1、一、填空题1.(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，所以Sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得1(n1)n，所以Sn.答案2.(2012江苏卷改编)各项均为正数的等比数列an满足a1a74，a68，若函数f(x)a1xa2x2a3x3a10x10的导数为f(x)，则f_.解析因为各项均为正数的等比数列an满足a1a74，a68，所以a42，q2，故an2n3，又f(x)a12a2x3a3x210a10x9，所以f22222322102222.答案3.已
2、知数列an满足a10，a21，an23an12an，则an的前n项和Sn_.解析an23an12an，an2an12(an1an)，2，数列an1an是以1为首项，2为公比的等比数列，an1an2n1，a2a120，a3a221，a4a322，anan12n2，ana120212n22n11，an2n11，Sn(20212n1)nn2nn1.答案2nn14.(2015南京、盐城模拟)已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若ASnB对nN*恒成立，则BA的最小值为_.解析依题意得Sn1，当n为奇数时，Sn1；当n为偶数时，Sn1.由函数yx在(0，)上是增函数得Sn的取值范围是，因
3、此有A，B，BA，即BA的最小值是.答案5.数列an的通项ann2，其前n项和为Sn，则S30为_.解析因为ann2n2cos ，由于cos 以3为周期，且cos ，cos ，cos 1，所以S30(a1a2a3)(a4a5a6)(a28a29a30)470.答案470二、解答题6.数列an满足an2an12n1(nN*，n2)，a327.(1)求a1，a2的值；(2)是否存在一个实数t，使得bn(ant)(nN*)，且数列bn为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；(3)求数列an的前n项和Sn.解(1)由a327，得272a2231，a29，92a1221，a12.(2)假设
4、存在实数t，使得bn为等差数列，则2bnbn1bn1，(n2且nN*)2(ant)(an1t)(an1t)，4an4an1an1t，4an42an2n11t，t1.即存在实数t1，使得bn为等差数列.(3)由(1)，(2)得b1，b2，bnn，an2n1(2n1)2n11，Sn(3201)(5211)(7221)(2n1)2n11352722(2n1)2n1n，2Sn32522723(2n1)2n2n，由得Sn32222222322n1(2n1)2nn12(2n1)2nn(12n)2nn1，Sn(2n1)2nn1.7.(2012江苏卷)已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1，nN*.
5、(1)设bn11，nN*，求证：数列是等差数列；(2)设bn1，nN*，且an是等比数列，求a1和b1的值.(1)证明由题设知an1，所以，从而1(nN*)，所以数列是以1为公差的等差数列.(2)解因为an0，bn0，所以ab(anbn)2，从而1an1.(*)设等比数列an的公比为q，由an0知q0.下证q1.若q1，则a1a2，故当nlogq时，an1a1qn，与(*)矛盾；若0q1，则a1a21，故当nlogq时，an1a1qn1，与(*)矛盾.综上，q1，故ana1(nN*)，所以1a1.又bn1bn(nN*)，所以bn是公比为的等比数列.若a1，则1，于是b1b2b3.又由a1得bn
6、(nN*)，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾，所以a1，从而bn.所以a1b1.8.(2013江苏卷)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项的和.记bn，nN*，其中c为实数.(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.证明由题设，Snnad.(1)由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即a，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有Smm2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)设数列bn的公差为d1
7、，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的nN*，有n3(b1d1ad)n2cd1nc(d1b1).令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，则对于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分别取n1，2，3，4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，则由d1d0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又cd10，所以c0.9.(2016盐城模拟)已知数列an满足a1m，an1(kN*，rR)，
8、其前n项和为Sn.(1)当m与r满足什么关系时，对任意的nN*，数列an都满足an2an?(2)对任意实数m，r，是否存在实数p与q，使得a2n1p与a2nq是同一个等比数列.若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由；(3)当mr1时，若对任意的nN*，都有Snan，求实数的最大值.解(1)由题意得a1m，a22a12m，a3a2r2mr，由a3a1，得mr0.当mr0时，因为an1(kN*)，所以a1a3m，a2a42m，故对任意的nN*，数列an都满足an2an.即当实数m，r满足mr0时，符合题意.(2)存在.依题意，a2n1a2nr2a2n1r，则a2n1r2(a2n1r)
9、，因为a1rmr，所以当mr0时，a2n1r是等比数列，且a2n1r(a1r)2n(mr)2n.为使a2n1p是等比数列，则pr.同理，当mr0时，a2n2r(mr)2n，a2n2r是等比数列，欲使a2nq是等比数列，则q2r.综上所述，若mr0，则不存在实数p，q，使得a2n1p与a2nq是等比数列；若mr0，则当p，q满足q2p2r时，a2n1p与a2nq是同一个等比数列.(3)当mr1时，由(2)可得a2n12n1，a2n2n12，当n2k时，ana2k2k12，SnS2k(21222k)(22232k1)3k3(2k1k2)，所以3.令ck，则ck1ck0，所以，即.当n2k1时，ana2k12k1，SnS2ka2k3(2k1k2)(2k12)2k23k4，所以4，同理可得1，即1.综上所述，实数的最大值为1.
