1、微专题17二次函数、二次方程、二次不等式问题真 题 感 悟(1)(2019天津卷)设xR,使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_(2)(2019江苏卷)函数y的定义域是_解析(1)3x2x20变形为(x1)(3x2)0,解得1x,故使不等式成立的x的取值范围为.(2)要使函数有意义,需76xx20,即x26x70,即(x1)(x7)0,解得1x7.故所求函数的定义域为1,7答案(1)(2)1,7考 点 整 合1.二次函数(1)概念含有一个未知数,且未知数的最高次幂为2,即形如yax2bxc(a,b,cR,且a0)的函数叫做二次函数,它的定义域为(,).(2)解析式的三种形式一般式:yax2
2、bxc(a0);顶点式:ya(xx0)2h(a0);交点式:ya(xx1)(xx2)(a0).(3)最值二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间m,n上一定有最值(最大值和最小值):若m,n,则f为函数的一个最值,另一个最值为f(m)或f(n);若m,n,则f(x)在m,n上为单调函数,f(m)和f(n)为函数的两个最值.2.三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a 0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx1或xx2Rax2bxc0(a0)的解集x|x1
3、xx2热点一二次函数的值域与最值问题【例1】 (2018武进高级中学调研)已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2,x2,3时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1,求实数a的值.解(1)当a2时,f(x)x23x3,x2,3,对称轴x2,3,所以f(x)minf,f(x)maxf(3)15,所以函数f(x)的值域为.(2)函数f(x)的对称轴为x.当1,即a时,f(x)maxf(3)6a3,所以6a31,即a,满足题意;当1,即a时,f(x)maxf(1)2a1,所以2a11,即a1,满足题意.综上可知a或a1.探究提高本题为二次函数在给定区间的最值问题.
4、对于二次函数在闭区间上的最值要抓住:开口方向、对称轴与区间的相对位置,利用分类讨论的思想求解.本题由于函数图象开口向上,则函数在端点处取最大值,按对称轴与端点距离远近分两种情况讨论即可.【训练1】 已知二次函数f(x)ax2bx(a,b为常数,且a0)满足条件f(x1)f(3x),且方程f(x)2x有两等根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,n(mn),使f(x)的定义域和值域分别为m,n和4m,4n?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,说明理由.解(1)因为方程f(x)2x有两等根,即ax2(b2)x0有两等根,所以(b2)20,得b2.由f(x1)f(3x)知函数f(x)a
5、x2bx图象的对称轴方程为x1,得a1,故f(x)x22x.(2)由f(x)x22x(x1)21,知f(x)max1,所以4n1,即n1.故f(x)在m,n上为增函数,所以解得所以存在m2,n0满足条件.热点二二次方程实数根的分布问题【例2】 设m,k为整数,方程mx2kx20在区间(0,1)内有两个不同的根,则mk的最小值为_.解析设f(x)mx2kx2,由f(0)2,易知f(x)的图象恒过定点(0,2),因此要使已知方程在区间(0,1)内有两个不同的根,即f(x)的图象在区间(0,1)内与x轴有两个不同的交点,即由题意可以得到:必有即在直角坐标系mOk中作出满足不等式组的平面区域,如图(阴
6、影部分)所示,设zmk,则直线mkz0经过图中的阴影中的整点(6,7)时,zmk取得最小值,即zmin13.答案13探究提高此题考查了二次函数与二次方程之间的联系,解答要注意几个关键点:(1)将一元二次方程根的分布转化为二次函数的图象与x轴的交点来处理;(2)将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题;(3)作出不等式组表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域;(4)不可忽视求得最优解是整点.【训练2】 (2019姜堰模拟)已知关于x的方程x2(m3)xm0.(1)若方程的一根在区间(2,0)内,另一根在区间(0,4)内,求实数m的取值范围;(2)若方程的两个不相等的实数根都在区间(
7、0,2)内,求实数m的取值范围.解(1)令f(x)x2(m3)xm,由题意可知即解得m0,即m的取值范围为.(2)由题意可知即解得m1,所以m的取值范围为.热点三二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f(x)x22ax1a,aR.(1)若a2,试求函数y(x0)的最小值;(2)x0,2,不等式f(x)a成立,试求a的取值范围.解(1)依题意得yx4.因为x0,所以x2,当且仅当x,即x1时,等号成立.所以y2.所以当x1时,y取最小值2.(2)因为f(x)ax22ax1,所以要使“x0,2,不等式f(x)a成立”,只要“x22ax10在0,2上恒成立”.不妨设g(x)x22ax1,则只要g(x
8、)0在0,2上恒成立即可,所以即解得a.则a的取值范围是.探究提高(1)解决恒成立问题可以利用分离参数法,一定要弄清楚谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.(2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.(3)解决不等式在给定区间上的恒成立问题,可先求出相应函数在这个区间上的最值,再转化为与最值有关的不等式问题.【训练3】 已知函数f(x)x22ax2,当x1,)时,f(x)a恒成立,求实数a的取值范围.解法一因为f(x)可化为f(x)(x
