1、江苏省扬州中学高三年级周练数学试卷 2012.12.22一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案直接写在答题纸上)1集合，若，则实数的值为 2在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，则中间一组的频数为 . 3. 从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_。 4曲线在点（1，2）处的切线方程是 5.在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数 6设向量a，b满足：，则 7正方体中，是的中点，则四棱锥的体积为_ _ 8.已知锐角的
2、终边经过点,则 . 9. 观察下列不等式：， ，由此猜测第个不等式为 （）10将正偶数按如图所示的规律排列：2468101214161820则第n（n4）行从左向右的第4个数为 11.P是椭圆上的一点，F是椭圆左焦点，且，则点P到左准线的距离 。12在斜三角形中，角所对的边分别为，若，则 13在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得=，则的取值范围是 14已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上若正方形唯一确定，则的值为 二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在中，角的对边分
3、别为，且满足.（1）求角的大小；20070316（2）设取最小值时，求值.16 (本小题满分14分)D CB AE P（第16题图）目如图，在四棱锥中，为的中点 求证：（1）平面；（2）平面17.（本题满分15分）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.求关于的函数关系式，并指出其定义域；要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面
4、的外周长最小）？求此时外周长的值.18.（本小题满分15分）已知半椭圆和半圆组成曲线，其中；如图，半椭圆内切于矩形，且交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大。（1）求曲线的方程；（2）连、交分别于点，求证：为定值。19. (本小题满分16分) 已知函数（，实数，为常数）（1）若（），且函数在上的最小值为0，求的值；（2）若对于任意的实数，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n) 20(本小题满分16分)已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列（1）若数列的前项和为,且,求整数的值；（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以
5、表示为该数列中连续项的和？请说明理由；（3）若（其中，且（）是（）的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项. 考试号_ 学号_ 班级_ 姓名_ 密封线内不要答题数学附加题试卷1. 已知矩阵(1)计算；(2) 若矩阵把直线：+2=0变为直线，求直线的方程2.已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（tR）交于A、B两点求证：OAOB3. 一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是现从袋中任意摸出2个球 （1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球
6、的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?4. 设数列an满足a1a，an1an2a1，（1）当a（，2）时，求证：M；（2）当a（0，时，求证：aM；（3）当a（，）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论 考试号_ 学号_ 班级_ 姓名_ 密封线内不要答题高三周练数学试卷答题纸 2012.12.221 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15（14分）D CB AE P（第16题图）目16（14分） 17（15分）18（15分）19（16分）（请将20题解答写在答题纸反面）答案1. 2.
7、 50 3. 4. 5.2 6.2 7. 8. 9. 10. 11. 12. 3 13. 14. 15.（1），所以 7分（2）所以时取最小值，FPEABCD16.证明：（1）取中点，连结，为中点，且=且，且=四边形为平行四边形 平面，平面，平面. （2），平面平面，为的中点，平面. 17解：，其中， ，得， 由，得； -6分得 腰长的范围是 -10分，当并且仅当，即时等号成立外周长的最小值为米，此时腰长为米。 -15分18解：（1）已知点在半圆上，所以，又，所以， （2分）当半圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，此时的面积取得最大值，故半圆在点处的切线与直线平行，所以，又，所以，
8、又，所以，（4分）所以曲线的方程为或。 （6分）（2）点，点，设，则有直线的方程为，令，得，所以； （9分）直线的方程为，令，得，所以； （12分）则，又由，得，代入上式得，所以为定值。 15分20解：（1）当时，则令，得（舍），3分 当1时，1-0+当时, 令，得 5分当时，0在上恒成立，在上为增函数，当时, 令，得（舍） 综上所述，所求为7分(2) 对于任意的实数，在区间上总是减函数，则对于x，0， 9分设g(x)=，g(x)在区间1,3上恒成立由g(x)二次项系数为正，得 即 亦即 12分 =， 当n6时，m，当n6时，m，14分 当n6时，h(n)= ，当n6时，h(n)= ， 即 1
9、6分20.解：（1）由题意知，所以由，3分。解得，又为整数，所以5分（2）假设数列中存在一项，满足，因为，（*）8分 又=，所以，此与（*）式矛盾. 所以，这要的项不存在11分（3）由，得，则 12分 又， 从而，因为，所以，故. 又,且（）是（）的约数,所以是整数,且14分对于数列中任一项（这里只要讨论的情形），有，由于是正整数，所以一定是数列的项16分附加答案1. 解: ()= ； 4分() 任取直线上一点（，）经矩阵变换后为点， 则， 代入+2=0得：直线的方程为 10分2.解：曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程是抛物线，4分设，将这两个方程联立，消去，得， ，10分3.解：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则1分，设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则， 或(舍) 红球的个数为(个)3分随机变量的取值为0，1，2，分布列是012的数学期望 6分（2）设袋中有黑球个，则）设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，则， 8分当时，最大，最大值为10分4.证明：（1）如果，则，2分（2） 当 时，（）事实上，当时， 假设时成立（），则时由归纳假设，对任意nN*，|an|2，所以aM6分 （3） 当时，证明如下：对于任意，且对于任意， 则所以，当时，即，因此10分
