1、一、选择题1.(2016沈阳模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(1，1)上单调递减的函数是()A.f(x)sin x B.f(x)2cos x1C.f(x)2x1 D.f(x)ln 解析由函数f(x)为奇函数排除B、C，又f(x)sin x在(1，1)上单调递增，排除A，故选D.答案D2.(2015全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)()A.3 B.6 C.9 D.12解析因为21，log212log2831，所以f(2)1log22(2)1log243，f(log212)2log21212log21221126，故f(2)f(log212)369，故选C.答案C3.(201
2、6浙江卷)函数ysin x2的图象是()解析ysin x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、C.又当x2，即x时，ymax1，排除B，故选D.答案D4.设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是()A. B.(1，)C. D.解析由f(x)ln(1|x|)，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)f(2x1)即为f(|x|)f(|2x1|).当x0时，f(x)ln(1x)，所以f(x)为0，)上的增函数，则由f(|x|)f(|2x1|)得|x|2x1|，平方得3x24x10，解得x1，故选A.答案A5.(2015全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC
3、1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析当点P沿着边BC运动，即0x时，在RtPOB中，|PB|OB|tanPOBtan x，在RtPAB中，|PA|，则f(x)|PA|PB|tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x时，由以上得ftan1，又当点P与边CD的中点重合，即x时，PAO与PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f|PA|PB|2，知ff，故又可排除D.综上，选B.答案B二、填空题6.(2016成都二诊)若函数f(x)(a0，且a
4、1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_.解析由题意f(x)的图象如图，则1a2.答案(1，27.设奇函数yf(x)(xR)，满足对任意tR都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)x2，则f(3)f的值等于_.解析根据对任意tR都有f(t)f(1t)可得f(t)f(1t)，即f(t1)f(t)，进而得到f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函数yf(x)的一个周期为2，故f(3)f(1)f(01)f(0)0，ff.所以f(3)f0.答案8.已知函数f(x)其中x表示不超过x的最大整数.若直线yk(x1)(k0)与函数yf(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是_.解析根据x表示
5、的意义可知，当0x1时，f(x)x，当1x2时，f(x)x1，当2x3时，f(x)x2，以此类推，当kxk1时，f(x)xk，kZ，当1x0时，f(x)x1，作出函数f(x)的图象如图，直线yk(x1)过点(1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k.答案三、解答题9.已知函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围.解当m0时，f(x)2x1，它显然有一个为正实数的零点.当m0时，函数f(x)mx22x1的图象是抛物线，且与y轴的交点为(0，1)，由f(x)有且仅有一个正实数的零点，则得：
6、或x0，解，得m1：解，得m0.综上所述，m的取值范围是(，01.10.已知函数f(x)x22ln x，h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)h(x)，若函数k(x)在1，3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，令f(x)2x0，得x1.当x(0，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，所以函数f(x)在x1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)f(x)h(x)x2ln xa(x0)，所以k(x)1，令k(x)0，得x2，所以k(x)在1，2)上单调递减，在(2，3上单调递增，所以当x2时，函数k(x)取
7、得最小值，k(2)22ln 2a，因为函数k(x)f(x)h(x)在区间1，3上恰有两个不同零点.即有k(x)在1，2)和(2，3内各有一个零点，所以即有解得22ln 2a32ln 3.所以实数a的取值范围为(22ln 2，32ln 3.11.已知函数f(x)exmx，其中m为常数.(1)若对任意xR有f(x)0成立，求m的取值范围；(2)当m1时，判断f(x)在0，2m上零点的个数，并说明理由.解(1)f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)0，f(x)单调递减；当x(m，)时，exm1，f(x)0，f(x)单调递增.当xm时，f(m)为极小值，也是最小值.令f(m)1m0，得m1，即若对任意xR有f(x)0成立，则m的取值范围是(，1.(2)由(1)知f(x)在0，2m上至多有两个零点，当m1时，f(m)1m0.f(0)em0，f(0)f(m)0，f(x)在(0，m)上有一个零点.f(2m)em2m，令g(m)em2m，当m1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增，g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m，2m)上有一个零点.故f(x)在0，2m上有两个零点.
