1、第四节函数yAsin(x)的图像及三角函数模型的简单应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx2用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A01函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3由yAsin x的图像得到yAsin(x)的图像时，需平移的单位数应为，而不是|.试一试1y2sin的振幅、频率和初相分别为()
2、A2，B2，C2， D2，答案：A2把ysinx的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到ysin x的图像，则的值为()A1 B4C. D2答案：C1由函数ysin x的图像变换得到yAsin(x)(A0，0)的图像的两种方法2学会列表技巧表中“五点”相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标练一练1要得到函数ycos(2x1)的图像，只要将函数ycos 2x的图像()A向左平移1个单位 B向右平移1个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位解析：选Cycos(2x1)cos 2，只要将函数ycos 2x的图像向左平移个单位即可2用五点法作函数ysin在一个周期内的图像时，主要
3、确定的五个点是_、_、_、_、_.答案： 考点一求函数yAsin(x)的解析式1.(2013四川高考)函数f(x)2sin(x)的部分图像如图所示，则，的值分别是()A2，B2，C4， D4，解析：选A由图知最小正周期T2，2，将图像最高点的坐标代入f(x)2sin(2x)，得sin1，选A.2(2014东北三校联考)已知函数yAsin(x)k(A0，0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2 Dy2sin2解析：选D由函数yAsin(x)k的最大值为4，最小值为0，可知k2，A2.由函数的
4、最小正周期为，可知，得4.由直线x是其图像的一条对称轴，可知4k，kZ，从而k，kZ，故满足题意的是y2sin2.类题通法确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求，确定函数的周期T，则可得；(3)求，常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图像与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图像的“峰点”)时x；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时
5、x；“第四点”(即图像的“谷点”)时x；“第五点”时x2.考点二函数yAsin(x)的图像典例已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图像作怎样的变换可得到f(x)的图像？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图(2)先把ysin x的图像向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图像本例第(2)问变为：由函数ysin x的图像作怎样的变换可得到y2sin的图像？解：把ysin x的图像上所有的点向左平移个
6、单位，得到ysin的图像，再把ysin的图像上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图像，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图像类题通法函数yAsin(x)(A0，0)的图像的两种作法(1)五点法：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像(2)图像变换法：由函数ysin x的图像通过变换得到yAsin(x)的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”提醒：五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平
7、移时两种平移的长度不同针对训练1(2013全国卷)函数ycos(2x)()的图像向右平移个单位后，与函数ysin的图像重合，则_.解析：ycos(2x)的图像向右平移个单位得到ycos的图像，整理得ycos(2x)其图像与ysin的图像重合，2k，2k.即2k.又，.答案：2(2014合肥模拟)设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图像解：(1)最小正周期T，2.fcoscossin ，sin .0，.(2)由(1)得f(x)cos，列表：x02x0f(x)1010图像如图所示考点三函数yAsin(x)的图像与性质的综合应
8、用典例(2013安徽望江中学模拟)如图是函数f(x)Asin(x)的部分图像，M，N是它与x轴的两个交点，D，C分别为它的最高点和最低点，点F(0,1)是线段MD的中点，.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间解(1)由已知F(0,1)是线段MD的中点，可知A2，(T为f(x)的最小正周期)，T，3，f(x)2sin(3x)，设D点的坐标为(xD,2)，则由已知得点M的坐标为(xD，0)，xD(xD)T，则xD，则点M的坐标为，sin0.00，0)的性质(1)奇偶性：k时，函数yAsin(x)为奇函数；k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(2)周期性：yAsin
9、(x)存在周期性，其最小周期为T.(3)单调性：根据ysin t和tx的单调性来研究，由2kx2k，kZ得单调增区间；由2kx2k，kZ得单调减区间(4)对称性：利用ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令xk(kZ)，求得x.利用ysin x的对称轴为xk(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称轴针对训练(2013安徽江南十校联考)将函数ysin x的图像向右平移个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍这样得到函数f(x)的图像若g(x)f(x)cos x.(1)将函数g(x)化成g(x)Asin(x)B其中A，0，的形式；(2)若函数g(x)在区间上的最大值为
10、2，试求0的最小值解：(1)由题意可得f(x)4sin，g(x)4sincos x4cos x2(sin xcos xcos2x)2sin.(2)x，2x，要使函数g(x)在上的最大值为2，当且仅当20，解得0.故0的最小值为.课堂练通考点1(2013浙江高考)函数f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是()A，1B，2C2，1 D2，2解析：选A由f(x)sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin，得最小正周期为，振幅为1.2(2013山东高考)将函数ysin(2x )的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为()A.
