1、 新高考学科基地秘卷命题组 数学试卷 第 1 页（共 6 页）本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡 上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案 不能答在试卷上。3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4
2、 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1 已知全集为 U，集合 A，B 为 U 的非空真子集，UUABB，则UBA AA BB C DU 2 已知复数 z 满足1(1i)2z，则复数 z 在复平面内对应的点 Z 所在区域的面积为 A B2 C3 D4 3 如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓为正四棱台，已知该四棱台的上底面 棱长为 40 cm，下底面棱长为 20 cm，侧棱长为 20 cm，则该款粉碎机进物仓的体积为 A14000 3 cm3 B 2
3、8000 2 cm3 C 560003cm3 D 28000 23cm3 4 圆22:(1)4C xy被直线10 xty 截得的最短弦长为 A 2 3 B 2 2 C3 D2 新高考学科基地秘卷命题组 数学试卷 第 2 页（共 6 页）5 已知函数()cos(0)6f xx在区间0 6，上无极值，则 的取值范围是 A0 5，B0 5，C50 2，D50 2，6 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一在 2022 年虎 年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图
4、 1）已知正方形 ABCD 的边长为 2，中心为 O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图 2）若点 P 在四个半圆的圆弧上运动，则 AC OP 的取值范围是 A2 2，B4 4，C2 22 2 22，D2121，7 某国家级示范高职院校为做好春季高考招生工作，决定邀请省内部分高中优秀高三学生到校进行职业生涯体验若育才高中将获得的 6 个体验名额随机分配给高三年级 4个班级，则每个班均获得体验名额的概率为 A 6584 B 542 C 195512 D 165256 8 已知ln2a，1eb，2(4ln 4)ec，则 a b c，的大小关系为 A acb Bcab C abc D
5、bac 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。ABCDOP（图 1）（图 2）新高考学科基地秘卷命题组 数学试卷 第 3 页（共 6 页）9 已知00ab，且2ab，则 A 24a b B22112ab Clglg0ab D24bab 10已知双曲线2222:1sintanyxC，0 2，则 A双曲线C 过定点(1 1)，B双曲线C 的渐近线的倾斜角大于 45 C双曲线C 的离心率小于3 D双曲线C 的离心率大于2 11已知函数sin()kkk xfxx，(0)x，k
6、N，则 A函数()kfx 的图象关于直线2x 对称 B函数()kfx 在区间(0)，上单调递减 C函数()kfx 在区间(0)，上的值域为(0 1)，D1)()kkffxx 12设正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，P 为底面正方形 ABCD 内（含边界）的一动点，则 A存在点 P，使得1A P 平面11B CD B当 PCPD 时，21A P 的最小值是102 5 C若1APC的面积为 1，则动点 P 的轨迹是抛物线的一部分 D若三棱锥111PA B C的外接球表面积为 414，则动点 P 的轨迹围成图形的面积为 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13
7、定义在 R 上的函数()f x 满足(2)()fxf x已知当0 x 时，()4xf x，则 2(log 5)f _ 新高考学科基地秘卷命题组 数学试卷 第 4 页（共 6 页）14已知8axx的二项展开式中2x 项的系数为 56，则该展开式中各项系数之和为_ 15已知三次函数()yf x，1x，数列na满足()naf nnN，给出下列两个 条件：函数()f x 是递减函数；数列na是递减数列 试写出一个满足条件但不满足条件的函数()f x 的解析式()f x _ 16抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，过 F 的直线交 C 于 A，B 两点，C 在 A，B 两点处的切线交于点(2
8、2 2)P ，则 p _；弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离 为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sinsin2BCbaB（1）求角 A；（2）若6b，BC 边上的高为 3 32，求c 18（12 分）随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准已知某公司生产不同规格的一种产品，根据检测精度的标准，其合格产品的质量 y（g）与尺寸 x（mm）之间近似满足关系式byc x（b c，为大于
