2设a，b，c为正数，且abc1，求证：9.证明法一构造两组数：，；，.因此根据柯西不等式有()2()2()22.即(abc)329.(当且仅当，即abc时取等号)又abc1，所以9.法二a，b，c均为正数，1abc3.又3，1339.即9.3设x，y，zR，若x2y2z24，求x2y2z的最小值；并求此时的x，y，z值
2、解(x2y2z)2(x2y2z2)12(2)2224936，x2y2z最小值为6，此时.又x2y2z24，x，y，z.4已知abc1，ma2b2c2，求m的最小值解法一abc1，a2b2c22ab2bc2ac1，又a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，2(a2b2c2)2ab2ac2bc，1a2b2c22ab2bc2ac3(a2b2c2)a2b2c2.当且仅当abc时，取等号，mmin.法二利用柯西不等式(121212)(a2b2c2)(1a1b1c)abc1.a2b2c2，当且仅当abc时，等号成立mmin5已知x2y3z1，求x2y2z2的最小值解由柯西不等式，有(x2y2z2)
3、(122232)(x2y3z)21，x2y2z2，当且仅当时取等号即x，y，z时，x2y2z2取最小值.6(2010辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立解a、b、c均为正数，由均值不等式得a2b2c23(abc)，3(abc)，29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立即当且仅当abc3时，原式等号成立7已知x、y、zR，且xyz1，求证：36.证明法一代入法(xyz)(xyz)(xyz) 14 14461
4、236.当且仅当y2x，z3x，即x，y，z时，等号成立法二利用柯西不等式由于(xyz)236.所以36.当且仅当x2y2z2，即x，y，z时，等号成立8(2011浙江三校调研)若正数a，b，c满足abc1，求的最小值解因为正数a，b，c满足abc1，所以(3a2)(3b2)(3c2)(111)2，即1，当且仅当3a23b23c2，即abc时，原式取最小值1.分层B级创新能力提升1已知a，bR，且ab1，求()2的最大值解()2(11)2(1212)()2()224(ab)22(412)12.故所求最大值为12.2(2013镇江中学二模)已知a、b都是正实数，且ab2.求证：(12a)(1b)
5、9.证明法一因为a、b都是正实数，且ab2，所以2ab24.所以(12a)(1b)12ab2ab9.法二因为a、b都是正实数，所以由柯西不等式可知(12a)(1b)12()212()2(1)2.又ab2，所以(1)29.所以(12a)(1b)9.法三因为ab2，所以(12a)(1b)(12a)52.因为a为正实数，所以a2 2.所以(12a)(1b)9.法四因为a、b都是正实数，所以(12a)(1b)(1aa)339.又ab2，所以(12a)(1b)9.3(2012宁波模拟)已知an(nN*)，求证：ann，an123n.，an(23n).综上得：an0，b0.(1)求证：9；(2)求(52a)24b2(ab)2的最小值(1)证明因为a0，b0，所以ab330，同理可证：a230.由及不等式的性质，得339.(2)解(52a)24b2(ab)2121222(52a)12b1(ab)22.所以(52a)24b2(ab)2.当且仅当时取等号，即a，b.所以当a，b时，(52a)24b2(ab)2取最小值.
