1、第13课时基本不等式的应用(3) 教学过程一、 问题情境在前面,我们运用基本不等式解决了证明、求最值等一些相关问题,这些问题其实还是数学问题.我们知道,学习数学,是为了用数学知识来解决我们生活中的有关问题,今天我们来体验一下怎样运用不等式解决实际问题.二、 数学运用【例1】(教材P99例1)用长为4a的铁丝围成一个矩形,怎样才能使所围矩形的面积最大?(见学生用书课堂本P65)规范板书解设矩形的长为x(0x0,2a-x0. =a(当且仅当x=2a-x,即x=a时取“=”).由此可知,当x=a时,S=x(2a-x)有最大值a2.答:将铁丝围成正方形时面积最大,最大面积为a2.题后反思应用基本不等式
2、解决实际问题,首先要审题,正确理解题意,然后分析题中所给的条件,将实际问题转化为数学模型,再应用基本不等求解.在解题过程中,一定要考虑解的实际意义.另外,此题也可以用二次函数的有关知识来解决.变式用长为4a的铁丝围成如图所示的矩形,则所围成图形面积的最大值为多少?(变式)规范板书解设矩形的一边长为x0x0,2a-x0.S=x=x=当且仅当x=-x,即x=时取“=”.由此可知,当x=时,S=x有最大值.答:围成图形面积的最大值为.【例2】(教材P99例2)某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为4800m3,深度为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水
3、池能使总造价最低?最低总造价是多少元?(见学生用书课堂本P65)规范板书解设水池的总造价为y元,池底的一边长为xm(x0),则另一边长为m,即m.根据题意,得y=150+21203=1501600+7201501600+720240=297600,当且仅当x=40时取“=”.答:当水池设计成底面边长为40m的正方形时,总造价最低,为297600元.题后反思用基本不等式解决实际问题的一般步骤: 建立目标函数; 利用基本不等式,求函数的最值; 得出实际问题的解.而在本题中,步骤是关键,运用恰当的数学语言建立数学模型;在解决步骤时,一定要注意字母的变化范围.变式单位建造一间地面面积为12m2的背面靠
4、墙的长方体小房,房屋正面的造价为1200元/m2,房屋侧面的造价为800元/m2,屋顶的造价为5800元/m2,如果墙高为3m,且不计房屋背面及地面的费用,问:怎样设计房屋才能使总造价最低?最低总造价是多少元?规范板书解设房屋的总造价为y元,地面一边长(为正面上的边长)为xm(x0),则另一边长为m.根据题意,得y=12003x+80023+580012=580012+3600580012+360024=98400,当且仅当x=4时取“=”.答:当房屋的地面设计成两边长分别为4m(为正面上的边长),3m的矩形时,总造价最低为98400元.【例3】(教材P100例4)如图,一份印刷品的排版面积(
5、矩形)为A,它的两边都留有宽为a的空白,顶部和底部都留有宽为b的空白.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最少?(见学生用书课堂本P66)(例3)规范板书解设排版矩形的长和宽分别是x, y,则xy=A,纸张的面积为S=(x+2a)(y+2b)=xy+2bx+2ay+4abxy+2+4ab=A+4+4ab=,当且仅当2bx=2ay,即时,S有最小值,此时纸张的长和宽分别为+2a和+2b.答:当纸张的长和宽分别为+2a和+2b时,纸张的用量最少.题后反思一是对题意要理解,用量最少,即对一张纸而言,面积越小越好;二是题中的量较多,解题时,一定要理解哪些是定量,哪些是变量.同时解决此类问题,必须要细致、
6、有耐性.*【例4】一个由17辆汽车组成的车队,每辆车车长为5m.当车队以vkm/h的速度行驶时,相邻两辆车之间的车距至少为m,现车队要通过一座长为140m的大桥,问:车速v为多少时,车队通过大桥所用的时间最少?最少需要多少分钟?规范板书解设车队通过大桥所用的时间为tmin,则由题意可知车队的速度为m/min. t=26=,当且仅当=,即v=时取“=”.答:当车速v=km/h时,车队通过大桥所用的时间最少,最少需要min.题后反思将实际问题转化为数学问题,要建立恰当的数学模型,同时也要注意某些量之间的单位关系.三、 课堂练习 1. 一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问:这个矩形菜园的长、宽各为多少时面积最大?最大面积是多少?解设矩形菜园的面积为Sm2,长为xm,则宽为m,且0x0, y0). x2+y2=d22xy, S=xy,当且仅当x=y=时取“=”.答:矩形的最大面积是.四、 课堂小结用数学知识解决实际问题的基本步骤: 建立目标函数; 利用数学知识解决数学问题; 得出实际问题的解.