9、0 的常数）现随机从中抽取 6 件合格产品，测得数据如下：尺寸 x（mm）38 48 58 68 78 88 质量 y（g）16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 根据测得数据作出如下处理：令lniivx，lniiuy，得相关统计量的值如下表：61iiiv u 61iiv 61iiu 621iiv 75.3 24.6 18.3 101.4 新高考学科基地秘卷命题组 数学试卷 第 5 页（共 6 页）（1）根据所给统计数据，求 y 关于 x 的回归方程；（2）若从一批该产品中抽取 n 件进行检测，已知检测结果的误差n 满足20nNn，求至少需要抽取多少件该产品，才能使误差n 在(
10、0.1 0.1)，的概率不少于 0.9545？附：对于样本(iv，)(1iui ，2，)n，其回归直线ub va 的斜率和截距的最小 二乘估计公式分别为：1122211()()nniiiiinniiiivvv unvubvuvnv，aubv ，e2.7182 2XN ，则|20.9545PX 19（12 分）已知正项数列na中，11a ，nS 是其前 n 项和，且满足211()nnSSS （1）求数列na的通项公式；（2）已知数列nb满足111(1)nnnnnaba a，设数列nb的前 n 项和为nT，求nT 的最小值 20（12 分）如图，三棱锥 PABC中，平面 PAB 平面 ABC，PA
11、PB，90APBACB ，点 E，F 分别是 AB，PB 的中点，点G 是BCE的重心（1）求证：平面 EFG平面 PAC；（2）若2ABBC，求二面角 BEFG的余弦值 A B C P F E G 新高考学科基地秘卷命题组 数学试卷 第 6 页（共 6 页）21（12 分）已知椭圆2222:1(0)yxEabab的长轴长为 4，12FF，为 E 的左、右焦点，M 为 E 上一动点，当12MF F的面积最大时，其内切圆半径为 3b （1）求 E 的标准方程；（2）过点1F 作斜率之和为 3 的两条直线 12ll，1l 与 E 交于点 A，B，2l 与 E 交于点 C，D，线段 AB，CD 的中
12、点分别为 P，Q，过点1F 作1F HPQ，垂足为 H 试问：是否存在定点T，使得线段TH 的长度为定值 22（12 分）已知函数()ecosxf xxx（1）讨论函数()f x 在2，上极值点的个数；（2）当0 x，时，2()3sinln(1)fxxmx，其中()fx为()f x 的导函数，求实数 m 的取值范围 新高考学科基地秘卷命题组 数学参考答案 第 1 页（共 6 页）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。14 B C D B 58 A C B A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。9 AC 10ABD 11BCD 12ABD 三、填空
13、题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 1625 14256 15322xx 164，4 注：15 题可设()()()fxa xb xcd，满足012abcc，(1)(2)ff）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）【解】（1）因为 sinsin2BCbaB，由正弦定理得sinsinsinsin2BCBAB，因为0B，所以sin0B，所以sinsin2BCA 2 分 又因为 BCA，所以cos2sincos222AAA，因为0A，022A，所以cos02A，所以1sin 22A，4 分 所以26A，即3A 5 分（
14、2）由条件，ABC中 BC 边上的高为3 32h，因为11sin22ABCSbcAa h，且6b，3sin2A，所以33 31162222ca ，解得2ac 8 分 所以由余弦定理2222cosabcbcA，则2221(2)6262ccc ，解得131c 10 分 新高考学科基地秘卷命题组 数学参考答案 第 2 页（共 6 页）18（12 分）【解】（1）由(0)byc x b c，得 lnlnlnycbx，由lniivx，lniiuy，得ub va，且lnac，则275.324.6 18.360.2710.542101.424.66b，3 分 1(18.324.6)612aubv，得 ln1
15、ac，故ec 所以 y 关于 x 的回归方程为12eyx 6 分（2）要使误差n 在(0.1 0.1)，的概率不少于 0.9545，则(22)(0.1 0.1)，且0，2n，9 分 所以20.12 n，解得800n 12 分 19（12 分）【解】（1）正项数列na，11a ，满足2+11()nnSSS 所以+11nnSS，所以数列nS是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 2 分 所以11nSnn ，所以2nSn 3 分 当2n 时，221(1)21nnnaSSnnn，当1n 时也成立，所以21nan 5 分（2）因为111(1)nnnnnaba a 11(1)211(1)()(21)(21
