1、数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率是A. B. C. D. 3. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B. 4C. D. 84. 明朝的程大位在算法统宗中年，有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知它的意思是说：求某个数正整数的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值孙子算经上有一道极其有名的“物不知数
2、”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件A. 21B. 22C. 23D. 245. 函数的图象大致为A. B. C. D. 6. 若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D. 7. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则A. b的最小值为4B. b的最小值为6C. b的最小值为8D. b的最小值为109. 如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确
3、的是A. 是定值B. 是定值C. 是定值D. 是定值10. 对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 复数为虚数单位，则_12. 在数列中，为它的前n项和，已知，且数列是等比数列，则_13. 二项式的展开式的各项系数之和为_，的系数为_14. 已知直线l：，若直线l与直线平行，则m的值为_，动直线l被圆截得的弦长最短为_15. 已知随机变量X的分布列如表：X02aPb其中，且，则_，_16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若，则双曲线离心率e等于_17. 已知函数
4、，则实数a的取值范围是_三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知求的值；若的面积，求a的值19. 如图，已知四棱锥，正三角形ABC与正三角形ABE所在平面互相垂直，平面ADE，且，求证：；若，求CF与平面ABE所成角的正弦值20. 已知数列的前n项和，且写出，的值，并求出数列的通项公式；设，为数列的前n项和；求证：21. 如图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B求直线AB与y轴的交点坐标；若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点C，D，记，问是否为定值？若
5、是求出该定值；若不是请说明理由22. 已知，当时，判断函数的单调性；当时，记的两个极值点为，若不等式恒成立，求实数的值答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合，；，则故选：A先求出A的补集以及集合B，进而求得结论本题主要考查集合之间的基本关系，属于基础题目2.【答案】B【解析】解：椭圆方程为，故椭圆的离心率，故选：B由椭圆方程可得，从而求椭圆的离心率即可本题考查了椭圆的定义及离心率的求法，属于基础题3.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以故选：C首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要
6、考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型4.【答案】C【解析】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：，或者为正整数这堆物品至少有23，故选：C根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案本
7、题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题5.【答案】D【解析】解：函数的定义域为，且，则函数为偶函数，排除B；由排除C；当时，排除A，故选：D判断函数的奇偶性排除B；由排除C；再由时，排除A，则答案可求本题考查函数的图象及图象变换，考查函数奇偶性的性质，是基础题6.【答案】A【解析】解：画出实数x，y满足约束条件的平面区域，如图示：目标函数化为：，当目标函数过时z取最大值15，当目标函数过时z取最小值，则的取值范围是：故选：A画出满足条件的平面区域，结合图象求出目标函数的范围即可本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思
8、想以及转化思想，是一道常规题7.【答案】A【解析】解：，当且仅当时取“”，若，则即故“”是“”的充分条件；又当时，取，则，这说明，故“”不是“”的必要条件所以“”是“”的充分不必要条件故选：A先借助于基本不等式考虑“”是“”的什么条件，再研究“”是“”的什么条件，进而判断充要性本题借助于基本不等式考查充要性，属于基础题8.【答案】B【解析】解：由题意可得，可得等价为，又时，不等式显然成立，只需考虑，可得，由任意，即，可得即对恒成立，由在递增，可得函数y在处取得最大值6，则，又即对恒成立，而在的最小值为处取得，可得最小值为，可得，则，故由可得，即b的最小值为6，故选：B由题意可得原不等式等价为，
9、若，此不等式显然成立；考虑，转化为，考虑a的范围和x的范围，分离参数b，结合二次函数的最值求法，可得b的最小值本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题9.【答案】C【解析】解：如图：建立平面直角坐标系，并设正方形边长为2a，圆的半径为r，且，然后设，对于A，原式定值，故A结论成立；对于B，原式定值，故结论B成立；对于D，原式定值，故结论D成立对于C，取时，原式，再取时，原式显然两式不相等故C结论不成立故选：C如图：建立平面直角坐标系，并设正方形边长为2a，圆的半径为r，且，然后设，正方形的四个顶点坐标易给，则将坐标分别代入四个选
10、项判断即可本题考查平面向量的综合应用，建系设点可以使问题便于思考，本题计算量太大，要注意计算的准确性属于中档题10.【答案】D【解析】解：对任意的，不等式恒成立，即恒成立，函数与函数互为反函数，又时，原问题等价于恒成立，则，即在恒成立，设，则，令，解得，当时，递减，时，递增，则，故即故选：D依题意，结合互为反函数的性质，可得对任意的，令，求其最大值即可本题考查反函数的运用及利用导数研究函数在闭区间上的最值，属于中档题11.【答案】【解析】解：，故答案为：由已知直接利用及商的模等于模的商求解本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题12.【答案】【解析】解：，且数列是等比数列，由等比数
