1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，在四边形ABCD中，下列各式中成立的是()A.-=B.+=C.+=D.+=+【解析】选C.-=+=，故A错误；+=，故B错误；+=+=+=，故C正确；+=+，故D错误.2.若向量a=(1，1)，b=(1，-1)，c=(-1，2)，则c等于()A.a-bB.-a+bC.a-bD.-a+b【解析】选A.设c=a+b
2、，则(-1，2)=(1，1)+(1，-1)=(+，-)，所以解得=，=-.所以c=a-b.3.(2015泉州高一检测)在如图所示的平面图形中，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a+b-c可表示为()A.e1-2e2B.-e1+2e2C.3e1-2e2D.3e1+2e2【解析】选A.由平面图形知a=c，所以a+b-c=a-c+b=b=-e1+2e2.4.若a=(，2)，b=(-3，5)，且a与b的夹角是钝角，则的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.ab=-3+10.当a与b共线时，=，所以=-.此时，a与b同向，所以.5.在ABC中，D是BC的中点，AD=3，点P在AD上且满足=3，
3、则(+)=()A.6B.-6C.-12D.12【解题指南】解答本题要注意+=2.【解析】选C.因为点D是BC的中点，所以+=2，因为AD=3，=3，所以PD=AD=2，所以(+)=2=2|cos=232(-1)=-12.【补偿训练】在菱形ABCD中，若AC=2，则等于()A.2B.-2C.|cosAD.与菱形的边长有关【解析】选B.如图，设对角线AC与BD交于点O，所以=+.=(+)=-2+0=-2.6.(2015陕西高考)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2【解析】选B.
4、由，因为-1cos1，所以|ab|a|b|恒成立；由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得，故B选项不成立；根据向量数量积的运算律C，D选项恒成立.7.已知三个力f1=(-2，-1)，f2=(-3，2)，f3=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于()A.(-1，-2)B.(1，-2)C.(-1，2)D.(1，2)【解析】选D.根据力的平衡原理有f1+f2+f3+f4=0，所以f4=-(f1+f2+f3)=(1，2).8.设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且|=2|，则点P的坐标为()A.(3，1)B.(1，-1)C.(3，1)
5、或(1，-1)D.无数多个【解析】选C.设P(x，y)，由|=2|得=2，或=-2，=(2，2)，=(x-2，y)，即(2，2)=2(x-2，y)，所以x=3，y=1，即P(3，1)，(2，2)=-2(x-2，y)，所以x=1，y=-1，即P(1，-1)，【误区警示】解答本题容易由|=2|，推出=2漏掉=-2的情况，导致错误.9.向量=(4，-3)，向量=(2，-4)，则ABC的形状为()A.等腰非直角三角形B.等边三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为=(4，-3)，=(2，-4)，所以=-=(-2，-1)，所以=(2，1)(-2，4)=0，所以C=90，且|=，|=
6、2，|.所以ABC是直角非等腰三角形.10.(2015抚顺高一检测)已知平面向量a=(1，-2)，b=(2，1)，c=(-4，-2)，则下列结论中错误的是()A.向量c与向量b共线B.若c=1a+2b(1，2R)，则1=0，2=-2C.对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d=k1b+k2cD.向量a在向量b方向上的投影为0【解析】选C.因为c=-2b，所以向量c与向量b共线，所以选项A正确；由c=1a+2b可知，解得所以选项B正确；向量c与向量b共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，所以选项C错误；ab=0，所以ab，夹角是90，向量a
7、在向量b方向上的投影为|a|cos90=0.【补偿训练】(2015岳阳高一检测月考)设向量a=(1，0)，b=，则下列结论中正确的是()A.|a|=|b|B.ab=C.a-b与b垂直D.ab【解析】选C.因为|a|=1，|b|=，ab=，所以A，B错；因为1-00，所以ab不成立；因为(a-b)b=-=0，所以a-b与b垂直，C正确.11.若同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|等于()A.2B.5C.2或5D.或【解析】选C.因为同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120时，|a+b+c|2=a2+b2
8、+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+9-1-3-3=4，即|a+b+c|=2，当三个向量所成的角都是0时，|a+b+c|=1+1+3=5，故|a+b+c|=2或5.12.(2015泰安高一检测)在ABC中，P是BC边的中点，若|+|+ |=0，则ABC的形状是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形，但不一定是等边三角形【解析】选A.因为=-，=-且|-|+|=0，所以|-|+|(-)=0，即|+|-(|+|)=0因为P是BC边中点，所以=(+)，所以|+|-(|+|)(+)=0，所以|-(|+|)=0，且|-(|+|)=0，所以|=|=|，所以ABC是等边三角形.
