1、第5课时椭圆的几何性质(2) 教学过程一、 数学运用【例1】(教材第33页例2)如图(1),我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面2 384km,AB是椭圆的长轴,地球的半径约为6 371km,求卫星运行的轨道方程.1(见学生用书P23)(例1(1)处理建议引导学生先建立适当的直角坐标系,再分析题意寻求a,b,c的关系,从而求出a,b的值.规范板书解如图(2),以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,AB与地球交于C,D两点.设椭圆的方程为+
2、=1(ab0).(例1(2)由题意知AC=439,BD=2 384,F2C=F2D=6371.a-c=OA-OF2=F2A=6 371+439=6 810,a+c=OB+OF2=F2B=6 371+2 384=8 755,解得a=7 782.5,c=972.5.所以b=7 721.因此,卫星运行的轨道方程为+=1.题后反思椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.利用a,b,c之间的关系,求出a,b的值得到椭圆的方程.本题旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.【例2】已知F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若ABF2
3、为正三角形,求椭圆的离心率.(见学生用书P24)处理建议引导学生根据题意画出图形,将“ABF2为正三角形”转化为关于a,b,c的关系式,从而得到关于离心率e的方程.(例2)规范板书解设F1(-c,0),则A,所以AF1=.因为ABF2为正三角形,所以2c=,即b2=2ac,所以(a2-c2)=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-=0,解得e=或-(舍去).所以e=.题后反思求离心率的关键是能得到关于a,b,c之间的一组关系,通过化简变形得到关于的方程,将换成e解关于e的方程即可.变式1已知F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,B是椭圆的上顶点.若F1BF2为等腰直角三角形,
4、求椭圆的离心率.处理建议同例2的解题思路,强化求离心率的关键点.规范板书解根据题意可得b=c,即b2=c2,所以a2-c2=c2,即a2=2c2,所以e=.题后反思本题主要训练学生求离心率的思路和方法,并为下一个变式求离心率的范围作铺垫.变式2已知F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,B是椭圆上一点.若F1BF2为直角,求椭圆的离心率的范围.处理建议让学生思考,比较变式2与变式1的异同,加深对离心率的值和离心率的范围的认识.规范板书解法一设BF1=m,BF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2.又m2+n2,所以4c22a2,所以e2,所以e.又0e2)的左、右焦点,如果在椭圆
5、上存在一点P,使F1PF2=120,求a的取值范围.处理建议本题和变式2的解决方法完全相同,在时间允许的情况下可以让学生动手独立用两种方法完成,也可以作为课后练习.规范板书解法一设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a.因为F1PF2=120,所以=-,即=-,4a2-2mn-4c2=-mn,所以mn=4b2.因为(m+n)24mn,则4a216b2,所以2a4b,即a2b,所以a4,即a4,+).解法二设B为椭圆短轴的一个端点,根据F1BF2120,于是有a2b=4,即a4,+).题后反思本题旨在帮助学生进一步掌握对焦半径的处理方式以及椭圆上的点对两焦点的张角的最大值的理解和应用.特别强调是
6、对两焦点的张角而不是对长轴两端点的张角.*【例3】已知P为椭圆+=1(ab0)上任意一点(异于顶点),椭圆短轴的两个端点分别是B1,B2.若直线PB1,PB2分别与x轴交于点M,N,求证:OMON为定值.处理建议本题有一定难度,旨在让学生接触解析几何中的定值问题,课堂中能将上述2例讲清并给足学生充足时间做好课堂练习,教学目标就已经完成.规范板书证明设点P的坐标为(x0,y0),由题意不妨设B1(0,-b),B2(0,b),则直线PB1的方程为(y0+b)(x-x0)-x0(y-y0)=0,直线PB2的方程为(y0-b)(x-x0)-x0(y-y0)=0.因为y0b,分别令y=0,得xM=,xN
7、=-.所以OMON=|xMxN|=.因为+=1,所以b2=a2(b2-),故OMON=a2为定值.题后反思本例属于椭圆中的定值问题,根据椭圆的几何性质,充分利用点在椭圆上及椭圆的方程来解决问题,进一步理解用方程解决几何问题的思想.二、 课堂练习1.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为.提示由题意得ac=b2,所以ac=a2-c2,所以=1-,解得e=.2.已知椭圆的焦距为2,离心率不小于,则它的长轴长的取值范围是(2,4.提示由题意得c=1,e=,所以a2.又ac=1,所以2a(2,4.3.已知F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线
8、与椭圆交于A,B两点.若以AB为直径的圆恰好过点F2,求椭圆的离心率.(第3题)解如图,设F1(-c,0),则A,所以AF1=.因为以AB为直径的圆恰好过点F2,所以2c=,即b2=2ac,所以a2-c2=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-1=0,解得e=-1.4.已知F2是椭圆+=1(ab0)的右焦点,O为坐标原点,椭圆上存在一点P,使PF2=OF2,则椭圆的离心率的取值范围是.提示由题意知ca-c,所以a2c,所以e=.又e1,所以e.三、 课堂小结1.椭圆几何性质的简单应用.2.如何求椭圆的离心率及离心率的取值范围:(1) 求离心率的关键是找出a,b,c之间的一个关系式;(2) 求离心率的取值范围的关键是找出a,b,c之间的一个不等关系式,或根据题意先找不等的几何关系等.
