1、第1课时两角和与差的余弦 教学过程一、 问题情境1在实数运算中,有公式a(b+c)=ab+ac;在向量运算中,有公式a(b+c)=ab+ac;在三角运算中,有公式cos(-)=cos-cos吗?如果没有,式子一定不成立吗?二、 数学建构问题1在直角坐标系xOy中,以Ox为始边分别作角, (0),其终边分别与单位圆交于P1, P2,则向量, 的夹角是多少?的值是多少?2(图1)由图1可得向量, 的夹角是-,=(cos, sin), =(cos, sin).一方面,由向量数量积的定义,有=|cos(-)=cos(-).另一方面,由向量数量积的坐标表示,有=coscos+sinsin.从而cos(-
2、)=coscos+sinsin, 0.问题2如果, R,上述公式还成立吗?3当-0, 时, -就是, 的夹角,所以cos(-)=coscos+sinsin.对于任意的, ,总可选适当的整数k,使-2k-, ).记1=+2k,则1与的终边相同,且-1-, ),从而|-1|, |-1|就是, 的夹角.因此cos(|-1|)=cos(-1)=cos(-2k)=cos(-)=coscos+sinsin.综上,cos(-)=coscos+sinsin,这就是两角差的余弦公式,记为C(-).问题3cos(-)的展开式是什么?它与cos(-)展开式相等吗?为什么?cos(-)=coscos+sinsin,它
3、们展开式相等.因为余弦函数是偶函数,所以cos(-)=cos(-).问题4能利用两角差的余弦公式求cos(+)吗?4在两角差的余弦公式中,用-代替,就可以得到cos(+)=coscos-sinsin,这就是两角和的余弦公式,记为C(+).思考“用-代替”的换元方法体现在图形上有什么几何意义?能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗?用“-代替”的几何意义就是作出角关于x轴的对称图形.(一) 公式理解 1. 结构特征:左边是两角差的余弦,右边是同名积的和;左边是两角和的余弦,右边是同名积的差. 2. 公式中的, 可以是任意的角(或式子). 3. 当, 中有一个是90的整数倍时,用诱导公式比较
4、简便.(二) 巩固概念问题5(教材第104页例1(1)请利用两角和(差)的余弦公式证明cos=sin.5cos=coscos+sinsin=sin.三、 数学运用【例1】(教材第105页例2)利用两角和(差)的余弦公式,求cos75, cos15, sin15, tan15.6(见学生用书P61)处理建议引导学生将75, 15转化为两个特殊角的和或差,正弦需转化为余弦.规范板书解(1) 方法1:cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=.方法2:cos75=cos(120-45)=cos120cos45+sin120sin45=.(2) 方法1:cos15=
5、cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=.方法2:cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45=.(3) sin15=cos(90-75)=cos75=.(4) tan15=2-.题后反思(1)两角差(和)的余弦公式也适用于形式上不是差(和)角,但可以拆分成两角差(和)的情形;(2)角的拆分可能有多种形式,要根据题目选择适当的拆分.变式化简cos+cos.规范板书解原式=coscos-sinsin+coscos+sinsin=cos.【例2】不查表,求下列式子的值:(1) cos120cos15-sin120sin15; (2) cos
6、58sin77+sin122sin13.(见学生用书P62)处理建议本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值,要引导学生构造公式中的结构.规范板书解(1)原式=cos(120+15)=cos135=-.(2) 原式=cos58cos13+sin58sin13=cos(58-13)=.变式不查表,求cos215-sin215的值.规范板书解cos215-sin215=cos(15+15)=.题后反思 只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式,否则需对式子进行变形.【例3】(教材第105页例3)已知sin=, , cos=-,求cos(+)的值.(见学生用书P62)处理建议由公式C(+)可知,欲求
7、cos(+),应先计算cos,sin的值.cos, sin是通过sin2x+cos2x=1(x为任意角)来求解的,要注意“”的选取.规范板书解因为, sin=,所以cos=-=-=-.又因为cos=-, ,所以sin=-=-=-,所以cos(+)=coscos-sinsin=-=.题后反思思考:在例3中,你能求出sin(+)的值吗?*【例4】若, 为锐角,且满足cos=, cos(+)=,求cos的值.处理建议先由学生自己分析解题思路,可能是“展开cos(+),与sin2+cos2=1联立,解方程组”.再引导学生观察发现, +, 三个角之间的关系为=(+)-,用两角差的余弦公式求解.最后由学生
8、比较两种方法的简易度,让学生体会拆角方法的简捷和思路的合理性.规范板书解因为, 为锐角,所以0, 0, 0+.因为cos=, cos(+)=,所以sin=, sin(+)=,所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=+=.题后反思 在“给式求值”问题中,要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为+和,所求角是,则=(+)-.变式已知cos(2-)=-, sin(-2)=,且, 0,求cos(+)的值.处理建议引导学生寻找已知角与所求角之间的关系,即(2-)-(-2)=+.由, 的取值范围,分别求出2-, -2的正弦值和余弦值,再利用公式即可求解.规范板书解 , 0,
9、2-, -2.由cos(2-)=-, sin(-2)=,得sin(2-)=, cos(-2)=, cos(+)=cos(2-)-(-2)=cos(2-)cos(-2)+sin(2-)sin(-2)=+=.四、 课堂练习 1. 化简:cos(30+)-cos(30-)=-sin. 2. 化简:cos65cos115-cos25sin115=-1.提示原式=cos65cos115-sin65sin115=cos(65+115)=cos180=-1. 3. 已知sin=, , cos=-,是第三象限角,则cos(-)=-.提示因为, sin=,所以cos=-=-=-.又因为cos=-,是第三象限角,所以sin=-=-=-,所以cos(-)=coscos+sinsin=+=-. 4. 已知, cos=,则cos=.提示因为,所以-, 所以sin=-.因此,cos=cos=cos-sin=.五、 课堂小结 1. 运用向量数量积的定义及坐标运算公式推导两角差的余弦公式,在两角差的余弦公式上用赋值法得到两角和的余弦公式. 2. 两角和与差的余弦公式的结构特证. 3. 三角变换时,注意角与角的关系(用已知角表示所求角).