9、a)22a2,所以此二次函数图象的对称轴为xa.(下面讨论a与1的关系)当a(,1)时,f(x)在1,)上单调递增,所以f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2a3a,解得a3,即3a1.当a1,)时,f(x)minf(a)2a2.要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2a2a,解得2a1,即1a1.综上,实数a的取值范围为3,1.法二当x时,原不等式可化为a恒成立,易知y在上单调递减,3,即a3;当x时,原不等式恒成立,aR;当x时,a恒成立,易知y在上单调递减,在(1,)上单调递增,1,即a1.综上,实数a的取值范围为3,1.【新题感悟】 (2
10、019南京高三模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)且f(x2)f(x),g(x),则方程f(x)g(x)在区间8,3上的所有实根之和为_.解析由f(x2)f(x)可知函数f(x)周期为2,作出两函数图象如下:观察图象可知两图象在区间8,3上有5个交点,其中一个横坐标为3,另外4个关于点(2,2)对称,所以所有交点横坐标之和为222(3)11.故方程f(x)g(x)在区间8,3上的所有实根之和为11.答案11一、填空题1.(必修1P37习题3改编)若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是_.解析由m240,得m(,2)(2,).答案(,2)(2,)2.已知
11、二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)f(4)3,则f(x)的解析式为_.解析由题意知,f(x)图象的对称轴为x2,顶点坐标为(2,1).设函数f(x)a(x2)21(a0),则f(0)a(2)213,解得a,所以f(x)(x2)21.答案f(x)(x2)213.已知不等式ax2bx10的解集为x|x3,或x4,则ab的值为_.解析由题知3和4是方程ax2bx10的两个根,所以34且34,所以a,b.故ab.答案4.已知函数yx24x6,x1,4,则此函数的最大值为_.解析y(x2)22,x1,4,故当x4时,ymax6.答案65.已知函数f(x)若f(2a2)f(a),则实数a的取值范围是
12、_.解析因为f(x)在R上单调递增,且f(2a2)f(a),所以2a2a,所以a(2,1).答案(2,1)6.已知函数f(x)ax2bx1(a,bR且a0),若f(1)0,且函数f(x)的值域为0,),则f(x)的解析式为_.解析由题得f(1)ab10.因为函数f(x)的值域为0,),所以a0且b24a0,所以a1,b2,所以f(x)x22x1.答案f(x)x22x17.(2019镇江一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x24x,则不等式f(x)x的解集为_.解析若x0,则x0,因为当x0时,f(x)x24x,所以当x0时,f(x)x24x.因为f(x)是定义在R上的奇函
13、数,所以f(x)x24xf(x),则f(x)x24x,x0.当x0时,不等式f(x)x等价为x24xx,即x25x0,得x5或x0,此时x5.当x0时,不等式f(x)x等价为x24xx,即x25x0,得5x0.当x0时,不等式f(x)x等价为00不成立.综上,不等式的解集为x|x5或5x0.答案(5,0)(5,)8.(2019江苏冲刺卷)已知函数f(x)x2axb2b1(a,bR)对任意实数x有f(1x)f(1x)成立,若当x1,1时,f(x)0恒成立,则b的取值范围是_.解析由题知,函数f(x)的图象关于直线x1对称,因此可得a2,从而f(x)在区间1,1上单调递增.由题设条件得f(1)12
14、b2b10,解得b1或b2.答案(,1)(2,)二、解答题9.(1)求函数yx22x5在区间1,2上的最大值和最小值;(2)已知函数f(x)x2ax3在区间1,1上的最小值m为3,求实数a的值.解(1)yf(x)x22x5(x1)24,因为11,2,所以yminf(1)4.又因为f(1)8,f(2)5,所以ymaxf(1)8.(2)f(x)3,图象开口向上,对称轴为x.当1,即a2时,f(x)在1,1上是增函数,所以mf(1)1a33,所以a7;当1,即a2时,f(x)在1,1上是减函数,mf(1)1a33,所以a7;当11,即2a2时,mf33,解得a2,这与2a2矛盾,舍去.综上,a的值为
15、7或7.10.设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对于x1,3,f(x)m5恒成立,求实数m的取值范围.解(1)要使mx2mx10恒成立,若m0,显然10恒成立;若m0,则4m0.所以实数m的取值范围为(4,0.(2)要使f(x)m5在1,3上恒成立,只需mx2mxm6恒成立(x1,3).又因为x2x10,所以m.令y,因为t在1,3上是增函数,所以y在1,3上是减函数,所以函数y的最小值ymin,所以实数m的取值范围是.11.已知函数f(x)x22ax5(a1).(1)若f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数a的值;(2)若对任
16、意的x1,x21,a1,总有|f(x1)f(x2)|4,求实数a的取值范围.解(1)因为f(x)(xa)25a2(a1),所以f(x)在1,a上是减函数,又定义域和值域均为1,a,所以即解得a2.(2)若a2,又xa1,a1,且(a1)aa1,所以f(x)maxf(1)62a,f(x)minf(a)5a2.因为对任意的x1,x21,a1,总有|f(x1)f(x2)|4,所以f(x)maxf(x)min4,即(62a)(5a2)4,解得1a3.又a2,所以2a3.若1a2,则f(x)maxf(a1)6a2,f(x)minf(a)5a2,f(x)maxf(x)min4显然成立.综上,a的取值范围为a|1a3.