11、BC0 D解析：选B把函数ysin(2x)的图像向左平移个单位后，得到的图像的解析式是ysin ，该函数是偶函数的充要条件是k，kZ，根据选项检验可知的一个可能取值为.3.(2014渭南一模)函数ysin x(0)的部分图像如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若ABC是直角三角形，则的值为()A. BC. D解析：选A由已知得ABC是等腰直角三角形，且C90，|AB|ymaxymin1(1)2，即|AB|4，而T|AB|4，解得，故选A.4.函数yAsin(x)(A、为常数，A0，0)在闭区间，0上的图像如图所示，则_.解析：由函数yAsin(x)的图像可知：，则T.T，3.答案：35(
12、2013安徽高考)设函数f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数yf(x)的图像可由ysin x的图像经过怎样的变化得到解：(1)因为f(x)sin xsin xcos xsin xcos xsin，所以当x2k，即x2k(kZ)时，f(x)取最小值.此时x的取值集合为xx2k，kZ.(2)先将ysin x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得ysin x的图像；再将ysin x的图像上所有的点向左平移个单位，得yf(x)的图像课下提升考能第卷：夯基保分卷1(2014滨州一模)把函数ysin x的图像上所有点
13、的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移个单位，得到的函数图像的解析式是()Aycos 2x Bysin 2xCysin Dysin解析：选A由ysin x图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为ysin 2x，再向左平移个单位得ysin 2，即ycos 2x.2(2013全国大纲卷)若函数ysin(x)(0)的部分图像如图，则()A5 B4C3 D2解析：选B由函数的图像可得x0，解得4.3(2014威海高三期末)函数f(x)sin(2x)的图像向左平移个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为()A BC.
14、D.解析：选A由函数f(x)的图像向左平移个单位得f(x)sin的图像，因为是奇函数，所以k，kZ，又因为|，所以，所以f(x)sin.又x，所以2x，所以当x0时，f(x)取得最小值为.4(2013福建高考)将函数f(x)sin (2x)0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则的值可以是()A. BC. D.解析：选B因为函数f(x)的图像过点P，所以，所以f(x)sin；又函数f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到函数g(x)sin，所以sin，所以可以为.5.函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是_
15、解析：由图可知：A，所以T，2，又函数图像经过点，所以2，则，故函数的解析式为f(x)sin，所以f(0)sin.答案：6某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为_.解析：依题意知，a23，A5，y235cos，当x10时，y235cos20.5.答案：20.57已知函数f(x)sin1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数yf(x)在上的图像解：(1)振幅为，最小正周期T，初相为.(2)图像如图所示8已知函数f(x)2sin
16、cossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图像向右平移个单位，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)sinsin xcos xsin x22sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)将f(x)的图像向右平移个单位，得到函数g(x)的图像，g(x)f2sin2sin.x0，x，当x，即x时，sin1，g(x)取得最大值2.当x，即x时，sin，g(x)取得最小值1.第卷：提能增分卷1(2014长春调研)函数f(x)Asin(x)的部分图像如图所示(1)求函数yf(x)的解析式；(2)当x时，求f(x)的取值范围解：(1
17、)由题中图像得A1，所以T2，则1.将点代入得sin1，而0，0)的最小正周期为2，且当x时，f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴若不正在，请说明理由解：(1)由T2知2得.又因为当x时f(x)max2，知A2.且2k(kZ)，故2k(kZ)f(x)2sin2sin，故f(x)2sin.(2)存在令xk(kZ)，得xk(kZ)由k.得k，又kZ，知k5.故在上存在f(x)的对称轴，其方程为x.3为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费
18、很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f(x)Asin(x)B(A0，0，0|)，根据条件，可知这个函数的周期是12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)400，故该函数的振幅为200；由可知，f(x)在2,8上单调递增，且f(2)100，所以f(8)500.根据上述分析可得，12，故，且解得根据分析可知，当x2时f(x)最小，当x8时f(x)最大，故sin1，且sin1.又因为0|，故.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)200sin300.(2)由条件可知，200sin300400，化简，得sin2kx2k，kZ，解得12k6x12k10，kZ.因为xN，且1x12，故x6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物