9、二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.向量a，b，c在单位正方形网格中的位置如图所示，则a(b+c)=_.【解析】如图建立平面直角坐标系，则a=(1，3)，b=(3，-1)-(1，1)=(2，-2)，c=(3，2)-(5，-1)=(-2，3)，所以b+c=(0，1)，所以a(b+c)=(1，3)(0，1)=3.答案：3【补偿训练】 (2014石家庄高一检测)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=a+b(，R)，则+=()A.-B.-C.-D.【解析】选B.选择单位正交基底i，j，如图所示，则a=-i+j，b=6i+2j，c=-i-3j，
10、由c=a+b得-i-3j=(-i+j)+(6i+2j)，即-i-3j=(-+6)i+(+2)j，所以解得所以+=-.14.(2015忻州高一检测)已知m，n是夹角为120的单位向量，向量a=tm+(1-t)n，若na，则实数t=_.【解析】因为m，n是夹角为120的单位向量，向量a=tm+(1-t)n，na，所以na=ntm+(1-t)n=tmn+(1-t)n2=tcos120+1-t=1-t=0，所以t=.答案：15.(2015福州高一检测)已知向量a与向量b的夹角为120，若(a+b)(a-2b)且|a|=2，则b在a上的投影为_.【解析】ab=|a|b|cos120=-|b|，因为(a+
11、b)(a-2b)，所以(a+b)(a-2b)=0，所以2|b|2-|b|-4=0，所以|b|=，所以b在a上的投影为=-.答案：-16.如图，ABC中，AD=2DB，AE=EC，BE与CD相交于点P，若=x+y(x，yR)，则x+y=_.【解析】由题可知=+=+=+(-)=+(-)=+，又=+=+=+(-)=+=+，所以可得解得=，故=+，所以x+y=.答案：【补偿训练】如图所示，半圆的直径AB=2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(+)的最小值是_.【解析】因为点O是A，B的中点，所以+=2，设|=x，则|=1-x(0x1).所以(+)=2=-2x(1-
12、x)=2-.所以当x=时，(+)取到最小值-.答案：-三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角.(2)求|a+b|和|a-b|.【解析】(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61，所以4a2-4ab-3b2=61，即64-4ab-27=61.所以ab=-6.所以cos=-，所以=120.(2)|a+b|=，|a-b|=.18.(12分)(2015温州高一检测)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2+=0，(1)用，表示.(2)若
13、点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形.【解析】(1)因为2+=0，所以2(-)+(-)=0，2-2+-=0，所以=2-.(2)如图，=+=-+=(2-).故=.即DAOC，且DAOC，故四边形OCAD为梯形.【拓展延伸】利用基向量方法解决平面几何问题选择已知向量或基向量的原则(1)不共线.(2)基向量的模最好是确定的.(3)基向量的夹角最好是确定的.(4)尽量使基向量和所涉及的向量共线或构成三角形或平行四边形.【补偿训练】(2015皖南八校联考)如图，AOB=，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2
14、B2的中点.(1)用向量与表示向量.(2)求向量的模.【解析】(1)=+，=+，两式相加，并注意到点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点，得=(+).(2)由已知可得向量与的模分别为1与2，夹角为，所以=1，由=(+)得，|=.19.(12分)已知a，b，c在同一平面内，且a=(1，2).(1)若|c|=2，且ca，求c.(2)若|b|=，且(a+2b)(2a-b)，求a与b的夹角.【解析】(1)因为ca，所以设c=a，则c=(，2).又|c|=2，所以=2，所以c=(2，4)或(-2，-4).(2)因为(a+2b)(2a-b)，所以(a+2b)(2a-b)=0.因为|a|=，|b|=，所
15、以ab=-.设a与b的夹角为，cos=-1，所以=180.20.(12分)已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BECF.(2)AP=AB.【证明】如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB=2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).(1)=-=(1，2)-(2，0)=(-1，2)，=-=(0，1)-(2，2)=(-2，-1)，因为=-1(-2)+2(-1)=0，所以，即BECF.(2)设P(x，y)，则=(x，y-1)，=(-2，-1)，因为，所以-x=-2(y-1)，即x=2y-2.同理由，得y=-2x+
16、4，代入x=2y-2.解得x=，所以y=，即P.所以=+=4=，所以|=|，即AP=AB.21.(12分)如图，=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3).(1)若，求x与y之间的关系式.(2)若在(1)的条件下，又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为=+=(6，1)+(x，y)+(-2，-3)=(x+4，y-2)，所以=-=(-x-4，2-y).又因为，=(x，y)，所以x(2-y)-y(-x-4)=0，即x+2y=0.(2)因为=+=(6，1)+(x，y)=(x+6，y+1)，=+=(x，y)+(-2，-3)=(x-2，y-3)，且，所以=0，即(x+6)(x-2)
17、+(y+1)(y-3)=0.又由(1)的结论x+2y=0，所以(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.化简，得y2-2y-3=0.所以y=3，或y=-1.当y=3时，x=-6.于是有=(-6，3)，=(0，4)，=(-8，0).所以|=4，|=8.所以S四边形ABCD=|=16；当y=-1时，x=2.于是有=(2，-1)，=(8，0)，=(0，-4).所以|=8，|=4.所以S四边形ABCD=|=16.所以或S四边形ABCD=16.22.(12分)(2015德州高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6，0)，C(1，)，点M满足=，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图.(1)求OCM的余弦值.(2)是否存在实数，使(-)，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意可得=(6，0)，=(1，)，=(3，0)，=(2，-)，=(-1，-)，所以cosOCM=cos=.(2)设P(t，)，其中1t5，=(t，)，-=(6-t，-)，=(2，-)，若(-)，则(-)=0，即12-2t+3=0(2t-3)=12，若t=，则不存在，若t，则=，因为t，故(-，-12.关闭Word文档返回原板块