16、)22121nnnnnnn，7 分 所以 11111111+123352121nnTnn 11111221nn 新高考学科基地秘卷命题组 数学参考答案 第 3 页（共 6 页）所以当 n 为奇数时，111(1)2212nTn；9 分 当 n 为偶数时，11(1)221nTn，由 nT递增，得225nTT 所以nT 的最小值为 25 12 分 20（12 分）【证】（1）连结 EG 并延长交 BC 于点 D 因为点G 是BCE的重心，所以点 D 是 BC 的中点，所以 D，E，F 分别是棱CB，AB，PB 的中点，所以 DEAC，EFAP 2 分 因为 DE，EF 平面 PAC，AC，AP 平面
17、 PAC，所以 DE平面 PAC，EF平面 PAC 因为 DE，EF 平面 EFG，DEEFE，所以平面 EFG平面 PAC 5 分【解】（2）由（1）知，二面角 BEFG与二面角 BAPC的大小相等 连结 PE，因为 PAPB，E 是 AB 的中点，所以 PEAB 因为平面 PAB 平面 ABC，平面 PAB 平面 ABCAB，PE 平面 PAB，所以 PE 平面 ABC 7 分 以 E 为坐标原点，以 EB EP，所在直线分别为 y 轴，z 轴，以与 EB EP，垂直的 方向为 x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz 设2AB，则1BC ，31(0 0 1)(01 0)(0 1 0
18、)(0)22PABC，所以(0 1 1)AP，33(0)22AC，(0 2 0)AB，则平面 ABP 的一个法向量为(1 0 0)，m 8 分 设平面 APC 的一个法向量为()x y z，n，则00APAC ，nn 即033022yzxy，令3x，得11yz，A B C P F E G D z x y 新高考学科基地秘卷命题组 数学参考答案 第 4 页（共 6 页）所以(31 1)，n 10 分 设二面角 BAPC的大小为，则315cos55m nmn 因为二面角 BAPC为锐二面角，所以15cos5，所以二面角 BEFG的余弦值为155 12 分 注：第二问传统方法求解，同样按步给分 21
19、（12 分）【解】（1）设椭圆的焦距为 2c，由12MF F的面积最大时，其内切圆半径为 3b，得 112(22)223bc bac，化简可得12ca 2 分 因为椭圆的长轴长为 4，所以 24a，故2a，所以1c ，则2223bac，所以椭圆的标准方程为22143yx 4 分（2）设直线 PQ 的方程为 ykxm，直线 AB 的方程为1(1)yk x，直线 CD 的方程为2(1)ykx，由1(1)yk xykxm，得11Pmkxkk，由122(1)143yk xyx，得2222111(34)84120kxk xk 设1122()()A x yB xy，则2121214234Pxxkxk，所以
20、211211434kmkkkk，6 分 化简得2114()330km kkm 新高考学科基地秘卷命题组 数学参考答案 第 5 页（共 6 页）同理2224()330km kkm，所以12k k，为方程24()330km xxm的两根，8 分 所以1234()kkkm 又123kk，所以14km，所以直线 PQ 的方程为11(1)44ymx，故直线 PQ 恒过定点 14H-1，10 分 因为 F1，H 为定点，又 F1EPQ，所以当 T11 8，为 F1H 中点时，ET 为定值 12 分 22（12 分）【解】（1）因为()ecosxf xxx，所以()esin1xfxx，记()esin1xg
21、xx，则()ecosxg xx 当2x，时，函数()ecosxg xx单调递增，又()e10g ，2()e02g，故存在唯一实数02x ，使得0()0g x，此时 因为2()e10()e202gg，所以()g x 在2x，无零点，即()fx无零点，所以 f(x)在2，上无极值点 3 分 当 2 2x，时，()ecos0 xg xx，所以函数()g x 单调递增，即函数()fx单调递增 x 0()x，x0 0()2x，()g x 0+()g x 极小值 新高考学科基地秘卷命题组 数学参考答案 第 6 页（共 6 页）又(0)0f，此时 所以0 x 为 f(x)的极小值点，所以函数 f(x)在 2
22、，上的极值点的个数为 1 个 5 分（2）因为()esin1xfxx，2()3sinln(1)fxxmx，所以 2eln(1)sin20 xmxx 令()2eln(1)2sinxh xmxx，则()2ecos1xmh xxx 当0m时，2ecos0 xx，01mx ，所以()0h x，所以()h x 在(0)，上单调递增，故()(0)0h xh，所以0m 7 分 当0m 时，()2ecos1xmh xxx，2()2esin0(1)xmhxxx 恒成立，所以()h x在0 x，上为增函数，即()(0)1h xhm 当 10m时，()0h x，所以()h x 在(0)，上单调递增，()(0)0h xh，所以 10m 当1m 时，(0)10hm，()2e11mh，若()0h，即(1)(2e1)m，此时()0h 恒成立，所以(0)x，时，()0h x恒成立，()(0)0h xh，不合题意；若()0h，即(1)(2e1)1m-，此时存在00 x，使得0000()2ecos01xmh xxx，当00 xx，时，()0h x恒成立，所以()(0)0h xh，不合题意 综上，实数 m 的取值范围为 1，)12 分 x (0)2，0(0)2，()fx 0+()f x 极小值
