1、第四节垂直关系1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l1证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面
2、垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误试一试1“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件2若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是()A若，m，则mB若mn，m，则nC若m，m，则D若m，且n与，所成的角相等，则mn解析：选D容易判定选项A、B、C都正确，对于选项D，当直线m与n平行时，直线n与两平面，所成的角也相等，均
3、为0，故D不正确3若平面平面，平面平面直线l，则()A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线l的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线lD垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直解析：选D对于A，与可以相交，B中l与可以垂直、斜交、平行或在平面内，对于C，垂直于的平面与l平行或相交故选D.1转化与化归思想垂直关系2判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质3判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂
4、直的性质：a，bab；(3)线面垂直的性质：a，bab.4判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.练一练1.如图，O为正方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1DBAA1CA1D1 DA1C1解析：选D由题易知，A1C1平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，A1C1B1O.2已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.当满足条件_时，有m.(填所选条件的序号)解析：若m，则m.故填.答案：考点一垂直关系的基本问题1(2014郑州模拟)设，分别为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成
5、立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件，选A.2(2013合肥模拟)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，有以下四个命题mm其中正确的命题是()A BC D解析：选C对于，直线m与平面可能平行或相交；对于，直线m可能也在平面内而都是正确的命题，故选C.3如图，PAO所在平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PBC，其中真命题的序号是_解析：AE平面PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正
6、确，AEPB，AFPBEFPB，故正确，若AFBCAF平面PBC，则AFAE与已知矛盾，故错误，由可知正确答案：类题通法解决此类问题常用的方法(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；(2)否定命题时只需举一个反例；(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选考点二线面垂直的判定与性质典例(2013重庆高考)如图，四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，PA2，BCCD2，ACBACD.(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥P BDF的体积解(1)证明：因为BCCD，所以BCD为等腰三角形又ACBACD，故BDAC.因为PA底面A
7、BCD，所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)三棱锥P BCD的底面BCD的面积SBCDBCCDsinBCD22sin .由PA底面ABCD，得VP BCDSBCDPA22.由PF7FC，得三棱锥F BCD的高为PA，故VF BCDSBCDPA2.所以VP BDFVP BCDVF BCD2.类题通法1解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础2由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间
8、垂直关系难点的技巧所在针对训练如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点(1)求证：直线AE直线DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE平面DFG.解：(1)证明：连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1AD1，DA1AB，又ABAD1A，DA1平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，DA1AE.(2)所示G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AEDA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEHH，可证DF平面AHE，AE平面AHE，DFAE.又DFA1DD，AE平面DFA1，即AE平面DFG.考点三面面垂直的判定
9、与性质典例(2013山东高考)如图，四棱锥P ABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN.证明(1)法一：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD，因此四边形DCEH是平行四边形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD.法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面P
10、AD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)证明：因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.类题通法1两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形2由平面和平面垂直的判定定理可知，要证明平面与平面垂直
