1、微专题17二次函数、二次方程、二次不等式问题真 题 感 悟(1)(2019天津卷)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_(2)(2019江苏卷)函数y的定义域是_解析(1)3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1x，故使不等式成立的x的取值范围为.(2)要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，即(x1)(x7)0，解得1x7.故所求函数的定义域为1，7答案(1)(2)1，7考 点 整 合1.二次函数(1)概念含有一个未知数，且未知数的最高次幂为2，即形如yax2bxc(a，b，cR，且a0)的函数叫做二次函数，它的定义域为(，).(2)解析式的三种形式一般式：yax2
2、bxc(a0)；顶点式：ya(xx0)2h(a0)；交点式：ya(xx1)(xx2)(a0).(3)最值二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间m，n上一定有最值(最大值和最小值)：若m，n，则f为函数的一个最值，另一个最值为f(m)或f(n)；若m，n，则f(x)在m，n上为单调函数，f(m)和f(n)为函数的两个最值.2.三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a 0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx1或xx2Rax2bxc0(a0)的解集x|x1
3、xx2热点一二次函数的值域与最值问题【例1】 (2018武进高级中学调研)已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2，3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1，3上的最大值为1，求实数a的值.解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2，3，对称轴x2，3，所以f(x)minf，f(x)maxf(3)15，所以函数f(x)的值域为.(2)函数f(x)的对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，所以6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，所以2a11，即a1，满足题意.综上可知a或a1.探究提高本题为二次函数在给定区间的最值问题.
4、对于二次函数在闭区间上的最值要抓住：开口方向、对称轴与区间的相对位置，利用分类讨论的思想求解.本题由于函数图象开口向上，则函数在端点处取最大值，按对称轴与端点距离远近分两种情况讨论即可.【训练1】 已知二次函数f(x)ax2bx(a，b为常数，且a0)满足条件f(x1)f(3x)，且方程f(x)2x有两等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m，n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和4m，4n？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由.解(1)因为方程f(x)2x有两等根，即ax2(b2)x0有两等根，所以(b2)20，得b2.由f(x1)f(3x)知函数f(x)a
5、x2bx图象的对称轴方程为x1，得a1，故f(x)x22x.(2)由f(x)x22x(x1)21，知f(x)max1，所以4n1，即n1.故f(x)在m，n上为增函数，所以解得所以存在m2，n0满足条件.热点二二次方程实数根的分布问题【例2】 设m，k为整数，方程mx2kx20在区间(0，1)内有两个不同的根，则mk的最小值为_.解析设f(x)mx2kx2，由f(0)2，易知f(x)的图象恒过定点(0，2)，因此要使已知方程在区间(0，1)内有两个不同的根，即f(x)的图象在区间(0，1)内与x轴有两个不同的交点，即由题意可以得到：必有即在直角坐标系mOk中作出满足不等式组的平面区域，如图(阴
6、影部分)所示，设zmk，则直线mkz0经过图中的阴影中的整点(6，7)时，zmk取得最小值，即zmin13.答案13探究提高此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：(1)将一元二次方程根的分布转化为二次函数的图象与x轴的交点来处理；(2)将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；(3)作出不等式组表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；(4)不可忽视求得最优解是整点.【训练2】 (2019姜堰模拟)已知关于x的方程x2(m3)xm0.(1)若方程的一根在区间(2，0)内，另一根在区间(0，4)内，求实数m的取值范围；(2)若方程的两个不相等的实数根都在区间(
7、0，2)内，求实数m的取值范围.解(1)令f(x)x2(m3)xm，由题意可知即解得m0，即m的取值范围为.(2)由题意可知即解得m1，所以m的取值范围为.热点三二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f(x)x22ax1a，aR.(1)若a2，试求函数y(x0)的最小值；(2)x0，2，不等式f(x)a成立，试求a的取值范围.解(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2，当且仅当x，即x1时，等号成立.所以y2.所以当x1时，y取最小值2.(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使“x0，2，不等式f(x)a成立”，只要“x22ax10在0，2上恒成立”.不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x