11、列的通项公式可得，所以，故答案为：，由已知结合等比数列的通项公式可求，然后结合等差与等比数列的求和公式，结合分组求和方法可求本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式及分组求和方法的应用，属于中档试题13.【答案】 【解析】解：令，可得二项式的展开式的各项系数之和为，它的通项公式为，令，求得，故的系数为，故答案为：，令，可得二项式展开式的各项系数之和；根据二项展开式的通项公式求得的系数本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14.【答案】 【解析】解：因为两直线平行，所以，解得，当时，两直线重合，所以；圆方程整理为：，圆心坐标为，半径，当过的直线与P与圆
12、心的连线垂直时，直线l被圆截得弦长最小，为故答案为：；由两直线平行与系数的关系列式求得m值；动直线过定点P，画出直线与圆，由图可知，当过的直线与P与圆心的连线垂直时，直线l被圆截得弦长最小，再由垂径定理求解本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15.【答案】 24【解析】解：由随机变量X的分布列，知：，解得，解得，故答案为：，24由随机变量X的分布列，求出，由，求出，从而求出，再由，能求出结果本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16.【答案】【解析】解：设，则，由于双曲线在M点的切线方程为：，即在M点切线的
13、斜率，因为，所以，所以，又，所以，可得离心率，故答案为：设M的坐标可得直线OM的斜率，再由双曲线在M的切线方程可得切线的斜率，由题意两个斜率之积的值求出a，b的关系，再由a，b，c的关系求出a，c的关系，进而求出双曲线的离心率本题考查双曲线在某点的切线方程的写法及双曲线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17.【答案】或【解析】解：方法一：设，由题意方程的存在实根，且都在函数的对称轴右侧含对称轴因此有；解得或方法二：设，是方程的两个实根，则由题意，对任意时，即，即，解得：或故答案为：或方法一：设，由题意方程的存在实根，且都在函数的对称轴右侧含对称轴因此有；解出即可得出解法二：设，是方程
14、的两个实根，则，由题意，对任意时，即，利用根与系数的关系、不等式的解法即可得出本题考查了函数的性质、方程与不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.【答案】解：，由可得：；又，可得；所以【解析】由已知结合两角差的正切公式可求tanA，然后结合同角平方关系及商的关系进行化简可求；结合可求sinA，cosA，然后结合三角形的面积公式可求b，再利用余弦定理可求本题主要考查了两角差的三角公式，同角基本关系及三角形的面积公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题19.【答案】解：证明：因为平面ADE，平面BCED，且平面平面，分所以分解法1：如图所示建立空间直角坐标系
15、，设各点的坐标分别为0，0，分所以，所以，分所以，所以分所以，因为面ABE的一个法向量是分设CF与平面ABE所成的角为，则所以分解法2：如图所示，延长CD，BE交于P，连接PA，延长CF交AP于G，显然G为PA的中点，面ABE，分所以即为CF与平面ABE所成的角分因为，所以，分所以分【解析】由平面ADE，根据线面平行的性质定理即可证明解法如图所示建立空间直角坐标系，设，利用，可得点F坐标取平面ABE的一个法向量是，设CF与平面ABE所成的角为，利用即可得出解法如图所示，延长CD，BE交于P，连接PA，延长CF交AP于G，显然G为PA的中点，面ABE，可得即为CF与平面ABE所成的角，利用直角三
16、角形的边角关系即可得出本题考查了线面平行的性质定理、法向量的应用、向量夹角公式、线面角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.【答案】解：由题意，当时，整理，得，解得，或，当时，整理，得，解得舍去，或当时，整理，得，解得舍去，或，当时，整理，得，即数列是以2为首项，2为公差的等差数列，由知，则，另一方面，故得证【解析】本题第题分别将，2，3依次代入题干中表达式可计算出，的值，当时，运用公式代入进行转化计算可发现数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式；第题先根据第题的结果计算出的表达式，以及数列的通项公式，然后对通项公式进行放缩，均值不等式放缩，
17、然后分别代入求和即可证明不等式成立本题主要考查数列求通项公式，以及数列与不等式的综合问题考查了转化与化归思想，方程思想，放缩法的应用，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题21.【答案】解：设，过A点的切线方程为，过B点的切线方程为，联立这两个方程可得，又，所以直线AB的方程为：，化简得，令，直线AB过点；记，设，记，则，同理，于是，【解析】设切点A，B的坐标，由题意可得在A，B处的切线的方程，联立两条直线的方程可得交点M的坐标，求出直线AB的斜率及方程，化简令可得直线恒过定点；由可得M的坐标，同理可得C，D的横坐标，求出，的表达式可得，同理可得，求出，的表达式可得由2倍
18、关系本题考查在抛物线的切点的切线方程的求法及直线与抛物线的综合应用，属于中难题22.【答案】解：当时，所以，令，得，所以，x00单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以单调递减区间为，单调递增区间为，因为，所以，为方程化简后即的两相异根，此时，所以，所以可以转化为，因为，所以上式可化为，化简得：，当时，所以恒成立，因为此时所以；当时，所以显然恒成立，即；当时，所以恒成立，因为此时，所以；综上可知：【解析】把代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；结合极值存在的条件可转化为二次方程的根的分布，然后结合不等式及函数的性质进行求解即可本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及导数与函数的综合应用，考查了学生分析解决问题的能力版权所有：高考资源网()
