1、定远县民族中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设全集UR，Ax|log2(x22)，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. x|1x2B. x|x1C. x|00时，f(x)1，且f(3)4，则（ ）A. f(x)在R上是减函数，且f(1)3B. f(x)在R上是增函数，且f(1)3C. f(x)在R上是减函数，且f(1)2D. f(x)在R上是增函数，且f(1)2【答案】D【解析】【分析】根据定义判断函数的单调性,根据,利用赋值法即可求得的值.【详解】函数在R上单调递增,证明过程如下:任取,且则因为,所以又因为当时, 所以,即则
2、,可得所以函数在R上单调递增令,由可得令可得因为所以综上可知,D为正确选项故选:D【点睛】本题考查了利用定义证明抽象函数的单调性,赋值法求函数值的应用,属于中档题.4.设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知（）在函数的图像上，解得，即，解得，故选C考点：函数求解析式及求值5.f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（ ）A. f(x)f(x)是偶函数且是增函数B. f(x)f(x)是偶函数且是减函数C. f(x)f(x)是奇函数且是增函数D. f(x)f(x)是
3、奇函数且是减函数【答案】C【解析】【分析】举出反例,可以说明错误的选项;根据奇偶性和单调性的定义证明正确选项即可.【详解】令,则对于A选项, ,偶函数但不是增函数,所以A错误;对于B选项, ,是偶函数但不是减函数,所以B错误;对于C选项, 因为是定义在R上的增函数,则是定义在R上的减函数,所以是定义在R上的增函数,所以是定义在R上的增函数.令,则所以为奇函数,所以C正确;对于D选项, ,是奇函数但不是减函数,所以D错误;综上可知,C为正确选项故选:C【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,举反例法说明错误选项,正确选项需要证明,属于基础题.6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则
4、（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】故选：C.7.若函数的值域是，则函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：设=t,则,从而的值域就是函数的值域，由“勾函数”的图象可知，故选B考点：函数的值域8.如图，正方形的顶点，顶点位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为，则函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】C【解析】可知正方形边长为。当时，阴影部分为边长为的等腰直角三角形，此时；当时，阴影部分为正方形减去一个边长为的等腰直角三角形，此时。综上可得，函数的图象大致为C9.已知，若对任意的，存在，使，则的取
5、值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将问题转化为来列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】要使对任意的，存在，使，则需.当时，取得最解得小值为.当时，取得最小值为，故，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查恒成立问题和存在性问题，考查函数最大值最小值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设0aloga5，则m的取值范围是_【答案】(0,5)【解析】分析】根据对数函数的单调性,即可求得的取值范围.【详解】因为,即所以函数单调递减所以若,则 由对数定义域可知综上可知, 的取值范围为故答案为: 【点睛】本题考查了对数函数的单调性及简单应用,属于基础题.三、
6、解答题(共6小题,共70分) 17.设函数f(x)log2(axbx)，且f(1)1，f(2)log212.(1)求a，b的值；(2)当x1,3时，求f(x)的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据两个式子，代入得关于a、b的方程组，解方程即可求得a、b的值。(2)利用换元法，转化为二次函数形式，根据x的取值范围即可求得对数的最大值。【详解】(1)由 得即a4，b2.(2)由(1)知f(x)log2(4x2x)，设t2x，x1,3，t2,8令u4x2xt2t ，当t8，即x3时，umax56.故f(x)的最大值为log256.【点睛】本题考查了对数函数的求值，换元法的简单应用，
7、属于基础题。18.已知函数f(x)|1|.(1)作出函数yf(x)的图象；(2)若af(c)，求证：2a2c4.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【详解】(1)f(x)其图象如图所示(2)证明：由图知，f(x)在(，1上是减函数，在1，)上是增函数，故结合条件知必有a1.若c1，则2a2，2c2，所以2a2c1，则由f(a)f(c)，得11，即2，所以2a2c4.综上知，总有2a2c0时，f(x)x22x2.(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图像，并指出f(x)的单调区间【答案】(1) 见解析； (2)增区间为1,0)及(0,1，减区间为(，1及1，)【解析】【分析】（1
8、）只需先求出x0时的表达式由奇函数的性质可得f（0）=f（0），可求得f（0）；当x0时，x0，利用已知表达式可求得f（x），根据奇函数性质可得f（x）=f（x），由此可求得f（x）；（2）根据二次函数的图像的性质可分段求出单调区间；【详解】(1)设x0.f(x)(x)22x2x22x2.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(x)x22x2.又f(0)0，f(x)(2)先画出yf(x)(x0)的图像，利用奇函数的对称性可得到相应yf(x)(x0时，f(x)0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)用函数单调性的定义证明函数f(x)为增函数【答案】(1) f(0)0 ；(2) 奇
9、函数；(3)证明见解析【解析】【分析】(1) 利用赋值法即可求得的值.(2) 令代入式子,然后根据(1)中的结论,结合奇偶性定义即可判断函数奇偶性.(3) 任取,利用作差法即可判断函数的单调性.【详解】(1) 令,代入中可得 (2)函数为奇函数,理由如下:已知函数的定义域为R,令代入,得由(1)可知,则即为奇函数(3)任取且则因当时,且所以,则则函数为R上的增函数【点睛】本题考查了抽象函数中函数值的求法,抽象函数单调性与奇偶性的证明,赋值法的应用,属于基础题.22.已知f(x)x2(a1)xa2(aR)，若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和(1)求g(x)和h(x)的解
10、析式；(2)若f(x)和g(x)在区间(，(a1)2上都是减函数，求f(1)的取值范围【答案】（1）g(x)(a1)x，h(x)x2a2； （2）.【解析】【分析】(1)先设所以，解方程组即得g(x)、h(x).(2)由题得(a1)2且a10，从而a1，再利用二次函数求f(1)的取值范围【详解】(1) 设所以，解之即得g(x)(a1)x，h(x)x2a2.(2)因为f(x)和g(x)在区间(，(a1)2上都是减函数，所以(a1)2，即a1，且a10，即a1，从而 a1，又f(1)a2a2，可看成是关于变量a的函数f(a)，又f(a)在区间，1)上单调递减，所以f(1)的取值范围为2f(1).【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的运用，考查函数解析式的求法，考查函数的单调性的运用和图像的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