8、)0在0，2上恒成立即可，所以即解得a.则a的取值范围是.探究提高(1)解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数.(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.(3)解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数在这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题.【训练3】 已知函数f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围.解法一因为f(x)可化为f(x)(x
9、a)22a2，所以此二次函数图象的对称轴为xa.(下面讨论a与1的关系)当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得a3，即3a1.当a1，)时，f(x)minf(a)2a2.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a2a，解得2a1，即1a1.综上，实数a的取值范围为3，1.法二当x时，原不等式可化为a恒成立，易知y在上单调递减，3，即a3；当x时，原不等式恒成立，aR；当x时，a恒成立，易知y在上单调递减，在(1，)上单调递增，1，即a1.综上，实数a的取值范围为3，1.【新题感悟】 (2
10、019南京高三模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，则方程f(x)g(x)在区间8，3上的所有实根之和为_.解析由f(x2)f(x)可知函数f(x)周期为2，作出两函数图象如下：观察图象可知两图象在区间8，3上有5个交点，其中一个横坐标为3，另外4个关于点(2，2)对称，所以所有交点横坐标之和为222(3)11.故方程f(x)g(x)在区间8，3上的所有实根之和为11.答案11一、填空题1.(必修1P37习题3改编)若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_.解析由m240，得m(，2)(2，).答案(，2)(2，)2.已知
11、二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)f(4)3，则f(x)的解析式为_.解析由题意知，f(x)图象的对称轴为x2，顶点坐标为(2，1).设函数f(x)a(x2)21(a0)，则f(0)a(2)213，解得a，所以f(x)(x2)21.答案f(x)(x2)213.已知不等式ax2bx10的解集为x|x3，或x4，则ab的值为_.解析由题知3和4是方程ax2bx10的两个根，所以34且34，所以a，b.故ab.答案4.已知函数yx24x6，x1，4，则此函数的最大值为_.解析y(x2)22，x1，4，故当x4时，ymax6.答案65.已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是
12、_.解析因为f(x)在R上单调递增，且f(2a2)f(a)，所以2a2a，所以a(2，1).答案(2，1)6.已知函数f(x)ax2bx1(a，bR且a0)，若f(1)0，且函数f(x)的值域为0，)，则f(x)的解析式为_.解析由题得f(1)ab10.因为函数f(x)的值域为0，)，所以a0且b24a0，所以a1，b2，所以f(x)x22x1.答案f(x)x22x17.(2019镇江一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集为_.解析若x0，则x0，因为当x0时，f(x)x24x，所以当x0时，f(x)x24x.因为f(x)是定义在R上的奇函
13、数，所以f(x)x24xf(x)，则f(x)x24x，x0.当x0时，不等式f(x)x等价为x24xx，即x25x0，得x5或x0，此时x5.当x0时，不等式f(x)x等价为x24xx，即x25x0，得5x0.当x0时，不等式f(x)x等价为00不成立.综上，不等式的解集为x|x5或5x0.答案(5，0)(5，)8.(2019江苏冲刺卷)已知函数f(x)x2axb2b1(a，bR)对任意实数x有f(1x)f(1x)成立，若当x1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是_.解析由题知，函数f(x)的图象关于直线x1对称，因此可得a2，从而f(x)在区间1，1上单调递增.由题设条件得f(1)12
14、b2b10，解得b1或b2.答案(，1)(2，)二、解答题9.(1)求函数yx22x5在区间1，2上的最大值和最小值；(2)已知函数f(x)x2ax3在区间1，1上的最小值m为3，求实数a的值.解(1)yf(x)x22x5(x1)24，因为11，2，所以yminf(1)4.又因为f(1)8，f(2)5，所以ymaxf(1)8.(2)f(x)3，图象开口向上，对称轴为x.当1，即a2时，f(x)在1，1上是增函数，所以mf(1)1a33，所以a7；当1，即a2时，f(x)在1，1上是减函数，mf(1)1a33，所以a7；当11，即2a2时，mf33，解得a2，这与2a2矛盾，舍去.综上，a的值为
15、7或7.10.设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1，3，f(x)m5恒成立，求实数m的取值范围.解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10恒成立；若m0，则4m0.所以实数m的取值范围为(4，0.(2)要使f(x)m5在1，3上恒成立，只需mx2mxm6恒成立(x1，3).又因为x2x10，所以m.令y，因为t在1，3上是增函数，所以y在1，3上是减函数，所以函数y的最小值ymin，所以实数m的取值范围是.11.已知函数f(x)x22ax5(a1).(1)若f(x)的定义域和值域均是1，a，求实数a的值；(2)若对任
16、意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围.解(1)因为f(x)(xa)25a2(a1)，所以f(x)在1，a上是减函数，又定义域和值域均为1，a，所以即解得a2.(2)若a2，又xa1，a1，且(a1)aa1，所以f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2.因为对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，所以f(x)maxf(x)min4，即(62a)(5a2)4，解得1a3.又a2，所以2a3.若1a2，则f(x)maxf(a1)6a2，f(x)minf(a)5a2，f(x)maxf(x)min4显然成立.综上，a的取值范围为a|1a3.