11、，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直3平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l，l，缺一不可针对训练已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，且ADAA1，点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点(1)求证：MF平面ABCD；(2)求证：平面AFC1平面ACC1A1.证明：(1)如图，延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.F是BB1的中点，F为C1N的中点，B为CN的中点又M是线段AC1的中点，MFAN.又MF平面ABCD，AN平面ABCD，MF平面ABCD.(2)连接BD，由题知A1A平面ABCD，又BD平面ABCD，A1ABD.四边形ABCD为
12、菱形，ACBD.又ACA1AA，AC平面ACC1A1，A1A平面ACC1A1，BD平面ACC1A1.在四边形DANB中，DABN，且DABN，四边形DANB为平行四边形NABD，NA平面ACC1A1.又NA平面AFC1，平面AFC1平面ACC1A1.考点四平行与垂直的综合问题空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题角度有：(1)以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明；(2)探索性问题中的平行与垂直问题；(3)折叠问题中的平行与垂直问题.角度一平行与垂直关系的证明1(2013广州惠州调研)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，
13、DB的中点(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求证：CFB1E.证明：(1)如图，连接BD1，在DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点，EF为DD1B的中位线，EFD1B，而D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，EF平面ABC1D1.(2)在等腰直角三角形BCD中，F为BD的中点，CFBD，在正方体ABCD A1B1C1D1中，DD1平面ABCD，CF平面ABCD，DD1CF，综合，且DD1BDD，DD1，BD平面BDD1B1，CF平面BDD1B1，而B1E平面BDD1B1，CFB1E.角度二探索性问题中的平行与垂直关系2.如图，在四棱锥S ABCD中，平面SAD平面ABCD，
14、四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点，M为BC的中点(1)求证：CD平面SAD；(2)求证：PQ平面SCD；(3)若SASD，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面SAD.(2)证明：连接PM，QM.因为Q，P，M分别为SB，AD，BC的中点所以QMSC，PMDC.因为QMPMM，QM，PM平面PQM，SCDCC，所以平面PQM平面SCD，又PQ平面PQM，所以PQ平面SCD.(3)存在点N，使得平面DMN平面ABCD.连
15、接PC，DM交于点O，连接SP.因为SASD，P为AD的中点，所以SPAD.因为平面SAD平面ABCD，所以SP平面ABCD，SPPC.在SPC中，过O点作NOPC交SC于点N，此时N为SC的中点则SPNO，则NO平面ABCD，因为NO平面DMN，所以平面DMN平面ABCD，所以存在满足条件的点N.角度三折叠问题中的平行与垂直关系3如图1，在等腰梯形CDEF中，DECD，EF2，将它沿着两条高AD，CB折叠成如图2所示的四棱锥E ABCD(E，F重合)(1)求证：BEDE；(2)设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.解：(1)证明：ADEF，ADAE，ADAB.
16、又ABAEA，AD平面ABE，ADBE.由图1和题中所给条件知，AEBE1，ABCD，AE2BE2AB2，即AEBE.又AEADA，BE平面ADE，BEDE.(2)取EC的中点G，BE的中点P，连接PM，PG，MG.则MPAE，GPCBDA，MP平面DAE，GP平面DAE.MPGPP，平面MPG平面DAE.MG平面MPG，MG平面DAE，即存在点N与G重合满足条件类题通法平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与
17、不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系课堂练通考点1(2013全国新课标卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD.与相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l，故选D.2已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直，则直线n与平面的关系是()AnBn或nCn或n与不平行 Dn解析：选Al，且l与n异面，n，又m，nm，n.3设a，b为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题
18、：(1)若a且b，则ab；(2)若a且a，则；(3)若，则一定存在平面，使得，；(4)若，则一定存在直线l，使得l，l.上面命题中，所有真命题的序号是_解析：(1)中a与b可能相交或异面，故不正确(2)垂直于同一直线的两平面平行，正确(3)中存在，使得与，都垂直(4)中只需直线l且l就可以答案：(2)(3)(4)4如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，2ACAA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点，证明：(1)AM平面BDC1；(2)DC1平面BDC.证明：(1)取BC1的中点N，连接DN，MN，则MN綊CC1.又AD綊CC1，ADMN，且ADMN，四边形ADNM为平
19、行四边形，DNAM，又DN平面BDC1，AM平面BDC1，AM平面BDC1.(2)由题设知BCCC1，BCAC，又CC1ACC，BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，DC1BC，又由题设知A1DC1ADC45，CDC190，DC1DC.又DCBCC，DC1平面BDC.课下提升考能第卷：夯基保分卷1在空间中，给出下面四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线其中正确的命题是()ABC D解析：选D易知正确；
