1、第一章 三角函数 1 数列 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 公式二、公式三和公式四 学 习 目 标核 心 素 养 1.能借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式二、三、四2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四(重点、易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四,并能运用诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、证明问题(难点)1.通过对诱导公式的推导,提升学生的数学抽象和直观想象素养.2.通过诱导公式的应用,培养学生的数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1公式二(1)角 与角 的终边关于对称如图所示原点(2)公式:sin(),cos(),tan().tan sin cos 2公式三(1)角
2、 与角 的终边关于轴对称如图所示(2)公式:sin(),cos(),tan().xsin cos tan 3公式四(1)角与角的终边关于轴对称如图所示(2)公式:sin(),cos(),tan().ysin cos tan 思考:(1)诱导公式中角只能是锐角吗?(2)诱导公式一四改变函数的名称吗?提示(1)诱导公式中角可以是任意角,要注意正切函数中要求k2,kZ.(2)诱导公式一四都不改变函数名称公式二、三、四的推导过程如下:设角的终边与单位圆的交点为P(x,y),则sin y,cos x.由的终边与单位圆交点为得sin()sin,cos()cos.由的终边与单位圆交点为得(x,y)(x,y)
3、yxsin()sin,cos()cos.由的终边与单位圆交点为得sin()sin,cos()cos.yx(x,y)yx1下列说法中正确的是()A公式二四对任意角都成立B由公式三知cos()cos()C在ABC中,sin(AB)sin CD以上说法均错误C A错误,关于正切的三个公式中k2,kZ.B错误由公式三知cos()cos(),故cos()cos()是不正确的 C正确因为ABC,所以ABC,所以sin(AB)sin(C)sin C.故选C.2tan(2 025)的值为()A0 B1 C1 D.3C tan(2 025)tan 2 025tan(5360225)tan 225tan(1804
4、5)tan 451.3已知tan 3,则tan().3 tan()tan 3.4若sin()12,则sin(4)的值是12 由sin()12得sin 12即sin 12,所以sin(4)sin()sin 12.合 作 探 究 释 疑 难 给角求值问题【例1】求下列各三角函数值:(1)sin 1 320;(2)cos316;(3)tan(945)解(1)法一:sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 60 32.法二:sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 60 32.(2)法一:cos316 cos316
5、cos476 cos6 cos6 32.法二:cos316 cos656 cos6 cos6 32.(3)tan(945)tan 945tan(2252360)tan 225tan(18045)tan 451.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”用公式一或三来转化;2“大化小”用公式一将角化为0到360间的角;3“小化锐”用公式二或四将大于90的角转化为锐角;4“锐求值”得到锐角的三角函数后求值.跟进训练1求下列各三角函数值:(1)cos116;(2)tan(765);(3)sin 43 cos 256 tan 54.解(1)cos116 cos116 cos26 cos6 co
6、s6 32.(2)tan(765)tan(72045)tan(45)tan 451.(3)sin43 cos256 tan54 sin3 cos46 tan4 sin3cos6tan4 32 32 134.化简求值【例2】(1)化简:costan7sin;(2)化简:cos180sin360 sin180cos180.(1)1 costan7sincos tansin cos tan sin sin sin 1.(2)解 原式cos sin sin180cos180 sin cos sin180cos180 sin cos sin cos 1.三角函数式化简的常用方法 1利用诱导公式,将任意角
7、的三角函数转化为锐角三角函数.2切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.3注意“1”的应用:1sin2cos2tan4.跟进训练2化简:(1)sinsin2cossin3cossin;(2)化简:12sin 290cos 430sin 250cos 790.解(1)原式sin sin cos sincos sin sin sin cos sin cos sin 1.(2)原式 12sin36070cos36070sin18070cos72070 12sin 70cos 70sin 70cos 70|cos 70sin 70|cos 70sin 70 sin 70cos 70cos 70s
8、in 701.给值(式)求值问题【例3】(1)已知sin(360)cos(180)m,则sin(180)cos(180)等于()A.m212 B.m212C.1m22Dm212(2)已知cos(75)13,且为第四象限角,求sin(105)的值思路点拨:(1)化简已知和所求三角函数式 根据sin cos,sin cos 的关系求值(2)10575180cos7513,为第四象限角求sin75 用sin180sin 求值(1)A sin(360)cos(180)sin cos m,sin(180)cos(180)sin cos sin cos 212m212.(2)解 cos(75)130,且
9、为第四象限角,sin(75)1cos275 11322 23,sin(105)sin180(75)sin(75)2 23.1例 3(2)条件不变,求 cos(255)的值解 cos(255)cos180(75)cos(75)13.2将例3(2)的条件“cos(75)13”改为“tan(75)5”,其他条件不变,结果又如何?解 因为tan(75)50,且为第四象限角,所以75是第四象限角 由sin275cos2751,sin75cos755,解得sin755 2626,cos75 2626或 sin755 2626,cos75 2626.(舍)所以sin(105)sin180(75)sin(75
10、)5 2626.解决条件求值问题的两个技巧 1寻找差异:解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.2转化:可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.利用诱导公式化简或证明问题 探究问题1利用诱导公式化简 sin(k)(其中 kZ)时,化简结果与 k是否有关?提示:有关因为k是奇数还是偶数不确定 当k是奇数时,即k2n1(nZ),sin(k)sin()sin;当k是偶数时,即k2n(nZ),sin(k)sin.2利用诱导公式化简tan(k)(其中kZ)时,化简结果与k
11、是否有关?提示:无关根据公式tan()tan 可知tan(k)tan(其中kZ)【例4】设k为整数,化简:sinkcosk1sink1cosk.思路点拨:本题常用的解决方法有两种:为了便于运用诱导公式,必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论;观察式子结构,kk2k,(k1)(k1)2k,可使用配角法 解 法一:(分类讨论)当 k 为偶数时,设 k2m(mZ),则原式sin2mcos2m1sin2m1cos2m sincossincos sin cos sin cos 1;当 k 为奇数时,设 k2m1(mZ),同理可得原式1.法二:(配角法)由于 kk2k,(k1)(k1)2k,故 cos(k1)
12、cos(k1)cos(k),sin(k1)sin(k),sin(k)sin(k)所以原式sinkcosksinkcosk1.明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦,统一名.2用诱导公式,统一角.3用因式分解将式子变形,化为最简.提醒:注意分类讨论思想的应用.跟进训练3求证:tan2sin2cos6cossin5tan.证明 左边tansincoscossin tan sin cos cos sin tan 右边,tan2sin2cos6cossin5tan.课 堂 小 结 提 素 养 1各诱导公式的作用诱导公式作用 公式一将角转化为02之间的角求值 公式二将02内的角转化为0之间的角求值 公
13、式三将负角转化为正角求值 公式四将角转化为02之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号,看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上可以是任意角1下列命题成立的是()A诱导公式二、三、四中,角可以为任意角B当为钝角时,cos()cos C若,则sin sin D若0,则tan tan C A错,因为需使正切有意义;B错,不论为任意角,都有cos()cos;C正确,因为sin sin()sin;D错,tan tan()tan.2tan43 等于()A 33 B.33 C 3 D
14、.3C tan43 tan223 tan23 tan3 tan3 3.3.cos585sin 495sin570的值等于22 原式cos360225sin360135sin360210 cos18045sin18045sin18030 cos 45sin 45sin 30 2222 12 22.4化简(1)sin540costan180;(2)sin2coscostan.解(1)sin540costan180 sin180cos tan sin cos tan cos2.(2)sin2coscostan sin cos cos tan cos.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!