20、对于，过两点的直线可能与平面相交；对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面故选D.2(2014南昌模拟)设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，()A不存在 B有且只有一对C有且只有两对 D有无数对解析：选D过直线a的平面有无数个，当平面与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面，当平面与b相交时，过交点作平面的垂线与b确定的平面.故选D.3已知在空间四边形ABCD中，ADBC，ADBD，且BCD是锐角三角形，则必有()A平面ABD平面ADC B平面ABD平面ABCC平面ADC平面BDC D平面ABC平面BDC解析：选CADBC，ADBD，BCBDB
21、，AD平面BDC，又AD平面ADC，平面ADC平面BDC.故选C.4.如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为()A. B1C. D2解析：选A设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可以得A1B1，设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E.由面积相等得x，得x.5.如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时
22、，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC等)6假设平面平面EF，AB，CD，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BDEF，现有下面四个条件：AC；AC与，所成的角相等；AC与BD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的是_(把你认为正确的条件序号都填上)解析：如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BDEF.故要证BDEF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有能保证这一条件
23、答案：7(2013辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心求证：QG平面PBC.证明：(1)证明：由AB是圆O的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点由Q为PA中点，得QMPC.又O为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因为
24、QG平面QMO，所以QG平面PBC.8(2013北京高考)如图，在四棱锥P ABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别为CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形所以BECD，ADCD，由(
25、1)知PA底面ABCD，所以PACD，因为PAADA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.又EFBEE，所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.第卷：提能增分卷1如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A BCF，其中BC.图1图2(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥F DEG的体积VF DEG.解：(1)证明：如图1，在等边三角形ABC中，ABAC.ADAE，DEBC
26、，DGBF，如图2，DG平面BCF，BF平面BCF，DG平面BCF.同理可证GE平面BCF.DGGEG，平面GDE平面BCF，DE平面BCF.(2)证明：如图1，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，AFFC，BFFCBC.在图2中，BC，BC2BF2FC2，BFC90，FCBF.BFAFF，CF平面ABF.(3)AD，BD，ADDB21，在图2中，AFFC，AFBF，AF平面BCF，由(1)知平面GDE平面BCF，AF平面GDE.在等边三角形ABC中，AFAB，FGAF，DGBFGE，SDGEDGEG，VF DEGSDGEFG.2如图，在三棱锥A BOC中，AO平面COB，OABOAC，AB
27、AC2，BC，D、E分别为AB、OB的中点(1)求证：CO平面AOB；(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF平面AOC，若存在，试确定F的位置；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为AO平面COB，所以AOCO，AOBO.即AOC与AOB为直角三角形又因为OABOAC，ABAC2，所以OBOC1.由OB2OC2112BC2，可知BOC为直角三角形所以COBO，又因为AOBOO，所以CO平面AOB.(2)在段线CB上存在一点F，使得平面DEF平面AOC，此时F为线段CB的中点如图，连接DF，EF，因为D、E分别为AB、OB的中点，所以DEOA.又DE平面AOC上，所以DE平面AOC.
28、因为E、F分别为OB、BC的中点，所以EFOC.又EF平面AOC，所以EF平面AOC，又EFDEE，EF平面DEF，DE平面DEF，所以平面DEF平面AOC.3如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，点D在边BC上，ADC1D.(1)求证：AD平面BCC1B1；(2)设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E平面ADC1？请给出证明解：(1)证明：在正三棱柱中，CC1平面ABC，AD平面ABC，ADCC1.又ADC1D，CC1C1DC1，CC1平面BCC1B1，C1D平面BCC1B1，AD平面BCC1B1.(2)由(1)，得ADBC.在正三角形ABC中，D是BC的中点当1，即E为B1C1的中点时，A1E平面ADC1.证明如下，作图如图所示事实上，正三棱柱ABC A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D，E分别是BC，B1C1的中点，所以B1BDE，B1BDE.又B1BAA1，且B1BAA1，DEAA1，且DEAA1.四边形ADEA1为平行四边形，EA1AD.而A1E平面ADC1，AD平面ADC1，故A1E平面ADC1.
